導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

◇　山東　杜保華

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導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

◇山東杜保華

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中占有很重要的位置,其應(yīng)用主要有以下3個(gè)方面:求曲線的切線、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值．下面,筆者將結(jié)合自身多年來導(dǎo)數(shù)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),就導(dǎo)數(shù)在這3個(gè)方面的應(yīng)用舉例說明．

1　用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值．例如:求函數(shù)y=x2+x在點(diǎn)A(a,b)的切線斜率.首先,對函數(shù)進(jìn)行一階求導(dǎo),得y′=2x+1,再將點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入就可以得到切線斜率k=2a+1．

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近,例如,北京大學(xué)出版社出版的高中數(shù)學(xué)課本第3章第1節(jié)有例1這樣的一道習(xí)題．

最后,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入曲線C的方程中就可以求出x0和y0的值,也就可以求出k的值及直線l的方程式．

2　用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

利用某個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可以判斷該函數(shù)在某一區(qū)間是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減．

例如,設(shè)函數(shù)f(x)在R內(nèi)存在某個(gè)獨(dú)立的區(qū)間(a,b),如果f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在區(qū)間內(nèi)(a,b)的值恒大于0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的值恒小于或等于0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減．

相應(yīng)地可以證明,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則說明f′(x)的值在此區(qū)間內(nèi)恒大于或等于0;當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減,則f′(x)的值在此區(qū)間內(nèi)恒小于或等于0．

在判斷某個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),再用f′(x)=0的根將f(x)的定義域分成若干區(qū)間,列表考查此區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號,進(jìn)而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．

注意,并不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù),也存在許多不可導(dǎo)的函數(shù),例如:函數(shù)y=|x|,當(dāng)x=0時(shí),該函數(shù)是不可導(dǎo)的.一個(gè)函數(shù)不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù),若某函數(shù)在某一點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)存在,則稱該函數(shù)在這一點(diǎn)可導(dǎo),否則稱該函數(shù)在這一點(diǎn)不可導(dǎo)．并且,可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)．另外,還要謹(jǐn)記,如果一個(gè)函數(shù)是某個(gè)常數(shù),則該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零．

1) 當(dāng)a<0時(shí),方程g(x)=ax2+2ax-1=0的判別式為Δ=4a2+4a,令Δ=0,解得a=0(舍去)或a=-1.

2) 當(dāng)a=-1時(shí),g(x)=-x2-2x-1=-(x+1)2≤0,即f′(x)=(ax2+2ax-1)·ex≤0,且f′(x)在x=-1兩側(cè)同號,僅在x=-1時(shí)等于0,則f(x)在(-∞,+∞)上為單調(diào)減函數(shù).

3) 當(dāng)-1

2ax-1<0恒成立,即f′(x)<0恒成立,則f(x)在

(-∞,+∞)上為單調(diào)減函數(shù).

4) 當(dāng)a<-1時(shí),Δ=4a2+4a>0,令g(x)=0,方程ax2+2ax-1=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

3　用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在某一點(diǎn)的值0,則該點(diǎn)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)(也可能是該函數(shù)的極值點(diǎn)),進(jìn)一步判斷是極大值還是極小值則需要對該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行判斷．例如,若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在x=x0的導(dǎo)數(shù)值為0,在臨近x0的左側(cè),f′(x)<0,在臨近x0的右側(cè),f′(x)>0,則x=x0稱為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

同理,若在臨近x0的左側(cè),f′(x)>0,在臨近x0的右方,f′(x)<0,則x=x0稱為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若在臨近x0的左側(cè)和右側(cè),f′(x)均大于零或者均小于0,則x=x0稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),也就是說,x=x0既不是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),也不是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．

(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

大數(shù)據(jù)的利用主體是人，人們有必要變革其中的不合理及其消極因素，并將網(wǎng)絡(luò)倫理道德內(nèi)化為大數(shù)據(jù)開發(fā)者、創(chuàng)新者以及作為使用者的草根階層本身的意識。無論大數(shù)據(jù)技術(shù)多么強(qiáng)大，至關(guān)重要的是在網(wǎng)絡(luò)空間中傳承卓越的人類的善和道德價(jià)值，它們是實(shí)現(xiàn)人類繁榮的基礎(chǔ)。網(wǎng)絡(luò)空間的終極管理者是道德價(jià)值而不是工程師的代碼。[11]也就是說，在網(wǎng)絡(luò)空間中訴諸道德，而非大數(shù)據(jù)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)草根民主更具有合理性。

(2) 是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存，請說明理由.

e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2],

即

f′(x)=-e-kx(kx-2)(x+1) (k<0).

當(dāng)k=-2時(shí),f′(x)=2e2x(x+1)2≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞);

當(dāng)-2

表1

當(dāng)k<-2時(shí),f(x)、f′(x)隨x的變化情況見表2.

表2

(2) 當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e-2.

理由如下:

當(dāng)k=-2時(shí),f(x)無極大值.

當(dāng)-2

綜上所述,當(dāng)k=-1時(shí),f(x)的極大值等于3e-2.

下面,筆者將求函數(shù)極值的方法進(jìn)行簡單總結(jié).

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟: 1)確定函數(shù)定義域,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x); 2)求出滿足f′(x)=0的所有實(shí)數(shù)根; 3)對每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn),判斷在每個(gè)根(如x0)的左、右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化．

通過筆者對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析,不難看出,導(dǎo)數(shù)對函數(shù)問題的解決十分重要．根據(jù)筆者對各省市近幾年數(shù)學(xué)高考卷的題型統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查越來越頻繁,漸漸變成了命題的熱點(diǎn)．熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)不僅可以更迅速、準(zhǔn)確地解題,還能開拓學(xué)生在解題時(shí)的思維方式,培養(yǎng)創(chuàng)新的思維習(xí)慣；因此,在平時(shí)的解題教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與鞏固．

山東省棗莊市第八中學(xué) )