數列綜合題分類解析

山東省棗莊二中 吳杰

數列綜合題分類解析

山東省棗莊二中 吳杰

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的綜合型試題出現的頻率較高，數列常與函數、方程、不等式相聯系。這就要求同學們除了要能熟練運用有關概念、公式以外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關的數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度。

一、等差數列與等比數列的綜合問題

例1（2015年江蘇卷）設a1，a2，a3，a4是各項為正數且公差為d（d≠0）的等差數列。

（1）證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次成等比數列。

（2）是否存在a1、d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比數列，并說明理由。

所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構成等比數列。

（2）令a1+d=a，則a1，a2，a3，a4分別為a-d，a，a+d，a+2d（a>d，a>-2d，d≠0）。

點評解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列之間的關系。如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差數列或等比數列的項抽出來單獨研究；如果兩個數列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開，弄清兩個數列各自的特征，再進行求解。

二、數列與函數的綜合問題

數列與函數的特殊關系，決定了數列與函數交匯命題的自然性。解決數列與函數綜合問題的注意點：

（1）數列是一類特殊的函數，其定義域是正整數集，而不是某個區間上的連續實數，所以它的圖像是一群孤立的點。

（2）轉化以函數為背景的條件時，應注意題中的限制條件，如函數的定義域，這往往是非常容易忽視的問題。

（3）利用函數的方法研究數列中相關問題時，應準確構造函數，注意數列中相關限制條件的轉化。

例2設fn（x）是等比數列1，x，x2，…，xn的各項和，其中x>0，n∈N，n≥2。

點評本題主要考查的是等比數列的前n項和公式、零點定理、等差數列的前n項和公式等知識點。解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現錯誤。證明函數有且僅有一個零點的步驟：①用零點存在性定理證明函數零點的存在性；②用函數的單調性證明函數零點的唯一性。

三、數列與不等式的綜合問題

數列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點。數列中不等式的處理方法：

（1）函數法：即構造函數，通過函數的單調性、極值等得出關于正實數的不等式，通過對關于正實數的不等式特殊賦值得出數列中的不等式。

（2）放縮法：數列中的不等式可以通過對中間過程或者最后的結果放縮得到。

（3）比較法：作差或者作商比較。

（4）數學歸納法：使用數學歸納法進行證明（在高二時學到）。

例3（2015年重慶卷）在數列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μa2n=0（n∈N*）。

（1）若λ=0，μ=-2，求數列{an}的通項公式。

數列是考查同學們創新意識與實踐精神的最好素材。從近些年的高考試題來看，一些構思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰性的數列與方程、函數（包括三角函數）、不等式以及導數等的綜合性試題不斷涌現。這部分試題往往以壓軸題的形式出現，考查綜合運用知識的能力，突出知識的融會貫通。數列問題難度大，往往表現在與遞推數列有關，遞推含義趨廣，不僅有數列前后項的遞推，而且有關聯數列的遞推，更有數列間的“復制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規的線性遞推，又有分式、三角、分段、積（冪）等形式的遞推。在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、推理能力、分析問題和解決問題的能力。