直線與圓的位置關系分類與應用

安徽省蚌埠五中　楊明正

直線與圓的位置關系分類與應用

安徽省蚌埠五中楊明正

直線與圓的位置關系是高中數學的重點內容之一，我們通常將這部分內容與平面幾何、直線的斜率和截距以及圓等知識結合起來進行綜合考查，同時考查數形結合、函數與方程等數學思想和數學方法。為了幫助同學們更好地學習直線與圓的位置關系，本文從以下幾個方面談談直線與圓的位置關系的分類及應用。

一、直線與圓的位置關系分類

直線與圓有三種位置關系，可以從形與數兩個角度來把握。

1.幾何角度。記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r。直線與圓無公共點，則直線與圓相離，此時d＞r；直線與圓僅有一個公共點，則直線與圓相切，此時d=r；直線與圓有兩個相異的公共點，則直線與圓相交，此時d＜r，直線被圓截得的線段稱為圓的弦。

2.代數角度。將表示直線的方程代入圓的方程中，根據消元后所得方程的解的情況來判斷，即將l的方程Ax+By+C=0（A、B不同時為0）代入圓方程（x-a）2+（y-b）2=r2中，消去x或y，不妨設消去y后得到的方程為ax2+bx+c=0，記Δ=b2-4ac。

①當Δ＞0時，直線與圓相交；

②當Δ=0時，直線與圓相切；

③當Δ＜0時，直線與圓沒有公共點，即相離。

例1如果直線l：y=kx+2與圓O：x2+y2=1沒有公共點，求k的取值范圍。

解析 （幾何法）由題意知，直線與圓相離，則圓心到直線的距離大于圓的半徑，即d＞r，

直線與圓相離，則方程的判別式Δ=16k2-12（1+k2）＜0，即4k2＜12，解得。

點評本題采用了兩種方法，其中代數方法（方程思想）是通性通法，適用于直線與其他曲線的位置關系以及圓與圓的位置關系問題。由于圓自身的特性，很多情況下用幾何法解決此類問題更簡便快捷。

練習1已知直線l：x+y-a=0和圓O：x2+y2=2，求下列情況下a的取值：

（1）直線和圓相交；

（2）直線和圓相切；

（3）直線和圓相離。

答案 （1）當-2＜a＜2時，直線l與圓O相交。

（2）當a=±2時，直線l與圓O相切。

（3）當a＞2或a＜-2時，直線l與圓O相離。

二、直線與圓的位置關系題型剖析

1.圓上的點到直線的距離問題

例2求圓C：（x-1）2+（y-1）2=4上的點到直線l：x-y-5=0的最遠和最近距離。

分析首先判斷直線與圓的位置關系（一般都是相離），結合圓的特性找出距離該直線最遠和最近的點，再計算出最遠和最近距離。

點評此類問題要結合圖形和圓的性質才好解決，何時取得最大或最小值，要觀察+分析+猜測+驗證多措并舉。

2.有關圓的切線、切點弦問題

常見的有兩類：（1）圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為l：x0x+y0y=r2；若P點在圓外，則l為過P點的與圓相切的兩條切線的切點弦所在的直線。（2）圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為l：（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2；若P點在圓外，則l為過P點的與圓相切的兩條切線的切點弦所在的直線。

例3求過點P（3，4）的圓（x-1）2+（y+1）2=4的切線方程。

分析過圓外一點作圓的切線，切線必有兩條，可以先把直線設出來，再根據條件列方程求出待定參量。

點評對于圓外一點P（x0，y0），若求出的斜率只有唯一的值，則另外一條切線方程必為：x= x0；若求出的斜率有兩個值，則直接代入切線方程的點斜式，最后將切線方程化為一般式。

例4過點P（3，4）向圓C：x2+y2=1作切線，切點分別為E、F，求過點E、F的直線方程。

解過點E、F的直線方程即切點弦所在的直線方程，應該是3x+4y=1。

點評此類問題，按照常規思路應該把兩條切線方程求出來，再用方程思想求出切點，最后用兩點式寫出切點弦所在的直線方程，比較煩瑣。利用上述方法更顯簡潔。

3.有關圓的弦長問題

直線與圓相交通常會涉及弦長問題，求弦長的方法一般有兩種：由直線方程和圓的方程聯立解得交點坐標，然后利用兩點間距離公式求得，這種方法計算量較大；利用由半弦、半徑和圓心到直線的垂線構造直角三角形去解決，這種方法比較簡單。

例5設直線ax-y+3=0與圓（x-1）2+（y-2）2=4相交于A、B兩點，且弦AB的長為，求a值。

解半弦、半徑和圓心到直線的垂線可構造成直角三角形，因為半弦長為，半徑長為2，所以圓心（1，2）到直線的距離等于1，即有，解得a=0。

練習2直線x+2y=0被圓x2+y2-6x-2y-15=0截得的弦長為______ _。

4.有關直線與圓的位置關系綜合應用問題

對于有關直線與圓的一些稍難的問題，我們可以結合圓的性質，抓住問題的本質，充分利用數形結合、轉化歸納及分類討論等思想方法加以解決，往往可以收到事半功倍的效果。

例6已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，動直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）。求證：無論實數m取何值，動直線l與圓C總相交于兩點。

分析通常情況下，我們在研究直線與圓的位置關系時，可聯立直線與圓的方程構成方程組，消元整理成關于x或y的一元二次方程，借助判別式判斷方程解的情況，確定直線與圓的位置關系，但這種方法運算量很大。其實我們還可以將圓心到直線的距離與半徑進行比較來確定。而本題中的距離的最值求解相當復雜，為此抓住動直線過定點這一幾何性質，通過比較定點到圓心的距離與圓的半徑（點與圓的位置關系）來解決問題。

證明 （2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為（2x+y-7）m+x+y-4=0。

練習3已知圓C：x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0。求當k取什么值時，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長。