破解直線與圓中“定”的問題

安徽省太和中學　岳　峻　韓長峰

破解直線與圓中“定”的問題

安徽省太和中學岳峻韓長峰

直線與圓的位置關系是高中數學的重點內容，是高考必考考點之一，考題中往往涉及定點、定直線、定圓等“定”的問題，其本質就是曲線系，蘊含著數形結合思想、函數與方程思想等。在解答此類問題的探索過程中，同學們常常找不到解題的切入點。為此，我們需弄清此類問題的實質，切實掌握其解決方法。

一、定點問題

我們對于過定點的直線系并不陌生，如y=kx是過定點O（0，0）的直線系，y=kx+b（b是常數）是過定點（0，b）的直線系，y=k（x-a）+b（a、b是常數）是過定點（a，b）的直線系，等等，那么，如何才能快速地找到直線所過的定點呢？

例1平面直角坐標系xOy中，直線（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0恒過一定點P，而直線mx+y-6=0也過點P，則m=_______。

解法1直線（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0，

整理得k（4x+3y-12）+（x-2y-3）=0，

代入直線mx+y-6=0，得m=2。

所以直線（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0必過直線y=0與直線x=3的交點（3，0），顯然P（3，0），代入直線mx+y-6=0，得m=2。

點評含有參數的直線Ax+By+C=0過定點時，只需將含有參數的部分整理到一起，不含參數的部分整理到一起，把求定點問題轉化為求兩直線的交點問題。

變式1設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍是（）。

答案B

例2已知圓C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k≠-1），則圓C過定點 _______。

解法1圓C的方程可變形為（x2+y2+10y+20）+k（2x+4y+10）=0，所以圓C必過x2+y2+10y+20=0與2x+4y+10=0的交點。

答案為（1，-3）。

圓C所過的定點必是曲線x2+y2+10y+20=0與x2+y2-5x-5=0的交點。

點評解決直線與圓的定點問題，要善于從運動中尋求不變的特性，挖掘出曲線方程與哪些參數取值無關。常見的方法有兩種：其一，直接按參數分離變量，進而解出定點坐標；其二，取特殊值求出定點，再證這個定點與參數取值無關。

變式2若圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離最大，則a=（）。

答案A

二、定直線問題

定直線往往指的是動點所在的定直線、動圓的定切線。這類問題參數多，幾何特征不明顯，解決時常常不知從何入手，此時，須緊扣等量關系恒成立，應用待定系數法來處理。

例3在平面直角坐標系xOy中，已知半徑為r的⊙M的圓心M在直線y=2x+3上，且在y軸右側，⊙M在y軸上的弦長為。

（1）求⊙M的方程。

（2）當r變化時，是否存在定直線l與⊙M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由。

解析 （1）設M（a，2a+3）（a＞0），則⊙M的方程為（x-a）2+（y-2a-3）2=r2，

（2）假設存在定直線l，當r變化時與⊙M均相切，若定直線l的斜率不存在，顯然不合題意。

所以存在兩條定直線y=3和4x+3y-9=0與動圓⊙M相切。

點評本題中動圓的圓心與半徑都在變化，其幾何特征不明顯，故直接論證dM-l=r恒成立。解決含有多個參數的等量關系恒成立問題時，必須緊扣等式的成立與r的取值無關這一條件。

變式3已知圓C1：（x+2）2+（y-3m-2）2=4m2（m≠0），直線l：y=x+m+2，圓C1關于直線l對稱的圓為C2。

（1）證明：當m變化時，C2的圓心在一條定直線上。

（2）求C2所表示的一系列圓的公切線方程。

答案 （1）證明略，圓心所在的直線為x-2y=0（2）3x+4y=0或x=0

三、定圓問題

動直線與定圓相切，則d弦心距=r恒成立，或者聯立方程組消元后得到的一元二次方程Δ=0恒成立，再按參數整理，得到方程組，最后解方程組求出圓心與半徑。

整理得（t2-1）a-4t2=r（t2+1），或4t2-（t2-1）a=r（t2+1），

所以（a-r-4）t2-a-r=0，或（a+r-4）t2-a+r=0恒成立，

因此直線PQ恒與一個圓心在x軸上的圓M相切，圓M的方程為（x-2）2+y2=4。

點評解答題解題步驟是：設圓的方程→化簡d弦心距=r或Δ=0恒成立→變量分離→求圓心與半徑→寫出定圓方程。如果是客觀題，則用特例法比較方便。

變式4已知直線l：2mx+（1-m2）y-4m-4=0總與一個定圓相切，則該定圓方程為_______。

答案 （x-2）2+（y-2）2=4

綜上，破解直線與圓中的“定”，關鍵是抓住“定”中蘊含著的與參數取值無關的恒成立思想，另外也可以取特殊的參數值，巧妙地避開參數的干擾。