一類廣義平均曲率Rayleigh方程周期解存在性與唯一性

蘭德新，陳鷺杰，陳文斌

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300）

一類廣義平均曲率Rayleigh方程周期解存在性與唯一性

蘭德新，陳鷺杰，陳文斌

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300）

主要運用Mawhin重合度拓展定理研究了一類廣義平均曲率Rayleigh方程周期解存在性與唯一性問題，得到了周期解存在性與唯一性的相關新結果。

廣義平均曲率；Rayleigh方程；周期解；重合度

考慮如下一類廣義平均曲率Rayleigh方程：

這里f，e:R→R，g：R×R→R是連續函數，f（0）=0，e是以T為周期的函數，g是第一分量且以T為周期的函數，T＞0.眾所周知，Rayleigh方程的動力特性在一些領域上的應用，如物理、力學和工程技術領域，而被廣泛研究［1-3］。在這些領域的應用，最重要的是Rayleigh方程周期解存在性與唯一性。例如文獻［4］討論了受迫Rayleigh-type方程周期解存在性與唯一性，并得到如下結果：

定理A考慮如下Rayleigh方程：

這里f，e:R→R，g：R×R→R是連續函數，f（0）=0，e是以為T周期的函數，g是第一分量且以T為周期的函數，T＞0。假設存在非負常數d，m1和m2滿足：

（A1）對所有t∈R，x1，x2∈R且x1≠x2都有

（A2）對所有有x（g（t，x）-e（t））＜0，

（A3）對所有t，x∈R，有

則方程（2）有唯一周期解。

1　預備知識

在本文中，設X和Y是實的Banach空間，令L∶D（L）?X→Y是一個指標零的Fredholm算子，其中D（L）表示L的定義域。這意味Im L在Y上封閉，且dim KerL=dim（Y/Im L）＜+∞。考慮余子空間X1和Y1使得X=KerL⊕X1和Y=Im L⊕Y1，令P∶X→KerL和Q∶Y→Y1是自然投影，很顯然，KerL∩（D（L）∩X1）=0。所以限制Lp∶=L|D（L）∩X1是可逆的，用K表示Lp的逆。

引理1［8］假設X和Y是兩個Banach空間，且L∶D（L）?X→Y是一個指標零的Fredholm算子，而且Ω?X是有界開集和上是L緊的。

假設：

（1）Lx≠λNx，?（x，λ）∈（D（L）∩?Ω）×（0，1）；

（2）Nx?Im L，?x∈KerL∩?Ω；

（3）deg（JQN，Ω∩KerL，0）≠0這里J∶Im Q→KerL是一個同構。

運用Mawhin重合度拓展定理來研究方程（1）的周期解存在性，為此考慮如下系統：

令X=Y=｛x：x=（x1，x2）T∈C（R，R2），x（t）≡x（t+T）｝，‖x‖=max｛|x1|0，|x2|0｝，其中。顯然，X和Y是兩個Banach空間。

同時，令

易知方程組（3）被轉換成抽象的方程Lx=Nx。此外，從L的定義，我們知道所以L是一個指標零的Fredholm算子。

另外，定義投影算子P∶X→KerL和Q∶Y→Im Q為

設K表示LKerP∩D（L）的逆算子。則有KerL=Im Q=R2和

2　主要結果

證明首先考慮Lx=λNx，?λ∈（0，1）。令Ω1=｛x∈X：Lx=λNx，λ∈（0，1）｝。

如果x∈Ω1，則有

由（4）式中的第一個方程，我們有

由此得出

再由條件（A2）的假設，有x1（t1）＜d和x1（t2）＞-d。因此由x1（t）的周期性，我們得到

這意味著x1（t）是有界的，即|x1|0＜d。

進一步，從（4）式中的第一個方程，得到

這意味著存在一個常數ζ∈［0，T］使得x2（ζ）=0。

所以

由（4）式的第二個方程的兩邊同乘以x'2（t）后在區間［0，T］上積分得

令Ω2=｛x：x∈Ker L，QNx=0｝。則易得x2（t）=0≤d0。

因此引理1的條件（1）和（2）是滿足的。然后再驗證引理1的條件（3）。

為此令J：Im Q→Ker L，J（x1，x2）=（x1，x2），易知對任意小的ε＞0，方程QN（x）=（0，0）T，也就是

在（Ω∩KerL）/Δε上沒有解，其中ε∈（0，ε0）是任意常數。

所以deg｛JQN，Ω∩Ker L，0｝=deg｛JQN，Δε，0｝。令

如果x∈?Δε，則有

這意味著當ε→0時有‖JQN（x）-JQN0（x）‖→0。所以若取充分小ε＞0，則有deg｛JQN，Δε，0｝=deg｛JQN0，Δε，0｝

注意到dim QN0=1，由此得出deg｛JQN0，Δε，0｝= deg｛JQN0，Δ0，0｝，其中是常數。

再由條件（A2）的假設得知deg｛JQN0，Δ0，0｝≠0，也就是

因此引理1條件（3）也是滿足的。所以，應用引理1，推出方程上至少有一個周期解x1（t）。

其次證明唯一性，假設條件（A1）成立。令x3（t）和x4（t）是方程（1.1）的兩個不同的周期解，并設

下面驗證對?t∈［0，T］，有u（t）≤0。

假設這里存在t0∈［0，T］使得

則u'（t0）=ψ（y3（t0））-ψ（y4（t0））=0，這意味著y3（t0）=y4（t0）和u″（t0）≤0。

而由條件（A1）和y3（t0）=y4（t0）得出這是矛盾的，因此maxt∈［0，T］u（t）≤0。

同理可得，將x3和x4互換角色，即可得出maxt∈［0，T］u（t）≥0.這就意味著u（t）≡0，也就是說x3（t）≡x4（t）。

所以方程（1）最多有一個解。這樣定理1可證。

3　例子

在物理、力學和工程技術的實際應用中，考慮如下Rayleigh方程：

這里f（x）=x12（t）cos（x（t）），g（t，x）=-esin2（50t）（（x3（t）+x5（t）+ sin10（x（t）））和e（t）=esin2（50t）。應用定理1，推算得d=1，。容易驗證條件（A1）和（A2）是成立的，應用定理1得上述方程有唯一的周期為的周期解。

［1］Hale JK.Theory of functional differential equations［M］.New York：Springer-Verlag，1977.

［2］Antosiewicz H A.On nonlinear differential equations of the second order with integrable forcing term［J］.J.Lond.Math.Soc，1955（30）：64-67.

［3］Sansone G，Conti R.Non-linear differential equation［M］.New York：MacMillan，1964.

［4］Gao H，Liu BW.Existence and uniqueness of periodic solutions for forced Rayleigh-type equations［J］.Applied Mathe matics and computation，2009（211）：148-154.

［5］Bonheure D，Habets P，Obersnel F.Classical and non-classical solutions of a prescribed curvature equations［J］.J.Differential Equations，2007（243）：208-237.

［6］Lopez R.A comparison result for radial solutions of themean curvature equation［J］.Appl.Math.Lett，2009（22）：860-864.

［7］Pan H.One-dimensional prescribed mean curvature equation with exponentialnonlinearity［J］.Nonlinear Annl，2009（70）：999-1010.

［8］Gaines R E，Mawhin J.Coincidence degree and nonlinear differential equaations［M］.New York：Springer-Berlin.1977.

（責任編輯：葉麗娜）

Existence and Uniqueness of Periodic Solutions for a Kind of Prescribed Mean Curvature Rayleigh Equation

LAN Dexin，CHEN Lujie，CHENWenbin
（School of Mathematics and Computer Science，WuyiUniversity，Wuyishan，Fujian 354300）

In this paper，we use the coincidence degree theory to establish new results on the existence and uniqueness of T-periodic solutions for a kind of prescribed mean curvature Rayleigh equation of the form

prescribed mean curvature；Rayleigh equation；periodic solution；coincidence degree

O175

A

1674-2109（2016）06-0061-04

2016-02-27

福建省中青年教師教育科研項目（JA15524）。

蘭德新（1964-），男，畬族，副教授，主要從事應用數學的研究。