第11屆(2000年) “希望杯”全國數學邀請賽試題初中一年級 第1試

一、選擇題

1.（-1）2000的值是（）

（A） 2000.（B） 1.

（C） -1.（D） -2000.

2.a是有理數，則11a+2000的值不能是（）

（A） 1.（B） -1.

（C） 0.（D） -2000.

3.若a<0，則2000a+11|a|等于（）

（A） 2007a.（B） -2007a.

（C） -1989a.（D） 1989a.

4.已知a=2，b=3，則（）

（A） ax3y2和bm3n2是同類項.

（B） 3xay3和bx3y3是同類項.

（C） bx2a+1y4和ax5yb+1是同類項.

（D） 5m2bn5a和6n2bm5a是同類項.

5. 已知a=-1999×1999-19991998×1998+1998，

b=-2000×2000-20001999×1999+1999，

c=-2001×2001-20012000×2000+2000，

則abc=（）

（A） -1.（B） 3.

（C） -3.（D） 1.

6.某種商品若按標價的八折出售，可獲利20%.若按原標價出售，則可獲利（）

（A）25%.（B）40%.

（C）50%.（D）66.7%.

7.如圖1，長方形ABCD中，E是AB的中點，F是BC上的一點，且CF=13BC.則長方形ABCD的面積是陰影部分面積的（）倍.

（A） 2.（B） 3.

（C） 4.（D） 5.

8.若四個有理數a、b、c、d滿足1a-1997=1b+1998=1c-1999=1d+2000，則a、b、c、d的大小關系是（）

（A） a>c>b>d.（B） b>d>a>c.

（C） c>a>b>d.（D） d>b>a>c.

9.If a2+b2>0，then the equation ax+b=0 for x has（）

（A）only one root.

（B）no root.

（C）infinite roots（無窮多個根）.

（D）only one root or no root.

10.小明編制了一個計算程序.當輸入任一有理數，顯示屏的結果總等于所輸入有理數的平方與1之和.若輸入-1，并將所顯示的結果再次輸入，這時顯示的結果應當是（）

（A） 2.（B） 3.

（C） 4.（D） 5.

二、 A組填空題

11.用科學記數法表示2150000=.

12.一個角的補角的13等于它的余角.則這個角等于度.

13.有理數a，b，c在數軸上的位置如圖2所示：若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，則1000m=.

14.如圖3，在長方形ABCD中，E是AD的中點，F是CE的中點.若△BDF的面積為6平方厘米，則長方形ABCD的面積是平方厘米.

15.a的相反數是2b+1，b的相反數是3a+1，則a2+b2=.

16.Suppose（設）A spends 3 days finishing 12 of a job，B 4 days doing 13 of it.Now if A and B work together，it will takedays for them to finish it.

17.某商店將某種超級VCD按進價提高35%，然后打出“九折酬賓，外送50元出租車費”的廣告.結果每臺超級VCD仍獲利208元.那么每臺超級VCD的進價是元.

18.圖4中，C是線段AB上的一點，D是線段CB的中點.已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC的長度與線段CB的長度都是正整數，則線段AC的長度為.

19.張先生于1998年7月8日買入1998年中國工商銀行發行的5年期國庫券1000元.回家后他在存單的背面記下了當國庫券于2003年7月8日到期后他可獲得的利息數為390元.若張先生計算無誤的話，則該種國庫券的年利率是.

20.甲、乙分別自A、B兩地同時相向步行，2小時后在中途相遇.相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時.當甲到達B地后立刻按原路向A地返行，當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇.則A、B兩地的距離是千米.

三、 B組填空題

21.有理數-3，+8，-12，0.1，0，13，-10，5，-0.4中，絕對值小于1的數共有個;所有正數的平方和等于.

22.若-4xm-2y3與23x3y7-2n是同類項，則m2+2n=，n2+2m=.

23.設m和n為大于0的整數，且3m+2n=225.（1）如果m和n的最大公約數為15，則m+n=.（2）如果m和n的最小公倍數為45，則m+n=.

24.如圖5，若a，b，c是兩兩不等的非0數碼.按逆時針箭頭指向組成的兩位數ab，bc都是7的倍數.則可組成三位數abc共個;其中的最大的三位數與最小的三位數的和等于.

25.某書店積存了畫片若干張.按每張5角出售，無人買.現決定按成本價出售，一下子全部售出.共賣了31元9角3分.則該書店積存了這種畫片張，每張成本價元.

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案BCDCACBCDD

提示

1.（-1）2000=1.

選（B）.

2.因為11a+2000的分子不等于0，

所以其值不可能為0.

故選（C）.

3.因為a<0，

所以|a|=-a.

2000a+11|a|=2000a+11（-a）

=2000a-11a

=1989a.

選（D）.

4.當a=2，b=3時

2x3y2與3m3n2不是同類項，排除（A）.

3x2y3與3x3y3不是同類項，排除（B）.

5m6n10與6n6m10不是同類項，排除（D）.

而 當a=2時，2a+1=5，b=3時b+1=4.

所以 3x5y4與2x5y4是同類項.

選（C）.

5. a=-1999×1999-19991998×1998+1998

=-1999（1999-1）1998（1998+1）

=-1999×19981998×1999

=-1.

同理可求得b=c=-1.

所以 abc=（-1）（-1）（-1）=-1.

選（A）.

6.設該商品進價為x元，標價為y元，則

80%y-xx=20%.

解得yx=1.5.

則y-xx=yx-1=1.5-1=0.5=50%.

選（C）.

7.設長方體的面積為S.

則S△ABC=12S，S△BEF=12×23×12S=16S.

所以SAEFC=12S-16S=13S.

即長方體的面積是陰影面積的3倍.

選（B）.

8.由1a-1997=1b+1998=1c-1999=1d+2000得

a-1997=b+1998=c-1999=d+2000，設為k，

于是a=k+1997，b=k-1998，

c=k+1999，d=k-2000.

所以c>a>b>d.

選（C）.

9.顯然，當a≠0時，必有a2+b2>0.

此時，方程ax+b=0有唯一解x=-ba.

當a=0時，要a2+b2>0，僅當b≠0時才可能，此時，方程ax+b=0無解.

所以選（D）.

10.設輸入值為x，小明編制的程序為

x2+1，

當x=-1時，x2+1=（-1）2+1=2.

當x=2時，x2+1=22+1=5.

選（D）.

二、 A組填空題

題號1112131415

答案2.15×10645-20004815

題號1617181920

答案4120037.8%36

提示

11.2.15×106.

12.設這個角為α，依題意可得

13（180°-α）=90°-α.

解得α=45°.

13.由圖2可見，a<0，b<0

a+b<0|a+b|=-（a+b），

又b<0<1b-a<0|b-1|=-（b-1），

a<0<ca-c<0|a-c|=-（a-c），

c<11-c>0|1-c|=1-c.

所以m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|

=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]

-（1-c）

=-（a+b）+（b-1）+（a-c）-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c

=-2.

因此，1000m=1000×（-2）=-2000.

14.如圖6，連結BE.

設長方形ABCD面積為x平方厘米，

則S△BEC=x2平方厘米，

S△EDC=x4平方厘米.

由于三角形中線平分三角形面積，

所以S△BCF=x4平方厘米，

S△CDF=x8平方厘米.

因此，四邊形BCDF=x4+x8=3x8平方厘米.

又S△BCD=x2平方厘米，

所以S△BDF=x2-3x8=x8平方厘米.

由x8=6，得 x=48平方厘米.

15.由題設條件得

-a=2b+1，-b=3a+1，

解得a=-15，b=-25，

所以a2+b2=-152+-252=15.

16.設整個工作為1，則由題意可知：

A 3天可以完成一件工作的12，則A每天完成這件工作的16.B用4天可以完成這件工作的13，則B每天可完成該件工作的112.

因此，A、B合作每天完成該件工作的

16+112=312=14.

所以A、B合作4天可以完成該件工作.

17.設每臺超級VCD的進價是x元，則依題意可列出方程

0.9（1+35%）x-50-x=208.

解得x=1200（元）.

18.設線段AC的長為x，CB的長度為y，則圖4中所有線段及其長度表示如下：

AC=x，AD=x+y2，

AB=x+y，CD=y2，

CB=y，DB=y2.

所以列得方程

3x+72y=23.（*）

式中x，y均為正整數.

由（*）式可知，y為偶數，

當y≥6時，3x+72y>23，

所以y只能取2或4.

當y=2時，3x+7=23，x=163不是整數.

所以y≠2，

因此只能y=4，進而x=3.

即線段AC的長度為3.

19.設該種國庫券年利率為x，則根據題意得

1000（1+5x）=1000+390.

解得x=0.078.

即該種國庫券年利率為7.8%.

20.如圖7，設A、B兩地距離為s，甲速度與乙速度之和為v，則甲乙同時相向而行，2小時后第一次相遇，此時甲乙二人共行s千米.從第一次相遇又經過3.6小時，甲乙二人又共行了2s千米始得第二次相遇.因此可列出方程組

s=2v2s=（v+2）×3.6

解得v=18千米/小時，s=2×18=36千米.

答：A、B兩地距離是36千米.

三、 B組填空題

題號2122232425

答案5個;8910990029361059015個11260.31元103張

提示

21.所有絕對值小于1的數共有5個.

所有正數的平方和為

82+0.12+132+52

=64+1100+19+25

=89+9+100900

=89109900.

22.由-4xm-2y3與23x3y7-2n是同類項，得

m-2=37-2n=3

即m=5n=2

所以m2+2n=52+22=25+4=29.

n2+2m=22+25=4+32=36.

23. （1）因為m和n的最大公約數為15，所以可設m=15a，n=15b，a、b都是大于0的整數，且a，b互質.

由3m+2n=225

得3×15a+2×15b=225，

3a+2b=15.

可見a只能是奇數，當a≥5時，3a+2b>15.

所以只能取a是1或3.當a是3時，b必須是3，與a和b的最大公約數是1不符.

因此a=1，b=6，

m+n=15+6×15=105.

（2） 當m和n的最小公倍數為45時，有

m≤45，n≤45，

而3×45+2×45=225.

所以只能m=n=45.

所以 m+n=90.

24. 由已知 ab=10a+b=7k，

bc=10b+c=7n.

（其中k，n均為正整數）

而 ca=10c+a

=10c+100b-100b-1000a+1001a

=10（10b+c）-100（10a+b）+7×143a

=10×7n-100×7k+7×143a

=7（10n-100k+143a），

所以ca也是7的倍數.

由于所寫的數碼是兩兩不等的非0數碼，所組成的7的倍數只有14，21，28，35，42，49，56，63，84，91，98這11個.

設a=1，abc=142，149;

a=2，abc=214，284;

a=3時，abc=356;

a=4時，abc=421，428，491，498;

a=5時，abc=563;

a=6時，abc=635;

a=8時，abc=842，849;

a=9時，abc=914，984.

總計共15個，其中最大的一個為984，最小的一個為142，它們的和等于1126.

25. 設書店積壓畫片x張，每張出廠價為k分，31元9角3分合計3193分.

依題意列得方程

kx=3193=1×3193=31×103

其中k，x都是正整數，顯然，1≤k<50.

又31與103都是質數，

所以k=1或k=31.

當k=1時，與出廠價實際不符，理應排除.

所以只能k=31，此時x=103.

即每張畫片出廠價是0.31元，共積壓了這種畫片103張.