利用曲線擬合改善壓控衰減器精度的方法

湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國防科學技術大學 電子科學與工程學院,長沙 410073)

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利用曲線擬合改善壓控衰減器精度的方法

湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國防科學技術大學 電子科學與工程學院,長沙 410073)

針對衛星導航信號模擬發生器中,數控衰減器無法滿足功率控制的高精度需求的問題,采用壓控衰減器代替,并提出基于移動最小二乘曲線擬合的壓控衰減器精度改善方法。通過建立輸入與輸出的映射關系,根據期望衰減值得到精確的衰減控制字,進而提高壓控衰減器的實際衰減精度。經實測數據驗證,擬合的最大衰減誤差為0.1 dB,相比數控衰減器,誤差降低了80%.

移動最小二乘法;壓控衰減器;曲線擬合;精度改善

0　引　言

數控衰減器的主要作用是對輸出的模擬導航信號進行可控衰減,以使得輸出信號功率具有較大的動態范圍。在實際工程應用中,對數控衰減器的衰減精度有較高要求,以某專題實驗為例,要求衰減誤差低于0.2 dB.目前市面上性能較優的數控衰減器,其實際衰減精度不足0.5 dB.

由于壓控衰減器可由模擬電壓連續控制衰減值,故本文采用壓控衰減器實現信號的衰減控制。在實際應用中,雖然衰減連續可調,在大部分衰減范圍內,控制字(對應控制電壓)與衰減值之間存在一一對應關系,但由于其衰減特性非線性,衰減值與控制字之間沒有明確的對應關系,無法實現便捷、高精度的衰減。

由于壓控衰減器的輸入輸出數據簡單易測,可以采用曲線擬合的方法建立衰減值與輸入控制字之間的映射關系。根據此映射關系,由預期的衰減值可以得出相應精確的控制字,以此實現高精度的衰減。

曲線擬合在統計、逆向工程和計算機圖形等方面有著廣泛的應用[1-2],最小二乘法是曲線擬合的常用方法。但對于傳統的最小二乘法,當數據量過大或曲線形狀復雜時,需進行分段擬合,且欲獲得較高擬合精度,需增大多項式階數,不僅增加了計算量,且容易出現解病態方程組的問題[3-5],使得最小二乘擬合的應用受到一定的限制。

移動最小二乘法作為一種近似估計算法是由Shepard[6]于上個世紀60年代提出的, 并最初應用在固體力學領域[7];80年代初Lancaster和Salkauskas比較系統地提出了移動最小二乘法[8],最先應用于曲線和曲面擬合[9];之后,很多學者對其進行了進一步的研究與改進[10-13]。文獻[11]提出的改進的移動最小二乘法擬合精度較高,且求解過程中不會出現奇異矩陣問題,但其基函數構造復雜,計算量較大。針對上述問題,本文基于傳統的移動最小二乘法,通過理論推導得出了采用線性基的曲線擬合中,不出現奇異解的影響區域半徑下限公式,根據測試數據得出最優的影響區域半徑,仿真和實測證明其具有精度較高、計算量小、便于硬件實現的優點。

1　移動最小二乘擬合原理

1.1擬合函數

簡要闡述標量值的移動最小二乘擬合原理[8,14-15].

假定測得一組一維離散數據(xI,yI),I=1,2,…,n.在擬合區域的某個子域內,點x處的節點擬合值y表示為

(1)

式中: p(x)=[p1(x),p2(x),…,pm(x)]T稱為基函數; a(x)=[a1(x),a2(x),…,am(x)]T為待求的基函數系數,它是坐標x的函數。對于一維問題,基函數p(x)的形式為

線性基:

p(x)=[1,x]T,m=2,

(2)

二次基:

p(x)=[1,x,x2]T,m=3.

(3)

移動最小二乘擬合的準則是,點x處的擬合值y與各已知節點值yI之差的平方帶權最小。定義以下泛函:

(4)

式中:ω(x-xI)是節點xI處的權函數。式(4)對a(x)求導并令其等于零得

(5)

a(x)=A-1(x)B(x)Y,

(6)

Y=[y1,y2,…,yn]T,將式(6)代入式(1)中,得到擬合函數

y=g(x)=pT(x)a(x)

=pT(x)A-1(x)B(x)Y.

(7)

即擬合得到坐標點(x,y)。

1.2權函數

移動最小二乘擬合的局部近似性是通過權函數得以實現的。常用的權函數有三次樣條函數和高斯函數。而由文獻[9]得出的結論,采用相同階次基函數時,高斯函數擬合的精度不如三次樣條函數,故本文采用三次樣條函數作為權函數。

三次樣條函數的表達式為

ω(s)=

(8)

1.3影響區域半徑下限公式

由1.2節對x影響區域的論述可知,當擬合點為區間內的任意值時,d的選取就必須保證影響區域內至少包含兩個數據點,則此時的d應滿足下述條件:

(9)

式中,xI為數據點。將式(9)稱為采用線性基的移動最小二乘曲線擬合的影響區域半徑下限公式。

(10)

此時有

(11)

即xM和xM+2均不在x的影響區域中,此時x的影響區域中最多存在數據點xM+1,式(6)為病態方程組,擬合會得出奇異解。

反之,當d>d0時,可得xM、xM+1和xM+2均在x的影響區域中,擬合不會出現奇異解。

2　壓控衰減器測試數據擬合

以采用本文方案的某專題實驗為例,衰減控制模塊中的單片機Atmega64輸出10 bit控制字到壓控衰減器MAX19791內置的數模轉換器(DAC)中,DAC將控制字轉換為相應的電壓輸出到衰減器中。因此,當輸入信號功率固定時,單片機依次寫入1 024個控制字,MAX19791就會輸出1 024個對應的功率,就可得到1024個相應的衰減值。

2.1數據測量

測試儀器采用Agilent E4421B信號發生器和Agilent E4416A功率計。常溫下,信號發生器輸出10 dBm單頻信號,經過MAX19791后輸入到功率計中。將寫入的控制字yk和相應的衰減值xk記為數據點(xk,yk),k=0,1,2,…,1023.

除去衰減基本不變的高、低控制電壓段,僅利用衰減特性較好的控制字141～940間的測量數據,將其記為(XJ,YJ),J=1,2,…,800.畫出數據點(XJ,YJ),J=1,2,…,800的曲線如圖1所示。

圖1　控制字隨衰減值變化曲線

由于每個數據點都要參與移動最小二乘擬合的運算,故為了減輕單片機的存儲和計算壓力,應在保證擬合精度的條件下適當減少數據量。根據數據集(XJ,YJ),J=1,2,…,800,衰減值每間隔0.4 dB取一個數據點作為樣本,共得到96個樣本數據點即(xI,yI),I=1,2,…,96.

2.2影響區域半徑d的確定

擬合過程采用線性基p(x)=[1,x]T,運行算法需確定擬合點x的影響區域半徑d.

2.2.1擬合精度

用式(12)定義擬合精度

(12)

2.2.2仿真

將測量數據點(XJ,YJ)全部作為待擬合點進行擬合計算,其中,dj=0.52+(j-1)×0.02,j=1,2,…,100,即d分別取100個值。得到擬合精度隨影響區域半徑d的變化曲線如圖2所示。

圖2　擬合精度隨影響區域半徑d的變化曲線

由圖2可知,影響區域半徑越大,擬合精度越低。故對于本文的移動最小二乘曲線擬合,d越小越好,同時還要滿足d>d0=0.51,故取d=0.52.

2.3擬合性能分析

取影響區域半徑d=0.52,擬合點同樣選擇(XJ,YJ),J=1,2,…,800.得到控制字的擬合曲線如圖3所示。

圖3　擬合與測量數據曲線

由圖3可知,擬合曲線與實測曲線高度吻合。在實際的工程應用中,只關注使用擬合出的控制字去執行衰減時,其實際衰減值與預期衰減值之間的誤差。

經測試,MAX19791性能穩定,在控制字140到940之間,重復寫入同一控制字會得到相同的衰減,因此可認為測量數據(XJ,YJ),J=1,2,…,800中,YJ為衰減XJdB的真實控制字。由此得到800個測量數據點的擬合衰減誤差特性如表1和圖4所示。

表 1　擬合衰減誤差特性

圖4　擬合衰減誤差曲線

由表1和圖4可知,擬合的衰減誤差最大為0.1dB,相比于采用數控衰減器0.5dB的誤差,降低了80%,完全滿足0.2dB的工程需求,證明此方案是可行和有效的。

3　方案的硬件實現

在硬件實現中,PC將期望的衰減值輸入到單片機Atmega64中,Atmega64中的移動最小二乘擬合算法根據輸入擬合出相應的控制字以控制衰減器衰減。圖5所示為某專題實驗中采用本文方案的衰減控制模塊。

圖5　衰減控制模塊實物

4　結束語

本文介紹了移動最小二乘擬合的原理,通過理論證明,得出了采用線性基的移動最小二乘曲線擬合,不出現奇異解的影響區域半徑下限公式,此公式具有一定的理論和工程指導意義。基于壓控衰減器的特性,適當篩選了測試數據,并采用線性基作為曲線擬合的基函數,減輕了處理器的存儲和計算壓力,使算法更易在硬件上實現。利用實測數據進行仿真,得到擬合精度隨影響區域半徑單調遞減的結論,從而確定了最優影響區域半徑d.在此基礎上對壓控衰減器的輸入輸出數據進行了曲線擬合,得到了輸入輸出間精確的映射關系。

經實測數據驗證,采用本方案的MAX19791衰減絕對誤差不超過0.1dB,相比于數控衰減器,誤差降低了80%,滿足實際工程需求,驗證了本方案的可行性和有效性。本文的研究也適用于其它類似的器件或系統。

在本文的研究過程中,我們發現有以下問題尚待研究和解決:

1) 壓控衰減器的頻率穩定性問題。若通道內允許多種頻率信號通過,則不同頻點處的衰減特性不同,采用同一樣本數據點的擬合會附加一定的誤差,需對此誤差進行分析。

2) 壓控衰減器的溫度穩定性問題。壓控衰減器在相同頻點處的衰減特性會因環境溫度的變化而變化,需對由溫度帶來的擬合衰減誤差進行分析研究。

致謝:感謝國防科大衛星導航定位工程技術研究中心硬件射頻組對本文研究的支持!

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The Method of Applying the Curve Fitting to Improve the Accuracy of Voltage Variable Attenuators

TANG Xianpeng,LI Baiyu,CHEN Lei,WU Lijie,OU Gang

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

In satellite navigation signal simulators, digital attenuators cannot reach a high accuracy of power control. Replacing digital attenuators by voltage variable attenuators, a method for improving the accuracy of voltage variable attenuators with curve fitting based on moving least squares is proposed. By establishing the relationship between the inputs and outputs, the accuracy of the voltage variable attenuator can be improved using the precise control word derived from expected attenuation. Experiment results demonstrate that the maximum error of attenuation is 0.1dB, which decreases by 80% compared to digital attenuators.

Moving least squares; voltage variable attenuator; curve fitting; accuracy improvement

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.003

2016-04-15

青年科學基金資助項目(編號:61403413)

TN715+.1

A

1008-9268(2016)04-0012-05

湯先鵬(1991-),男,碩士生, 主要從事衛星導航定位、射頻系統研究。

李柏渝(1982-),男, 博士, 講師,主要從事射頻系統、衛星導航定位研究。

陳雷(1987-),男,博士生, 主要從事衛星導航定位、GNSS信號快速捕獲研究。

吳禮杰(1985-),男,碩士,主要從事射頻系統研究。

歐鋼(1969-),男,教授,博士生導師,主要從事高精度衛星導航定位與授時研究。

聯系人： 湯先鵬E-mail:xptang2016@126.com