兩層介質中運動潛體內波的數值計算

盛　立，王　沖，劉巨斌

（1. 中國人民解放軍92537部隊，北京 100161；2. 海軍工程大學，湖北 武漢 430033）

兩層介質中運動潛體內波的數值計算

盛立1，王沖2，劉巨斌2

（1. 中國人民解放軍92537部隊，北京 100161；2. 海軍工程大學，湖北 武漢 430033）

基于勢流理論，采用 Hess-Smith 方法，對兩層介質中運動潛體內波的進行數值計算研究，得到表面波和內波波形與水深佛魯德數、潛深之間的對應關系。并通過計算無限水深中運動橢球體引起的興波阻力對自編程序進行驗證。

潛體；內波；兩層流體；邊界元

0　引　言

潛艇以其在海洋中的隱蔽性和機動性的特點發揮了其他艦種難以起到的作用。由于海水溫度和鹽度分布的不均勻性，導致了其密度的層化特性，在這樣的分層流體中，內波像表面波一樣存在，只要海水密度穩定分層，且有擾動源存在，內波就會產生。在海洋深處運動的潛艇在海洋表面會形成內波尾跡，可以通過星載或機載合成孔徑雷達（SAR）獲得這種尾跡的信息 這對發展潛體的非聲探測技術非常重要。

目前，比較多的理論研究工作是基于勢流理論，針對運動點源等在分層流體中的興波問題。Keller，Munk［1］進行了分層流體中物體生成的內波尾跡的理論研究，給出了任意色散介質中運動源生成的尾流方程式和尾流的遠場和近場的波形圖。Miles［2］對于均勻分層和有溫躍層結構的流體，研究了船體效應和尾跡塌陷效應導致的內波，指出自由面形變率參數在內波與自由面相互作用中具有重要作用。Hughes［3］研究了表面船生成的表面尾跡和內波尾跡，并提供了內波尾跡的形式。Tulin等［4］進行了超臨界情況下淺躍層的船內波研究。Timour［5］將 Yeung， Nguyen［6］的兩層流體模型推廣至多層流體系統，利用攝動方法，分析了內波對自由面波的影響。Wei［7］則研究了在兩層流體中定常運動的偶極子的興波特性問題。朱偉［8］從 Green 定理出發，基于 Rankin 源的分層邊界積分理論模型研究兩層有限深流體中運動潛體的興波特性問題。本文基于勢流理論，采用 Hess-Smith 方法，對兩層介質中運動潛體的內波進行數值計算研究，得到表面波和內波波形與航速、潛深之間的關系。

1　基本方程和邊界條件及數值計算方法

設海水為兩層介質，上層水的密度為ρ1，深度為H1；下層水的密度為ρ2，深度為H2；總水深為H。潛體在上層（或下層）介質中以速度 U∞勻速直線航行，潛體的下潛深度為H0。將坐標系固結在勻速運動的潛體上，原點 o位于未擾動的水面上，x 軸與潛體軸線平行，方向與潛體運動方向相反，z 軸垂直向上，在此坐標系中觀察，遠方流體以速度 U∞沿 x 方向流向潛體（見圖1）。

圖1　潛體在兩層流體中運動示意圖Fig. 1　Sketch map of submerged body in two-layer fluid

設流體是無粘性流體，流動無旋，則流體流動可以用勢流理論求解。上、下兩層流體的擾動速度勢分別記為φ1和φ2。則 φ1和φ2滿足的基本方程分別為：

在定常流動和小擾動條件下，在自由面上，運動學條件為：

動力學條件為：

將式（3）代入式（4）得到自由面上運動學和動力學結合條件為：

在小擾動條件下，潛艇表面上滿足的邊界條件為：

在定常流動和小擾動條件下，在分層界面上，運動學條件為：

在分層界面上，動力學邊界條件為：

將式（8）代入式（9）得得到分層界面上運動學和動力學結合條件為：

在海底的邊界條件為：

自由面波高的計算公式為：

分層界面波高的計算公式為：

采用常數密度的邊界元法（Hess-Smith 方法）求解上述基本方程和邊界條件。在物體表面、自由表面、分界面和水底劃分四邊形單元，在每個單元上分布常數密度的面源，采用 Dawson 的方法，通過兩次采用迎風差分的方法［9］，解出面源密度。進而計算出上層和下層流體的流動速度勢和速度。根據式（12）計算自由表面波高，根據式（13）計算內波波高。

2　算　例

采用 C 語言開發了計算潛艇在兩層分層介質中運動產生內波和表面波的邊界元計算程序。潛艇或其他模型可以在上層或下層流體中運動，可以對無限水深和有限水深工況進行計算。通過命令窗口，輸入相關參數后進行計算，表面波和內波波高通過條用 Matlab計算引擎繪出。

2.1無限水深下均勻環境橢球體興波阻力計算

圖2　橢球體興波阻力系數Fig. 2　wave-making resistance coefficient of ellipsoid

2.2SUBOFF 光體模型計算結果分析

由于計算模型與xoz平面對稱有關，只對xoz平面一側表面進行離散。采用鏡像法考慮另一側的影響。半個光體表面的面元數目為1 000個，其中沿軸向 50個單元，周向為20個單元（見圖3）。自由表面的范圍取為：潛艇頭部 500 m，尾部 2 000 m，側面 800 m，自由表面一半的面元數目為15 000個，其中沿縱向為300個單元，橫向為50個單元。所以總面元數目為16 000個。

圖3　SUBOFF 半光體表面單元Fig. 3　Panels of half suboff bare body surface

采用放大 20 倍 SUBOFF 光體模型，H1=45 m，H2=100 m，考慮密度比 γ=0.974 時，表面波模式的臨界佛魯德數Fr1=0.997，內波模式的臨界佛魯德數 Fr2=0.077 4，其中，Fm由式（14）確定。

圖4～圖6為在潛深 30 m 時，不同水深佛魯德數情況下的表面波和內波波形。在水深佛魯德數比較小時（見圖4），表面波和內波以橫波為主，影響范圍比較小；在接近內波模式的臨界佛魯德數 Fr2時（見圖5），表面波和內波中散波和橫波的波形都比較明顯；在水深佛魯德數比較大時（見圖6），表面波和內波以散波為主。

圖4　H0=30 m，Fh=0.034Fig. 4　H0=30 m， Fh=0.034

圖5　H0=30 m，Fh=0.068Fig. 5　H0=30 m， Fh=0.068

圖7為在潛深30 m 時，不同水深佛魯德數情況下表面波和內波波峰和波谷（圖中內波數據為計算值加上 H1的結果）。從圖中可以看出，隨著水深佛魯德數的增加，表面波的波峰和波谷在增加；而內波的波峰和波谷在接近內波模式的臨界佛魯德數 Fr2時均接近最大值，在大于 Fr2時，內波的波峰和波谷變化趨于平緩。

圖8和圖9為Fh=0.068（航速為5 kn）時，不同潛深時的表面波和內波波形。結合圖5可看出，表面波和內波波形，在同一航速、不同潛深的情況下，分布是相似的，但當潛體位于下層流體時，波峰與波谷的位置剛好與潛體位于上層流體時相反。

圖6　H0=30 m，Fh=0.102Fig. 6　H0=30 m， Fh=0.102

圖7　H0=30 m，表面波和內波的波峰和波谷Fig. 7　Peak and trough of surface wave and internal wave for H0=30 m

圖8　H0=37.5 m，Fh=0.068 表面波和內波Fig. 8　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

圖9　H0=60 m，Fh=0.068 表面波和內波Fig. 9　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

3　結　語

采用常數密度的邊界元法可以求解潛體在分層流中定常運動引起的表面波和內波問題。在水深佛魯德數比較小時，表面波和內波以橫波為主，影響范圍比較小；在接近內波模式的臨界佛魯德數 Fr2時，表面波和內波中散波和橫波的波形都比較明顯，且內波的波高和波峰均接近最大值；在水深佛魯德數比較大時，表面波和內波以散波為主。在同一航速、不同潛深的情況下，分布相似，但當潛體位于下層流體時，波峰與波谷的位置剛好與潛體位于上層流體時相反。

［1］KELLER J B， MUNK W H. Internal wave wakes of a body moving in a stratified fluid［J］. Physics of Fluids， 1970， 13（6）：1425-1431.

［2］MILES J W. Internal waves generated by a horizontally moving source［J］. Geophysical Fluid Dynamics， 1971， 2（1）： 63-87.

［3］HUGHES B A. The effect of internal waves on surface wind waves 2. Theoretical analysis［J］. Journal of Geophysical Research， 1978， 83（C1）： 455-465.

［4］TULIN M P， YAO Y T， WANG P. The generation and propagation of ship internal waves in a generally stratified ocean at high densimetric Froude number， including nonlinear effects［J］. Journal of Ship Research， 2000， 44（3）： 197-227.

［5］RADKO T. Ship waves in a stratified fluid［J］. Journal of Ship Research， 2001， 45（1）： 1-12.

［6］YEUNG R W， NGUYEN T C. Waves generated by a moving source in a two-layer ocean of finite depth［J］. Journal of Engineering Mathematics， 1999， 35（1/2）： 85-107.

［7］WEI G， LE J C， DAI S Q. Surface effects of internal wave generated by a moving source in a two-layer fluid of finite depth［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2003， 24（9）：1025-1040.

［8］朱偉， 尤云祥， 繆國平， 等. 兩層流體中運動物體的興波特性［J］. 船舶力學， 2004， 8（5）： 1-9.

ZHU Wei， YOU Yun-xiang， MIAO Guo-ping， et al. Wavemaking characteristics of a moving body in a two-layer fluid［J］. Journal of Ship Mechanics， 2004， 8（5）： 1-9.

［9］BAL S， KINNAS S A， LEE H. Numerical analysis of 2-D and 3-D cavitating hydrofoils under a free surface［J］. Journal of Ship Research， 2001， 45（1）： 34-49.

［10］HE G H. An iterative Rankine BEM for wave-making analysis of submerged and surface-piercing bodies in finite water depth［J］. Journal of Hydrodynamics， 2013， 25（6）： 839-847.

［11］BELIBASSAKIS K A， GEROSTATHIS T P， KOSTAS K V，et al. A BEM-isogeometric method for the ship wave-resistance problem［J］. Ocean Engineering， 2013， 60： 53-67.

［12］DOCTORS L J， BECK R F. Convergence properties of the Neumann-Kelvin problem for a submerged body［J］. Journal of Ship Research， 1987， 31（4）： 227-234.

Numerical simulation of internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid

SHENG Li1， WANG Chong2， LIU Jiu-bin2
（1. No. 92537 Unit of PLA， Beijing 100161， China； 2. Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

Based potential flow theory， internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid is simulated numerically using Hess-Smith method. The correspondence between patterns of surface wave， internal wave and Froude number of water deep， diving depth is obtained. Program is verified by simulating wave-making resistance of ellipsoid moving in a finite water-depth.

submerged body；internal waves；two-layer fluid；boundary-element method

U661.1

A

1672-7619（2016）09-0060-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.09.011

2016-03-31；

2016-05-05

國防預研資助項目（1010401030502）

盛立（1984-），男，博士，工程師，研究方向為艦船總體。