例析指數(shù)函數(shù)有關問題

安徽省太和中學　阮飛

例析指數(shù)函數(shù)有關問題

安徽省太和中學阮飛

在學習了函數(shù)的概念和函數(shù)的一般性質(zhì)的基礎上，我們具體研究的第一個重要函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)。在學習指數(shù)函數(shù)過程中，我們利用了觀察、分析、抽象、概括等方法，體會了從特殊到一般、數(shù)形結合等思想。我們要深入理解，不斷提高我們的數(shù)學素養(yǎng)。

一、指數(shù)運算

包含根式概念、分數(shù)指數(shù)冪的運算等，重點理解指數(shù)冪的運算性質(zhì)。注意以下兩點：

2.注意將根式化為分數(shù)指數(shù)、負指數(shù)化為正指數(shù)的運算順序，會用運算律求值和化簡。

例1已知f（x）=3x，

求證：（1）f（x+y）=f（x）·f（y）。

證明（1）因為f（x）=3x，所以f（x）

又因為f（x+y）=3x+y，所以f（x+y）=f（x）·f（y）。

二、指數(shù)函數(shù)的概念

主要考查指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)及其復合函數(shù)的定義域和值域等。

例2已知f（x）的定義域為（0，1），則f（3x）的定義域為_____。

解析因為f（x）的定義域為（0，1），所以0＜3x＜1，

所以x＜0，故應填（-∞，0）。

因為函數(shù)f（t）圖像的對稱軸方程為t=3，

評注指數(shù)函數(shù)復合函數(shù)的模型主要有兩種：

（1）y=f（ax），在用換元時要注意t=ax＞0這個條件。（2）y=af（x），注意0＜a＜1，a＞1和f（x）的定義域。

三、指數(shù)函數(shù)圖像

1.指數(shù)函數(shù)圖像特征

例4下列命題正確的有____。

（1）函數(shù)y=x0的圖像是一條直線。

解析（1）x≠0，它表示的不是一條直線。

（3）畫出函數(shù)y=x2，y=2x的圖像，它們在y軸左邊有一個交點，在y軸右邊還有交點（2，4）和（4，16），A∩B的元素個數(shù)是3。

（4）由x2-2x＞0，得x＞2或x＜0。

綜上所述，正確命題是（2）（3）（4）。

2.底數(shù)大小與指數(shù)函數(shù)圖像間的關系

例5如圖，則a、b、c、d與1的大小關系是（）。

A.a＜b＜1＜c＜d

B.b＜a＜1＜d＜c

C.a＜b＜1＜d＜c

D.1＜a＜b＜c＜d

解析方法一：結合四個函數(shù)的圖像，由直線x=1與它們交點的縱坐標可知b＜a＜1＜d＜c。

方法二：在同一坐標系中，指數(shù)函數(shù)在第一象限的圖像滿足“底大圖高”，結合圖像知選B。

3.指數(shù)函數(shù)圖像的應用

由題意知，方程f（x）-m=0即f（x）=m有三個實根，則y=f（x）與y=m有3個交點即可，畫出圖像，數(shù)形結合可得m的取值范圍是（0，1）。

評注函數(shù)的零點即函數(shù)對應方程的根，一般可以轉化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題。我們可以畫出兩個函數(shù)的圖像，通過數(shù)形結合判斷交點個數(shù)。

四、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用

1.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪的大小

因為y=2x是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以y1＞y3＞y2，故選B。

2.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式

例8不等式2x2-x＜4的解集為____。

解析原不等式可以變形為2x2-x＜22，則x2-x＜2，解得-1＜x＜2，所以原不等式的解集為（-1，2）。

解析當x<1時，x-1<0，ex-1<1，則ex-1≤2恒成立，故x<1符合題意；

綜上可知，x的取值范圍為（-∞，8］。評注分段函數(shù)問題需要分段考慮。

五、幾種常見的含指數(shù)的函數(shù)

1.f（x）+f（a-x）=常數(shù)

評注根據(jù)求和的整體形式特征，我們可以猜測：f（-12）+f（13）=f（-11）+f（12）=f（-10）+ f（11）=…=f（0）+f（1），而它們有共同的特點：-12+13=-11+12=…=0+1=1，經(jīng)驗證，f（x）+f（1-x）=常數(shù)，即可求得結果。

2.復合函數(shù)y=a|x-m|+b（a＞0，a≠1）的性質(zhì)

例11若函數(shù)f（x）=2|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［m，+∞）單調(diào)遞增，則實數(shù)m的

最小值等于____。

解析函數(shù)f（x）=2|x-a|（a∈R）的圖像關于直線x=a對稱，

又由f（1+x）=f（1-x）得函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=1對稱，故a=1，

由復合函數(shù)單調(diào)性得f（x）在［1，+∞）遞增，故m≥1，

所以實數(shù)m的最小值等于1。

評注函數(shù)y=a|x-m|+b（a＞0，a≠1）的圖像關于直線x=m對稱。利用函數(shù)的對稱性確定a的值，利用復合函數(shù)的單調(diào)性（內(nèi)外函數(shù)“同增異減”）確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而求得參數(shù)的取值范圍。

求證：（1）［g（x）］2-［f（x）］2=1。

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）。

（3）g（2x）=［g（x］2+［f（x）］2。

所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］

原式得證。

所以f（2x）=2f（x）·g（x）。

所以g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2。