復合函數單調性的求解策略

安徽省太和中學　岳峻

復合函數單調性的求解策略

安徽省太和中學岳峻

我們知道，在復合函數y=f［g（x）］中，若內層函數u=g（x）在區間（a，b）上具有單調性，當x∈（a，b）時，u∈（m，n），且外層函數y=f（u）在區間（m，n）上也具有單調性，則復合函數y= f［g（x）］在區間（a，b）上一定是單調函數。單調性的判斷規律可總結為：對于內層函數和外層函數，同增同減復合增，增減相異復合減，簡而言之：同為增，異為減。

函數的單調性是高考的重點和熱點內容之一，其中復合函數的單調性是高中數學的一個難點。如何求解復合函數的單調性呢？

一、外層函數與內層函數的單調性均為一種

例1函數f（x）=loga（4-ax）（a＞0，a≠1）在［0，1］上單調遞減，則a的取值范圍是（）。

A.（1，4］B.（1，4）

C.（4，+∞） D.［4，+∞）

解析（1）函數的定義域須滿足：4-ax＞0。

（2）還原復合函數的復合過程：此函數由函數y=logau，u（x）=4-ax復合而成。

（3）內層函數的單調區間：因a＞0，函數u（x）=4-ax在［0，1］上單調遞減，且u∈［4-a，4］。

（4）外層函數的單調區間：當0＜a＜1時，函數y=logau在u∈［4-a，4］上單調遞減；當a＞1時，函數y=logau在u∈［4-a，4］上單調遞增。

（5）因為函數f（x）=loga（4-ax）在［0，1］上單調遞減，而函數u（x）=4-ax在［0，1］上單調遞減，根據復合函數的單調性規律，可知：a＞1，且4-a＞0。

故答案為B。

評注研究函數的單調區間必須遵循“定義域優先”的原則，不能忽視4-ax＞0在［0，1］上恒成立這一條件。

變式1函數f（x）=loga（4-ax）（a＞0，a≠1）在［6，8］上單調遞增，則a的取值范圍是（）。

二、外層函數的單調性只有一種，內層函數有多種單調性

例2求函數的單調區間。

解析（1）函數的定義域：（-∞，1）∪（3，+∞）。

（3）內層函數的單調區間：函數u（x）=x2-4x+3在（-∞，2］上單調遞減，在［2，+∞）上單調遞增。

評注探求此類復合函數單調性的五步驟：（1）確定定義域，函數的單調區間必須是函數定義域的子區間。（2）還原復合函數的復合過程。（3）確定內層函數的單調區間。（4）確定外層函數的單調區間。（5）根據復合函數的單調性規律，確定復合函數的單調區間。對于函數的單調區間，包不包括端點都可以，但是，若單調區間端點在定義域之中，最好用閉區間。

解析（1）函數的定義域：（-∞，1）∪（1，5）∪（5，+∞）。

（2）還原復合函數的復合過程：此函數由函數y=logsin3u，u（x）=|x2-6x+5|復合而成。

（3）內層函數的單調區間：函數u（x）=|x2-6x+5|在（-∞，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，在［3，5）上單調遞減，在（5，+∞）上單調遞增。

（4）外層函數的單調區間：函數y=logsin3u在（0，+∞）上單調遞減。

（5）根據復合函數的單調性規律，函數y=logsin3|x2-6x+5|在（-∞，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，在［3，5）上單調遞增，在（5，+∞）上單調遞減。

三、外層函數的單調性有多種，內層函數只有一種單調性

解析（1）函數的定義域：（0，+∞）。

（3）內層函數的單調區間：函數u（x）=在（0，+∞）上單調遞減。

變式3函數f（x）=9x-2×3x+1+2的單調遞減區間是____，單調遞減區間是____。

四、外層函數與內層函數的單調性都有多種

解析（1）函數的定義域：（0，+∞）。

（4）外層函數的單調區間：y=f（u）=u2-8u+2在（-∞，4）上單調遞減，在（4，+∞）單調遞增。

變式訓練答案：

變式3（-∞，1）（1，+∞）提示：函數f（x）=（3x）2-6×（3x）+2，外層函數y=u2-6u+2，內層函數u=3x。因為內層函數u=3x在R上單調遞增，外層函數y=u2-6u+2在u∈（-∞，3）［?x∈（-∞，1）］上單調遞減，在u∈［3，+∞）［?x∈［3，+∞）］單調遞增，所以f（x）=9x-2×3x++2在（-∞，1）上單調遞減，在［1，+∞）上單調遞增。