立體幾何中正方體的載體作用

安徽省合肥北城中學　尹連輝

立體幾何中正方體的載體作用

安徽省合肥北城中學尹連輝

正方體是常見的重要空間幾何體，正方體的點、線、面都具有很好的對稱性。有些圖形看似復雜，但運用割補法將其放入正方體模型中，難度就會降低很多。下面舉例說明。

一、正方體與直線

例1若空間中四條不同的直線l1、l2、l3、l4滿足l1⊥l2、l2⊥l3、l3⊥l4，則下列結論一定正確的是（）。

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關系不確定

試題分析本題考查空間中直線的位置關系，常規思路是利用所學線線關系進行逐步排除。因為空間直線平行根據公理4具有傳遞性，但垂直不具有傳遞性，所以判斷起來費時費力。通過觀察我們可以看出，題目中所給垂直條件較多，而在正方體中能夠輕松找出符合題設所列垂直條件的直線，所以可以考慮把本題中的直線放在正方體中觀察。

解析如右圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設DD1是直線l1，DC是直線l2，AD是直線l3，若AA1是直線l4，則l1∥l4；若AB是直線l4，則l1⊥l4。故很容易得出l1與l4的位置關系不確定。

二、正方體與三視圖

例2一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）。

試題分析本題以正方體模型為載體，考查的是識圖能力及幾何體體積的運算，要求我們能根據三視圖還原出幾何體，進而求體積比。

三、正方體與命題

例3如右圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是________（寫出所有正確命題的編號）。

試題分析此類問題除了考查同學們的空間想象能力之外，對思維層次的要求較高，稍不留神就會出錯，只有靜下心來，沉著冷靜地處理該類問題，才能夠做好。

當CQ=1時，截面為APC1E，可知且四邊形APC1E為菱形故⑤正確。

四、正方體與排列組合、概率

高考對知識的考查不單單是某個章節的知識點，有時還會和其他知識綜合，在知識的交匯處命題，如正方體與排列組合、概率等知識綜合考查。

例4從正方體6個面的對角線中任取兩條作為一對，其中成的角為60°的共有（）。

A.24對 B.30對 C.48對 D.60對

試題分析本題以正方體為載體，考查排列組合知識，解決問題時應做到不重不漏。

例5考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（）。

試題分析本題以正方體為載體，考查概率知識，解決問題時應做到不重不漏。

解析如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，共有·=15×15= 225種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12對，所以所求概率為，選D。

對模型認識和熟悉的過程實際是鞏固基礎知識和基本技能的過程。模型就像教材里的常用公式一樣，既能直接用來幫助解題，也能作為啟發和開拓思路的重要工具，可謂一舉多得。因此，我們學習的過程中要注重對像正方體這樣的模型的掌握和運用。