基于時變混合Copula模型的配對交易策略

沈銀芳，鄭學東，徐建軍

(1.浙江財經大學數據科學學院，浙江　杭州　310018；2.浙江財經大學金融學院，浙江　杭州　310018)

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基于時變混合Copula模型的配對交易策略

沈銀芳1，鄭學東1，徐建軍2

(1.浙江財經大學數據科學學院，浙江杭州310018；2.浙江財經大學金融學院，浙江杭州310018)

由于金融時間序列數據通常具有動態時變、非對稱和非線性相關特征，本文給出了一類權重系數和Copula參數均時變的混合Copula模型。同時基于權重系數和Copula參數時變的混合Copula模型，刻畫不同頻率互聯網金融概念股價格序列之間的相關性，構建配對交易策略模型，并與靜態混合Copula模型下的策略結果進行比較。實證分析表明：基于時變混合Copula模型的配對交易策略可以獲得較高收益；Copula參數和權重系數均時變的混合Copula模型能捕獲更多交易機會，策略表現最好；含有較多成分Copula的混合模型在配對交易策略中并不具有優勢；高頻率金融市場比相應低頻率金融市場的策略盈利更高。

時變；混合Copula；配對交易策略；權重系數；Copula參數

一、引　言

Copula方法是近幾年用于研究變量間非正態、非線性相依結構的有效方法之一。Hu(2006)、Hong等(2007)使用靜態混合Copula來研究國際股市間的相依性，發現混合Copula模型比單一Copula模型能更好地反映國際股市間風險的聯動特點[1][2]。然而，Engle(2002)、Tse 和Tsui(2002)等發現金融變量間的相依性具有時變特征，市場信息的流動、宏觀經濟環境的變化等都可能改變金融變量間的相依程度[3][4]。因此，有必要對Copula相依參數動態化。Patton(2001)最早研究時變Copula模型，提出利用ARMA(1，10)過程來描述二元正態 Copula 函數的相關參數[5]。Ng(2008)設成分Copula函數的權重系數為上述ARMA(1，10)過程，而Copula參數不變，構建時變混合Copula模型[6]。迄今為止，關于權重系數和參數均時變的混合Copula模型的文獻并不多見。本文擬借鑒Patton(2001)，基于ARMA(1，10)來構建混合Copula模型中的參數和權重系數的時變方程，提出一類時變混合Copula模型，通過實證分析與Ng(2008)進行比較。

配對交易策略是一種最常用的統計套利策略，其傳統方法有協整法[7]、隨機價差法[8]和最小距離法[9]，這些策略均基于股票的線性相關性和對稱性出發研究價差序列。但金融資產間普遍存在非線性、非對稱相關性和非正態性，采用傳統的交易策略可能產生錯誤的交易信號或失去盈利機會。Ferreira(2008)首次運用Copula函數來研究交易策略[10]，張戈、程棵和陸鳳彬等(2011)利用Copula函數對序列間下尾部相關性的刻畫，建立了一套適用于金融市場高頻數據的程序化交易策略，并在我國期貨市場進行了實證檢驗[11]。Xie 和Wu(2013)，Liew 和Wu(2013)，Standaer、Marais和Botha(2013)及Xie和Liew等(2014)對股票日收益率利用相關系數配對，運用靜態Copula刻畫收益率之間的尾部相關性，構建了配對交易策略[12][13][14]。

然而上述文獻中Copula模型是靜態單一的，不能刻畫金融時間序列之間的動態時變及其他復雜相關性，而權重系數和參數均時變的混合Copula模型綜合了時變Copula和混合Copula的優點，能較全面地刻畫金融資產之間的各類動態時變相關性。由此，本文將基于時變混合Copula模型，分析股票價格序列之間的條件相關性，構建配對交易策略模型，并與靜態混合模型下的策略表現進行比較。同時隨著高頻金融數據的可獲得性越來越強，高頻環境下金融資產之間的相關性分析顯得越來越重要。高頻金融市場帶來的大量日內信息，是否可以使時變混合Copula模型更準確地捕捉金融資產之間的相關性，從而產生更多交易機會，獲得更多套利收益？這也是本文的主題之一。

金融變量間的關系包括對稱相關和非對稱相關，不同的Copula函數對于相關性的描述各具特點。最常用的二元正態Copula函數具有對稱性，無法捕捉到金融數據之間非對稱的相關關系，對稱Joe-Clayton (SJC)Copula 可以很好地描述變量間的非對稱和尾部相關性。Clayton、Gumbel Copula函數分別對變量在其分布下尾部和上尾部的變化十分敏感，適用于描述金融市場之間的下尾和上尾相關特性，Frank Copula函數可以用于描述具有對稱相關結構的變量之間的相關關系。于是本文將利用上述五類 Copula函數構建時變混合Copula模型，反映金融市場相關性動態變化的各種情形，利用條件相關性構建配對交易策略，并選取流動性比較強的低頻和高頻互聯網金融概念股市場進行實證分析，對基于時變混合和靜態混合Copula模型的策略表現進行綜合比較。

二、理論模型

(一) 時變混合Copula模型

對稱Joe-Clayton、Gumbel、Frank、Clayton和二元正態Copula函數的具體形式分別為：

CSJC(u,v|τU,τL)=0.5·(CJC(u,v|τU,τL)+CJC(1-u,1-v|τL,τU)+u+v-1)

(1)

CJC(u,v|τU,τL)=1-(1-{[1-(1-u)k]-γ+[1-(1-v)k]-γ-1}-1/γ)1/k

(2)

κ=1/log2(2-τU),γ=-1/log2(τL),τU,τL∈(0,1)

CGumbel(u,v;θ1)=exp(-[(-lnu)θ1+(-lnv)θ1]1/θ1),θ1≥1

(3)

CFrank(u,v;θ2)=-ln(1+(e-uθ2-1)(e-vθ2-1)/(e-θ2-1)),θ2≠0

(4)

CClayton(u,v;θ3)=(u-θ3+v-θ3-1)-1/θ3,θ3>0

(5)

(6)

其中，0≤u,v≤1。

Patton(2001、2006)[5][15]將Copula時變參數由一個類似于ARMA(1,10)過程來描述：

λi,t=Λ(αi+βi·λi,t-1+γi·ht-1(·))

(7)

(8)

對于其他幾類Copula函數，

(9)

另外，變換函數Λ(·) 如表1所示：

表1　變換函數Λ(·)

混合Copula模型的一般結構為：

(10)

其中，M為混合Copula模型中成分Copula的個數。

權重系數和Copula參數均時變的混合Copula模型一般形式為：

(11)

本文以Patton(2001、2006)的參數時變Copula為成分Copula，構建權重系數和Copula參數均動態變化的時變混合Copula模型，其時變權重系數的演化方程如下：

(12)

ω1,t=1/(1+e-pω1,t)

(13)

ω2,t=(1-ω1,t)/(1+e-pω2,t)

(14)

?

ωM-1,t=(1-ω1,t-ω2,t-…-ωM-2,t)/(1+e-pωM-1,t)

(15)

ωM,t=1-ω1,t-ω2,t-…-ωM-1,t

(16)

(二) 配對交易策略模型

本文將分別基于對稱Joe-Clayton、Gumbel、Frank、Clayton和二元正態Copula函數構成的權重系數和Copula參數均時變的混合模型(模型Ⅰ)，僅權重系數時變而Copula參數為常數的混合模型(模型Ⅱ)，Gumbel、Frank和Clayton Copula三個阿基米德Copula函數構成的權重系數和參數均時變的混合模型(模型Ⅲ)及靜態混合Copula模型(模型Ⅳ)，構建配對交易策略模型并進行實證分析。

1.條件相關性

在選定的樣本期S內，假設兩資產X,Y的價格序列為PX(t)，PY(t)。為了避免似然函數為0或無窮大，保證累積概率最大值屬于區間 (0,1)，以經驗分布乘以S/(S+1) 擬合各資產分布，得均勻分布序列

U(t)=FX(PX(t)),V(t)=FY(PY(t)),t∈S

(17)

若設u=FX(x),v=FY(y),則

P{PX(t)

(18)

同時設C(u,v) 為擬合序列U(t)，V(t) 相依結構的Copula 函數，由Copula性質得

(19)

(20)

2.開倉點

若P{U(to1)

(21)

說明to1時刻資產X的價格相對高估，而資產Y的價格相對低估，因此資產X的價格很可能降低，而資產Y的價格很可能上升，則在to1時刻開倉賣出X買進Y。同理當

P{V(to2)

(22)

說明to2時刻資產Y的價格相對高估,而資產X的價格相對低估，因此資產Y的價格很可能降低，而資產X的價格很可能上升，則在to2時刻開倉賣出Y買進X。

3.平倉點

在to1時刻開倉后，若

P{U(tc1)

(23)

即在tc1時刻兩資產的價格既不低估也不高估，于是在tc1時刻賣出Y，買進X平倉。同理，在to2開倉后，若

P{V(tc2)

(24)

即在tc2時刻兩資產的價格既不低估也不高估，于是在tc2時刻賣出X,買進Y平倉。

4.止損點

本文使用日及日內1小時、5分鐘的股票價格數據。取止損點T為35日，即若開倉后35日內沒有發現平倉點，則強行平倉。對于日內股票價格數據，允許“T+0”交易，這是由于本文旨在分析頻率的變化對于策略的影響，以及日內信息是否能使策略獲得更好收益，且本文對不同模型的比較基于相同條件，由此“T+0”交易假設并不影響本文的結論和意義。

三、實證分析

(一) 實證數據

本文使用中國金融市場流動性比較強的互聯網金融概念股，日及日內間隔5分鐘、1小時的股票價格序列，數據日期為2014年1月28日至2015年7月31日，以2014年1月28日至2014年12月31日為訓練樣本，利用極大似然方法估計混合Copula模型，2015年1月1日至2015年7月31日為測試階段。由于交易策略是以價格序列的條件相關性為基礎構建的，因此分別選擇同一板塊的兩支股票配對。根據互聯網金融概念股分類，選取交易和托管結算板塊的恒生電子(600570)和中科金財(002657)、征信板塊的銀之杰(300085)和安碩信息(300380)及支付板塊的騰邦國際(300178)和蘇寧云商(002024)為研究對象。計算中，采用買賣交易均扣除手續費方式，手續費率為0.03%，同時設初始資金ASSET(0)=1(萬元)，每次開倉交易時由擁有的資金決定交易量，具體的，若t時刻開倉，資金量為：

ASSET(t)=VX(t)×PX(t)=VY(t)×PY(t)

(25)

其中，VX(t),VY(t),PX(t),PY(t)分別表示t時刻資產X,Y的交易量和價格。

由圖1可得，互聯網金融概念股價格序列呈現出較強的協整關系。

圖1　互聯網金融概念股日價格序列圖

(二)不同模型的策略比較

本節中，各圖橫坐標T為止損點，為便于比較均以日為單位。同時以每次套利交易扣除手續費之后的收益為縱坐標。

圖2中，“○”、“*”、“+”和“◇”分別表示模型Ⅰ至Ⅳ的策略收益。模型Ⅳ策略表現明顯弱，模型Ⅰ、Ⅲ比較強，模型Ⅱ其次，由此利用時變混合Copula模型比靜態混合Copula模型能創造更高的策略收益。同時參數的時變性也非常重要，權重系數和Copula參數均時變的混合Copula模型Ⅰ和模型 Ⅲ 比僅權重系數時變而Copula參數不變的混合Copula模型Ⅱ更能抓住盈利機會，從而帶來更多收益。而模型Ⅰ并沒有明顯比模型Ⅲ強，表明含有較多成分Copula的混合Copula模型在配對交易策略中并不具有優勢。同時不難發現當T在區間[0，30]時，各模型收益的波動比較大，隨后逐漸趨于平穩，模型Ⅱ趨于穩定的速度較慢。

圖2　恒生電子和中科金財配對交易的收益(單位：萬元)

接下來在圖3中，“□”、“+”和“*”分別表示頻率為日、1小時和5分鐘價格序列的策略收益。由圖3，各模型總體上在頻率為5分鐘的互聯網金融概念股市場中表現最好，1小時頻率其次。進一步地，將由上述四類混合Copula模型在交易和托管結算、征信和支付板塊互聯網金融概念股股票市場中，得到的策略最終結果匯總如表2，收益均已扣除手續費。可見，在頻率較高的金融市場中，能利用更多的市場信息，抓住更多盈利機會，從而獲得更高收益。事實上，隨著頻率提高，金融資產之間非線性、非對稱相關性和非正態性將更顯著，由于Copula函數能捕獲金融資產之間各類相依結構，從而抓住更多交易機會。由此，利用Copula模型構建高頻環境下的配對交易策略更具優勢。

圖3　恒生電子和中科金財不同頻率配對交易的收益(單位：萬元)

表2　基于混合Copula模型的配對交易策略最終結果(T=35日)

(三)結果分析

本節將以交易和托管結算板塊的恒生電子和中科金財為例，具體分析基于時變混合Copula模型，尤其是Copula參數和權重系數均時變的混合Copula模型，策略盈利高的原因。

中科金財和恒生電子的價差序列圖4、條件概率序列圖5與條件概率之差序列圖6，基本趨勢一致，但是條件概率之差波動更顯著，這是因為價格差只考慮了價格序列之間的線性關系，而由混合Copula模型所得條件概率之差還能充分利用兩價格序列之間非線性、非對稱和尾部相關性，從而更能細致準確刻畫價格序列的變化。在構建交易策略時，恒生電子和中科金財各頻率價格序列在測試階段的條件概率變化如圖5，比日價格序列波動性更顯著。由圖6，恒生電子和中科金財頻率為5分鐘的價格序列條件概率差波動最顯著，一開始，中科金財和恒生電子的條件概率差就超過了0.5，故認為中科金財高估的可能性非常大，即價格很可能趨低，而恒生電子低估的可能性非常大，即價格很可能趨高，因此考慮首先開倉賣出中科金財，買進恒生電子，隨后當兩序列條件概率差反向超過0.5或達到止損點，則進行反向操作平倉處理，完成一次配對交易。隨著數據頻率提高，基于混合Copula模型的配對交易策略次數增加，可以獲得更高收益。

圖4　恒生電子、中科金財價差序列圖(頻率：5分鐘)

圖5　恒生電子、中科金財條件概率序列圖

圖6　恒生電子、中科金財條件概率之差序列圖

由上一節的討論，Copula參數和權重系數均時變的混合Copula模型Ⅰ和模型 Ⅲ 比其他模型能帶來更多交易機會?，F以兩成分Copula函數Gumbel、Frank為例，分析恒生電子和中科金財日價格序列中，模型Ⅰ和模型 Ⅲ 的時變相關參數的動態變化。由圖7，Gumbel和FrankCopula參數非常接近。圖7的橫坐標刻度有長短，分別代表恒生電子、中科金財進行對齊處理之后參與配對的每個月股票日價格對數。

圖7　擬合恒生電子和中科金財日價格序列相關性的Copula參數變化圖

四、結　論

本文提出了一類權重系數和Copula參數均時變的混合Copula模型，應用于不同頻率互聯網金融概念股市場，構建配對交易策略模型，并分別與權重系數時變而Copula參數不變及靜態的混合Copula模型進行了比較。本文的最終結論為：首先，時變混合Copula模型帶來了可觀的策略收益，基于Copula模型的配對交易策略因為不需要利用總體正態性的假設，充分利用了價格序列之間各類非線性、非對稱和動態相依性，比傳統的套利策略能捕獲更多交易機會，從而獲得更高收益；其次，混合模型比單一模型好，但也不是成分Copula個數越多越好，三個阿基米德Copula函數Gumbel、Frank和ClaytonCopula基本上能反映各類相依性，它們組成的時變混合模型與再加對稱Joe-Clayton、正態Copula函數構成的時變模型策略表現差別不太大；再次，利用時變模型非常有必要，尤其是數據頻率比較高時，參數時變性需要考慮，比僅僅考慮權重時變的模型效果好；最后，日內信息能顯著提高模型的擬合能力，充分挖掘金融資產之間的相依信息，頻率高的數據比頻率低的數據能產生更高的收益。

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(責任編輯:原蘊)

Pairs Trading Strategy Based on Time——varying Mixture Copula Models

SHENYin-fang1,ZHENGXue-dong1,XUJian-jun2

(1.SchoolofDataSciences,ZhejiangUniversityofFinanceandEconomics,Hangzhou310018，China;2.SchoolofFinance,ZhejiangUniversityofFinanceandEconomics,Hangzhou310018，China)

Asthecorrelationsbetweenfinancialtimeseriesusuallyaredynamictime-varying,asymmetricandnonlinear,thisarticlepresentsamixtureCopulamodelwithtime-varyingweightcoefficientsandCopulaparameters,describesthecorrelationsbetweeninternetbankingstockspriceseriesofdifferentfrequencybasedonmixtureCopulamodelswhoseweightcoefficientsandCopulaparametersarebothtime-varying,thenconstructsanewkindofpairstradingstrategymodel,andcomparesitwiththeestrategyresultsfromstaticmixtureCopulamodels.Empiricalanalysisshowsthatpairstradingstrategybasedontime-varyingmixtureCopulamodelsgainsahighstablereturns,mixtureCopulamodelswhoseweightcoefficientsandCopulaparametersaretime-varyingcancapturemoretradeopportunitiesandhavethebeststrategyperformance.MixtureCopulamodelswithmoreCopulafunctionsdon’thavetheadvantageinpairstradingstrategy.Highfrequencyfinancialmarketsaremoreprofitablethanthecorrespondinglylowfrequencyfinancialmarkets.

time-varying;mixtureCopula;pairstradingstrategy;weightcoefficients;Copulaparameters

2015-11-18

浙江省自然科學青年基金資助項目(LQ14G010007)；全國統計科學研究資助項目(2015LY45)；浙江省哲學社會科學規劃課題(17NDJC171)

沈銀芳(1978-)，女，浙江嵊州人，浙江財經大學數據科學學院副教授；鄭學東(1964-)，男，廣東潮陽人，浙江財經大學數據科學學院講師；徐建軍(1977-)，男，浙江蘭溪人，浙江財經大學金融學院副教授。

F830

A

1004-4892(2016)10-0048-09