高中數學“問題串”教學模式的實踐研究

張燕

[摘 要] 數學課堂教學如何事半功倍呢？如何讓同類問題下的教學顯得更有效、更高效呢？多種教學模式一直受到教師的研究、探討，相對而言問題串教學模式是一種行之有效的手段.

[關鍵詞] 數學；問題串；教學；整合性；深度；三角；函數

眾所周知，數學課堂教學如何再高效一些是我們教學一直所追求的核心. 從近年來數學教學的特點來看，試題思考角度的多樣性、難易程度、對知識整合能力的要求等等都有著更高的教學要求.現階段下如何實現諸多要求的數學課堂教學呢？從陜西師大羅增儒教授對于解題的理解和觀點來看：課堂教學需要加強對于數學問題本質的理解，這種本質體現在兩個方面，其一是數學問題中所蘊含的數學知識，其二是對于這樣的單一知識點是否具備與其他知識存在相互的整合性.既明白了事理，又能從事理背后去思考知識的發散性，這樣的教學往往是高效的、事半功倍的.

中學數學問題串教學的設計與嘗試需要依賴三個特性，筆者認為可以從下列視角去思考.

（1）價值性：教學是服務于學生的，尤其是數學教學這種熱點往往數年更換的學科，更要在問題串教學中注重與時俱進的效應，諸如：空間幾何曾經的熱點二面角求解已經不再是現階段教學的難點和重點，對于一個二面角求解中不斷變換各種方法的問題串教學成為過去式，這就要求教師更新知識體系，不斷與時俱進；

（2）合理性：問題串教學需要尊崇應試熱點的基礎上，也需要考慮學生的學情現狀，這里需要教師在問題串設計的時候非常合理地設計符合學情的問題串，這既要與應試要求相結合，也要略高于學生能力的“最近發展區”，這樣的設計是比較合理的；

（3）創新性：問題串教學不能一味地從各種教輔資料中進行選編，還要在這樣的基礎上做一些符合當下實效性研究與創新，這種創新對于教師更深入地認識數學知識的內在，以及學生對于問題串知識整合的理解將會有更進一步的提高.

整合性角度的問題串設計

數學應試中有很多知識是考查基本的數學知識，這些知識構成了學生數學學習的基本. 筆者從教學一線發現，這些知識從某一個點入手或者從另一知識點入手，對于學生碎片化、離散的教學是難以取得有效的效果的. 因此，對于注重基本性的問題而言，從知識整合性的角度、問題解決多樣化的角度去設計問題串，往往容易將問題處理得非常合理和高效，筆者以一個常見的三角問題為例.

問題1：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范圍.

解析：（1）B=.

（2）因為A+C=，所以C=-A，所以0

所以sinA+sinC=sinA+sin-A=sinA+cosA=sinA+.

因為0

當A=0或A=時，sinA+sinC=，此為最小值，所以

說明：本題是解三角形中的基本問題，對于這樣的問題處理，離不開三大基礎知識的支撐，即正弦定理、余弦定理、面積公式. 對于這三大基礎知識的靈活轉化、運用，我們可以從這些知識的角度中進行整合性的問題串設計，筆者給出一次探索嘗試.

問題串1：若b=2，△ABC為銳角三角形. 求sinA+sinC的取值范圍.

分析：我們知道，對任意角的問題解決往往是比較容易的，考慮到對特殊三角形的研究有更進一步的問題解決能力的提高，因此筆者將條件加強為限制在銳角三角形中進行. 如果將△ABC限制為銳角三角形，那么，此時要滿足條件，則角A的取值范圍應該從0，變為，，于是sinA+sinC=sinA+，此時仍將A+看成一個整體，則其取值范圍是，，考慮其圖象，可得sinA+sinC∈，.

問題串2：若b=2，求ac的最大值.

分析：改變問題的求解，研究ac乘積的最大值，筆者將問題巧妙地轉換為邊長間關系的求解，此時也可以運用問題串1中利用角A作為自變量來進行函數模型的求解，但是從余弦定理的角度思考問題，則顯得更為容易. 由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當且僅當a=c時等號成立.

問題串3：若b=2，求a2+c2的最大值.

分析：我們知道，不等式在三角問題中的使用可謂比較頻繁，二維平面中的四大平均數的使用，是學生比較難以掌握的一個知識點. 將其滲透到三角背景的問題串中，清晰地展示了四大平均數的關系和知識整合性的訓練.利用余弦定理，有12=a2+c2-ac≥a2+c2-=，即得：a2+c2≤24，當且僅當a=c時等號成立.

問題串4：若b=2，求△ABC的面積的最大值.

分析：本題是問題串2 的進一步加強，學生思考問題往往缺乏知識間的銜接性，我們可以引導學生思考，要解決面積最大值S△ABC=acsinB=ac，只需求ac的最大值即可，因此問題串4本質依舊是問題串2，比較容易得到S△ABC≤3.

問題串5：若b=2，求三角形邊b所在高的最大值.

分析：進一步對三角形進行設計，思考邊b所在的高的最大值. 通過分析，不難發現S△ABC=bhb這一關系式，因此問題即轉換為問題串4，進一步理解本質依舊是問題串2的求解，因此hb≤3. 不斷變換問題串的設計，旨在引領學生思考問題轉換的合理性，這些問題體現了知識整合角度的問題串設計，需要教師在教學中不斷關注和加強.

知識深度方面的問題串設計

數學問題的研究不僅要注重廣度、整合性，也要關注某一個問題的深度研究，這種具備深度的問題串設計是激發學生思考問題一般性的處理方式，也是提高教師專業化素養的途徑之一.

問題2：已知函數f（x）=-x2+x，是否存在實數a，b（a

分析：引導學生發現此問題關鍵是考慮定義域所在的區間與對稱軸的關系，結合函數圖象，就可以發現分（1）a

解析：（1）當a

（2）當a<1

（3）當11不符，故舍去.

考慮到命題者對于定義域和值域是四倍關系，筆者將問題改編成下列問題串，請學生進一步思考其特殊情形，從特殊情形為一般性情形做好基本的鋪墊：

問題串1：已知函數f（x）=-x2+x，是否存在實數a，b（a

問題串2：已知函數f（x）=-x2+x，是否存在實數a，b（a

這兩題依然是對a，b分（1）a

問題串3：函數f（x）=-x2+x，是否存在實數a，b（a0）時，求出k的取值范圍. （此題的解題過程比較復雜，留給學生作為課后探究.）

探究后發現：（1）當a2時，有

說明：本案例圍繞著問題進行深度的思考，隨著教師對其特殊情形的設計，進一步到一般性結論的研究，大大拓展了學生對一類問題研究的方式，但對于深度性問題串的設計需要教師在教學前有足夠的思考.

從問題串設計的角度來說，還可以是一些問題廣度方面的，可以是一題多解方面的，可以是多題一解方面的等等，限于篇幅，文章僅僅從教學比較基本的角度給出了案例，進行了淺顯的分析和思考. 從問題串教學實踐來看，筆者有了一定的經驗和心得：

（1）問題串設計必須尊崇學生學情的實際，必須是循序漸進的，符合學生心理認知結構和發展水平. 某一次筆者設計的問題串是從教材基本問題與高考真題的鏈接，學生在跨度過于大的問題串處理上顯得有些不知所措；

（2）問題串的設計還需要實效性，筆者發現高考真題和模擬題不斷推陳出新，教師要注重最新信息的使用和編制，及時更正問題串題庫的使用；

（3）在問題串最后的設計上，筆者認為自身的研究還是很不足的，無論是知識深度、廣度、整合性等等，筆者一直希望融入創新的問題串設計，偶有成功，但是還有很多不足，需要在后續研究和實踐中繼續加強.