例談將數(shù)學實驗融入高等數(shù)學教學中的做法*

金正猛，鄭敏玲

(1.南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023；2. 湖州師范學院 理學院， 浙江 湖州 313000)

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例談將數(shù)學實驗融入高等數(shù)學教學中的做法*

金正猛1，鄭敏玲2

(1.南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023；2. 湖州師范學院 理學院， 浙江 湖州 313000)

高等數(shù)學教學中融入數(shù)學實驗的基本目的，是使學生在數(shù)學實驗的過程中鞏固所學到的數(shù)學知識，并進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學理論與方法解決實際問題的能力。本文從具體案例的角度出發(fā)，重點論述了數(shù)學實驗在高等數(shù)學教學中三方面的應用及意義。

高等數(shù)學；數(shù)學實驗；案例

高等數(shù)學是理工科院校非數(shù)學專業(yè)學生必修的基礎(chǔ)理論課，其目的在于培養(yǎng)當今社會所需工程技術(shù)人才必須具備的基本數(shù)學素質(zhì)。從工科數(shù)學的角度來分析，學生創(chuàng)新精神創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要是通過應用數(shù)學來體現(xiàn)，重點在于培養(yǎng)學生用數(shù)學的思想和方法解決實際問題的能力。在高等數(shù)學傳統(tǒng)的教學方法中, 教學內(nèi)容重理論輕應用，教學方法重演繹輕歸納，教學模式單一, 過分強調(diào)和依賴教材。這不但影響了學生學習高等數(shù)學的積極性, 尤其影響了后續(xù)課程的學習，從更長遠的角度考慮不利于應用型人才的培養(yǎng)。基于數(shù)學實驗的高等數(shù)學教學改革就是針對上述問題而提出的, 其目的是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識分析、解決實際問題的能力和運用計算機進行科學計算的能力。

數(shù)學實驗作為一門課程在我國一些高校中開設(shè)已有十多年歷史， 一些不同層次的學校也取得了顯著的成績。數(shù)學實驗，即指從實際問題出發(fā)，建立數(shù)學模型，借助計算機，運用數(shù)學軟件，讓學生親自設(shè)計和動手，體驗解決問題的過程，從實驗中去學習、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。高等數(shù)學教學中融入數(shù)學實驗案例教學的基本目的，是使學生在數(shù)學實驗的過程中鞏固所學到的數(shù)學知識，并進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學理論與方法解決實際問題的能力。筆者從事理工科大學高等數(shù)學和數(shù)學實驗等課程的教學多年，將從數(shù)學實驗具體案列出發(fā)，談談高等數(shù)學教學中融入數(shù)學實驗案例的幾點體會與做法。本文中的案例演示均采用Matlab數(shù)學軟件。

一、加深學生對抽象概念的理解，激發(fā)學生的學習興趣

在高等數(shù)學的學習中，很重要的一點在于對概念的理解與掌握，但是有些非常重要抽象的概念，僅僅靠老師在課堂上以傳統(tǒng)教學方式的講解，理解起來很有難度。例如：一元函數(shù)定積分的定義。傳統(tǒng)的教學模式無非是老師在定義中反復強調(diào)“分割—近似代替—求和—取極限”四個步驟，然后再給出定積分的定義。然而，這對剛剛接觸積分學的大一學生來說是很難接受的。如果我們在教學過程中，借助于數(shù)學實驗，充分利用數(shù)學軟件的可視化功能，可使學生的思維形象化，可操作化，從而改變數(shù)學抽象的內(nèi)容，使晦澀的數(shù)學概念變得生動而有趣。

在Matlab命令窗口中輸入：

clear all; clc;

syms x;

rsums(x^2,0,1)

執(zhí)行以上命令，可彈出如下的對話框：

在圖1(a)中，[0,1]區(qū)間被等份分割為5個小的子區(qū)間，5個小矩形的面積之和為0.33。當分割的越來越細時(見圖1(b))，我們發(fā)現(xiàn)所有的小矩形的面積之和越來越接近曲邊梯形的面積，當然此時的近似值0.3333已很接近定積分的真實值1/3。實際上，通過向右拉動圖1(b)中的小方塊我們還可以得到分割得更細的小矩形，此時的近似值會更接近積分的真實值。通過以上一系列的動畫演示，有助于學生理解定積分的概念及其幾何意義，并激發(fā)其求知欲，提高學生學習的積極性與主動性。

二、促進學生對復雜定理的掌握，發(fā)展學生的數(shù)學實際應用能力

在高等數(shù)學的教學中，經(jīng)常會遇到很多復雜的定理。例如：微分學中的泰勒中值定理(泰勒公式)。按照傳統(tǒng)的教學方式，有的學生學完該定理后，第一感覺就是定理太復雜，公式太長，看不出該定理的任何用處；有的學生即使學生課堂上能勉強理解，但是往往掌握不了定理的精髓，勢必會影響后面對該定理的運用。如果我們在教學過程中，巧妙的運用數(shù)學實驗案例教學，充分利用數(shù)學軟件的強大的繪圖功能和動態(tài)演示效果，可促進學生對抽象定理的理解，從而發(fā)展學生的數(shù)學實際運用能力。

例2利用Matlab數(shù)學軟件動態(tài)演示函數(shù)xcos(x)的泰勒展開式，講解泰勒中值定理。

在命令窗口中輸入：

clear all; clc;

taylortool

執(zhí)行以上命令，可彈出如下的對話框：

我們知道，泰勒公式的精髓在于局部范圍內(nèi)用較簡單的多項式函數(shù)(泰勒多項式)去近似代替較復雜的函數(shù)。在圖2中，藍色曲線是復雜函數(shù)xcos(x)的圖形，紅色曲線表示的是在x=0點展開的7次泰勒多項式的圖形。不難發(fā)現(xiàn)，在0點附近，這兩線曲線已經(jīng)重合。也就是說，在x=0點的某個領(lǐng)域內(nèi)，可以用7次的泰勒多項式函數(shù)去近似代替原來復雜的函數(shù)，誤差(拉格朗日型余項)幾乎為0。而且，我們發(fā)現(xiàn)在整個的區(qū)間[-2π,2π]范圍內(nèi)，兩條曲線并不完全重合。通過這樣的分析，學生自然就會對這種局部的近似代替有非常深刻的理解。進一步，通過調(diào)整圖2中展開點a的值，泰勒多項式的最高次數(shù)N的值以及自變量的x的取值范圍等相關(guān)數(shù)據(jù)，我們可以得到一系列的動態(tài)演示效果，這對學生全面深刻的理解泰勒公式會起到不可估量的作用。實際上，泰勒公式在工程近似計算問題中的應用非常廣泛。只有學生在深刻理解掌握該定理的本質(zhì)以后，才能在后續(xù)的實際問題應用中得心應手。

三、打破傳統(tǒng)的數(shù)學學習方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力

數(shù)學實驗的過程，是利用所學的數(shù)學知識，對提出的問題進行分析，并借助計算機和數(shù)學軟件來嘗試解決問題。在嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)，理解和掌握一些新的結(jié)論。這樣就打破了傳統(tǒng)的數(shù)學學習方法，有利于學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。當然，高等數(shù)學中的數(shù)學實驗案例教學不宜占用過多的理論課教學時間，否則會喧賓奪主。以下是筆者在一次習題課中,借助數(shù)學軟件講解數(shù)學極限題證明的過程。

由于該題中數(shù)列具有遞推的性質(zhì)，在證明該題之前我們可以先編寫一個簡單的程序，借助計算機來探尋該數(shù)列的規(guī)律。在Matlab中輸入：

clear all; clc;

f=inline('sqrt(2+x)');%先定義函數(shù)

x1=sqrt(2);

fprintf('%g,%g ',1,x1);

for i=2:1:20

x0=f(x0);

fprintf('%g, %g ',i,x1);

end

執(zhí)行以上命令，輸出該數(shù)列的前20項：

1,1.41421

2,1.84776

3,1.96157

4,1.99037

5,1.99759

6,1.9994

7,1.99985

8,1.99996

9,1.99999

10,2

……

20,2

將數(shù)學實驗融入到高等數(shù)學的課堂教學中，符合大學數(shù)學教學改革的思路，能夠幫助學生加深對抽象概念的理解，促進學生對復雜定理的運用和掌握，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力。與此同時，能夠突出高等數(shù)學課程的應用價值，有利于培養(yǎng)學生的科學計算能力和運用數(shù)學思想方法解決實際問題的能力。當然，如何選取恰當?shù)臄?shù)學實驗案例，如何在教學中適時合理地引入，還需要仔細推敲，力求做到科學化、合理化。

[1]李大潛. 將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[J].中國大學教學，2006(1)．

[2]丁衛(wèi)平，李新平. 基于數(shù)學實驗的高等數(shù)學教學改革[J].高等理科教育，2007(2).

[3]李昆，趙剛.數(shù)學實驗在高等數(shù)學教學中的應用[J].科技信息，2011(23).

[4]李大潛.從數(shù)學建模到問題驅(qū)動的應用數(shù)學[J].數(shù)學建模及其應用，2014,3(3).

[5]韓明.將數(shù)學實驗的思想和方法融入大學數(shù)學教學[J].大學數(shù)學，2011,27(4).

[6]胡桐春.高等數(shù)學教學與數(shù)學實驗[J].高等教育研究，2006,22(2).

[7]王秋亮.關(guān)于MATLAB在高等數(shù)學教學中的應用分析[J].軟件導刊(教育技術(shù))，2016(3).

[8]薛定宇，陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解：第3版[M]北京：清華大學出版，2013.

Some Practices of Advanced Mathematics Teaching by Incorporating Mathematical Experiments

JIN Zheng-meng1, ZHENG Min-ling2

(1.Nanjing University of Posts and Telecommunications, School of Science，Jiangsu Nanjing 210023,China;2. Huzhou University, School of Science，Zhejiang Huzhou 313000,China)

The fundamental purposes of advanced mathematics teaching by incorporating mathematical experiments are to let students fully bear the mathematical knowledge which have been learned in the process of mathematical experiment, and further to help students to obtain the ability of solving actual problems by applying mathematics theory and method. This paper from the perspective of specific cases will mainly discuss three applications and significances of mathematical experiments in the teaching process of advanced mathematics.

Advanced Mathematics; Mathematical Experiments; Practices

2015-10-12

南京郵電大學教學研究項目(編號：JG00715JX83)。

金正猛，博士，副教授,從事非線性偏微分方程及其應用研究。

G642

A

1009-1734(2015)06-0054-04