給定6R閉鏈的八桿機構四位置綜合

韓建友　曹彥平　崔光珍

(北京科技大學機械工程學院， 北京 100083)

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給定6R閉鏈的八桿機構四位置綜合

韓建友曹彥平崔光珍

(北京科技大學機械工程學院， 北京 100083)

在給定6R閉鏈上添加2個RR桿形成32種單自由度八桿機構。首先依據擴展布氏曲線理論求出解曲線，在解曲線上添加2個RR桿得到了所要綜合的八桿機構。由于解曲線上的每一點都可以作為添加RR桿的點，因此可以得到無窮多解。通過把解曲線進行變換可以得到表示無窮多解的解平面，稱為解域。根據閉鏈上添加的兩個RR桿是否相關，把解域分為2類。采用桿組法對機構進行分類并進行運動分析。根據機構是否能順序通過給定閉鏈的4個位置判斷機構是否有缺陷，去掉解域中有缺陷的機構就得到了機構的可行解域。在可行解域中，根據機構的原動件可轉動的角度范圍，將原動件為曲柄和非曲柄的機構進行區分。解域綜合方法可使設計者能更直觀、準確地選擇滿足要求的機構，提高了設計效率。最后，通過一個八桿機構的綜合示例具體說明了該類四位置綜合的過程及結果。

八桿機構； 6R閉鏈； 四位置綜合； 解曲線； 解域

引言

平面四桿機構位置綜合問題[1-4]已經得到較多研究，四桿機構及其演化形式在生產實踐中也得到了廣泛應用。但是，隨著科學技術的發展，機構綜合研究水平的提高，多桿機構的應用研究亦日益增多，例如，Watt-Ia型六桿轉向機構、單自由度的六桿和八桿機構手指的應用可能性研究[5-7]，以及多桿機構膝關節、折疊床等研究也取得了成果[8-10]。文獻[11]在3R開鏈上添加RR桿綜合形成單自由度六桿機構，通過雅可比矩陣行列式值的符號變化以及運動連續性進行缺陷判斷。文獻[12]提出了將Stephenson-Ⅲ型六桿機構分解為四桿機構和一個Ⅱ級桿組，然后求解其運動區域的方法。文獻[13]在給定4R開鏈上添加3個RR桿，綜合生成八桿機構，采用機架轉換的方法對機構進行運動分析，通過保持二桿組叉積符號不變進行缺陷判斷。SONAWALE等[14]研究了給定6R閉鏈的八桿機構五位置綜合的問題。但是，五位置綜合得到的是有限的機構解，設計者的選擇具有局限性，有時得不到所需要的解。本文區別于文獻[14]，研究給定6R閉鏈的八桿機構四位置綜合問題，四位置綜合可以得到無窮多解，為設計者提供更多選擇。在給定6R閉鏈上添加2個RR桿，綜合生成32種單自由度的八桿機構，與給定3R開鏈的六桿機構的四位置綜合相比，得到的機構種類更多。八桿機構與六桿機構、四桿機構相比能實現更多的運動功能。如，可以給定機架的位置或多個連桿以及連架桿的運動(包括速度、加速度等)。本文在四桿、六桿和部分八桿機構解域綜合方法的基礎上，提出給定6R閉鏈的八桿機構四位置綜合問題的解域綜合方法，完善多桿機構的解域綜合方法，為該類機構的應用提供一個可行的綜合方法，為設計者設計新產品提供更廣闊的機構選擇平臺。

1　八桿機構構成

圖1為6R閉鏈，M為執行件。要得到單自由度的八桿機構，需要在閉鏈上添加2個RR桿。本文參照文獻[14]添加構件，得到32種八桿機構。

圖1　6R閉鏈Fig.1　6R loop

依次添加2個RR桿，第2個添加桿與第1個添加桿不相關時形成17種八桿機構，如圖2所示；第2個添加桿與第1個添加桿相關時得到15種八桿機構，如圖3所示。

因此，在閉鏈上添加2個構件共得到32種八桿機構。

圖2　添加2個不相關構件的八桿機構Fig.2　Linkages obtained by adding two independent RR constraints to the 6R loop

圖3　添加2個相關構件的八桿機構Fig.3　Linkages obtained by adding a sequence of two RR constraints to 6R loop

2　解域構成

本文給定6R閉鏈的4個位置，參照文獻[11]綜合生成2個RR添加桿，采用解曲線分段方法建立解域。解域建立具體步驟為：

(1)計算添加桿上鉸鏈點所在的解曲線

根據給定閉鏈上各構件的4個位置計算得到添加桿7上鉸鏈點a所在的解曲線ab-a，如圖4所示。設鉸鏈點a的x坐標為已知量，令x以一定步長依次取值，得到關于y的三次方程，根據求根公式，得到相應的解，點(x,y)即為解曲線ab-a上的點，把這些點用直線連接便得到了解曲線ab-a。根據解曲線方程的定義及推導過程，同時得到了添加桿7上鉸鏈點b所在的解曲線ab-b。同理，可以得到添加桿8上鉸鏈點c、d所在的解曲線cd-c和cd-d，如圖4所示。

圖4　解曲線Fig.4　Solution curves

(2)計算解曲線上可行區段，并對其進行分段

如果解曲線ab-a上的點在鉸鏈點a的限定范圍內，并且與該點對應的解曲線ab-b上的點也在其限定范圍內，那么該點為可行點。首先根據鉸鏈點a、b的限定范圍計算得到解曲線ab-a及ab-b可行區段，然后把可行區段進行分段，具體見文獻[6]。同樣，計算解曲線cd-c和cd-d上的可行區段，并對其進行分段。由于解曲線ab-a(cd-c)上的點與解曲線ab-b(cd-d)上的點一一對應，所以，以下僅對解曲線ab-a和cd-c進行討論。

(3)建立解域

把解曲線ab-a和cd-c上的可行區段首先按照區段排列，然后將各個區段內所有點的x坐標按從小到大的順序依次排列分別向橫、縱坐標軸映射，建立解域。因此，解域內的每一點的橫縱坐標值分別代表鉸鏈點a、c的x坐標，根據第一步內容得到相應y的坐標與該點對應的鉸鏈點b、d的位置坐標。也就是說解域內每一點都代表添加的2個構件，即選取解域內每一點都可以得到一個八桿機構。

(4)解域分類

對于添加2個不相關構件的八桿機構，如圖2a所示，計算得到的解曲線ab-a與解曲線cd-c不相關，對于解域內任意一點(ax,cx)，其橫縱坐標值相互獨立，如圖5a所示。對于添加2個相關構件的八桿機構，如圖3a所示，計算得到的解曲線cd-c與解曲線ab-a相關。解域內任意一個橫坐標ax對應一條直線x=ax，該直線為鉸鏈點a對應的解曲線cd-c上可行區段內所有點的x坐標向y軸映射所得，如圖5b所示。在該解域內，對于任意一點(ax,cx)，縱坐標的值cx依賴于橫坐標ax。因此，根據閉鏈上添加的2個構件是否相關，把解域分為2類。

圖5　解域示意圖Fig.5　Diagram of solution region

3　運動分析方法與缺陷判別

3.1運動分析方法

任何平面機構都可以分解為原動件、基本桿組和機架3部分。自由度F=0且不能再分的運動鏈(構件組)稱為基本桿組。本文中所有八桿機構均以構件1為原動件，構件6為機架。在機構運動分析過程中，根據機構所含基本桿組類型把32種機構分為3種類型，如圖2和圖3所示，藍色框內機構共有4種，每種機構包含3個二桿組，把此種機構稱為Ⅰ類八桿機構；綠色框內的機構共有8種，每種機構包含1個四桿組和1個二桿組，把此種機構稱為Ⅱ類八桿機構，紅色框內機構共有20種，每種機構包含1個六桿組，把此種機構稱為Ⅲ類八桿機構。本文中涉及到的基本桿組包括二桿組、四桿組和六桿組，如圖6所示。

圖6　綜合機構中包含的基本桿組Fig.6　Assur groups contained in synthetic linkages

桿組具有運動確定性，即桿組的外副若與運動已知的構件相連接，則桿組中每一構件的運動都是確定的。本文基于桿組法對機構進行運動分析。將基本桿組的位置分析過程編為子程序，在對機構進行運動分析時，直接調用該子程序。Ⅰ、Ⅱ類八桿機構包含多個桿組，對機構運動分析時首先調用與機架、原動件相連接的桿組，求得該桿組中所有內鉸鏈的位置坐標，再根據其他桿組外鉸鏈點的已知性依次調用。對于Ⅲ類八桿機構，直接調用六桿組子程序即可求得機構中所有鉸鏈點的位置坐標。二桿組的位置分析可直接調用已編好的子程序[15]。根據型轉化法[15-16]，復雜桿組可以轉化為多個簡單的構件或二桿組。因此，本文通過多次調用二桿組的標準程序對四桿組和六桿組進行位置分析。圖7所示為2個基本桿組的型轉化過程，圖7a中A、B、C是與原動件或者機架相連的外鉸鏈點，用實心圓表示，解除外鉸鏈點A，把鉸鏈點D虛擬為已知，于是桿組就分解成了如圖7b所示的簡單桿組，依次調用二桿組的子程序解得圖7a所示桿組的各個鉸鏈點的位置，最后根據誤差情況修正鉸鏈點D的虛擬位置坐標。圖7c、7d為一個六桿組的型轉化過程。同理，可求得其他復雜桿組的內鉸鏈點的位置坐標，詳見文獻[17-18]。

圖7　基本桿組型轉化過程Fig.7　Type conversion process of Assur groups

3.2缺陷判別

以圖8所示的八桿機構為例。首先對其進行位置分析，得到位置分析方程和雅可比矩陣。由圖8得到矢量方程

lop+lpq+lqr-len-lnr-loe=0

(1)

loa+lab-loe-len-lnb=0

(2)

loc+lcd-loe-led=0

(3)

將式(1)～(3)分別向x、y坐標軸投影，得

l1cosθ1+l2cosθ2+l3cosθ3-l5cosθ5-l4cosθ4-loex=0

(4)

l1sinθ1+l2sinθ2+l3sinθ3-l5sinθ5-l4sinθ4-loey=0

(5)

l6cos(θ1-α1)-l8cos(θ4+β)-l5cosθ5+l7cosθ6-

loex=0

(6)

l6sin(θ1-α1)-l8sin(θ4+β)-l5sinθ5+l7sinθ6-

loey=0

(7)

l9cos(θ1-α2)-l11cos(θ5+γ)+l10cosθ7-loex=0

(8)

l9sin(θ1-α2)-l11sin(θ5+γ)+l10sinθ7-loey=0

(9)

其中

loex=ex-oxloey=ey-oy

式中o(ox,oy)、e(ex,ey)——機構的固定鉸鏈點及其坐標

將式(4)～(9)分別對θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7求導，得到雅可比矩陣行列式

(10)

整理式(10)，得

|A|=l2l3l7l8l10l11sin(θ2-θ3)·

sin(β+θ4-θ6)sin(γ+θ5-θ7)

(11)

當|A|=0時，機構處于奇異位形。所以，如果機構在運動過程中存在奇異位形，那么該機構存在缺陷。本文中，機構缺陷判斷的過程為：

圖8　八桿機構示意圖Fig.8　Parameters for eight-bar linkage

(1)計算給定4個位置的雅可比矩陣行列式，得到|A1|、|A2|、|A3|、|A4|。|Ai|(i=1,2,3,4)的符號如果不相同，機構存在運動缺陷；如果相同，則需要根據下一步運動連續性進一步判斷機構是否存在運動缺陷。

(2)機構輸入角度從第1位置開始以一定的步長連續取值，如果機構在到達給定第2個位置之前，|A|的符號發生變化，則機構存在缺陷。如果機構在第1位置到第2位置運動過程中，|A|的符號不變，但是當機構輸入角度等于給定第2位置輸入角度時，機構實際到達的位置與給定位置不同，則機構也存在缺陷。同樣，可以判斷機構從第2位置到第3位置以及從第3位置到第4位置的缺陷情況。

如果機構從第1位置到第4位置不存在運動缺陷，則該機構為可行機構。在可行機構中，如果機構原動件可轉動角度范圍為360°，把該機構標注為原動件為曲柄的八桿機構；如果機構原動件可轉動角度范圍未滿360°，把該機構標注為原動件為非曲柄的八桿機構。對解域內所有的八桿機構進行上述缺陷判別，即可得到可行解域。

4　綜合示例

綜合如圖8所示的八桿機構類型。已知6R閉鏈的4個位置參數如表1所示，鉸鏈點a、b、c、d的坐標限定范圍如表2所示，圖9為表1、表2給定參數的示意圖。表1中L為桿長，Pi表示機構所處的第i個位置。表2中Ai、Bi、Ci、Di(i=1,2)分別表示圖9中限定框A、B、C、D左下角和右上角坐標。桿ab上鉸鏈點a、b的位置坐標和桿cd上鉸鏈點c、d的位置坐標為綜合示例待求參數。

根據表1給定參數，按照第2節綜合方法，綜合生成添加桿7，得到如圖10所示解曲線ab-a與ab-b，同樣，綜合生成桿8時，得到如圖11所示解曲線cd-c與cd-d。根據表2鉸鏈點的限定范圍，計算得到解曲線ab-a的有效區段aⅠ∈[0.2,11.4]、aⅡ∈[41.6,70.6]。同樣，計算得到解曲線cd-c的有效區段cⅠ∈[45.8,49.8]、cⅡ∈[18.8,49.8]，分別將解曲線ab-a和cd-c上的有效區段Ⅰ、Ⅱ向橫縱坐標軸投影，建立解域。根據第3節對解域內機構進行運動缺陷判別，由于圖8所示八桿機構由3個二桿組構成，所以可以通過保持二桿組叉積符號不變進行缺陷分析。

表1　給定閉鏈的4個位置參數Tab.1　Four positional parameters of 6R loop

表2　鉸鏈點a,b,c,d的限定范圍Tab.2　Ranges of joints a,b,c,d

圖9　給定閉鏈的4個位置Fig.9　Four positions of 6R loop

圖10　解曲線ab-a和ab-bFig.10　Solution curves of ab-a and ab-b

最終，得到圖12所示的解域圖。選取解域內每一點都可以得到一個八桿機構。在解域內任取點K1(10.0,44.8)，可得與之對應的機構，如圖13a所示，取點K2(50.2,40.8)，可得如圖13b所示的對應機構。點K1、K2對應的鉸鏈點a、b、c、d如表3所示。

圖11　解曲線cd-c和cd-dFig.11　Solution curves of cd-c and cd-d

圖12　解域圖Fig.12　Solution region

圖13　綜合得到的機構Fig.13　Synthesized linkages

鉸鏈點K1K2a(10.0,95.918)(50.2,75.765)b(167.102,169.510)(371.242,159.892)c(44.8,63.401)(40.8,50.728)d(361.830,131.931)(361.672,107.134)

本文的研究內容為應用基礎理論與方法的研究。這些理論和方法的研究成果解決了給定閉鏈運動的八桿機構的設計問題，因此，可應用于已知如圖1所示的閉鏈上一個構件或者多個構件的若干位置及其他構件桿長和角度設計一個橫向和縱向運動范圍較大，機架位置也給定的八桿機構。例如，折疊床(主要給定構件3和構件4的4個位置、其他構件桿長及角度可以給定,也可以計算得到)、振動篩(主要給定構件3的4個位置、其他構件桿長及角度)以及給定平面四自由度4R機械手機構的4個位置用單自由度八桿機構實現的設計問題。此外，還有一些潛在的其他應用場合。隨著八桿機構的設計理論與方法的日益成熟，該類機構將在某些工程中的機構設計問題中得到推廣和應用。本文重點研究普遍適用的設計理論與方法，沒有給出具體應用實例。

5　結論

(1)通過對此類綜合所得的構型進行分析，得到了32種八桿機構構型(全部八桿機構構型共有153種)。

(2)通過對32種機構構型進行分析，給出了全部機構解域的建立方法和建立過程，并得到了全部解域共分成2類的結論。

(3)給出了桿組構型分類方法。綜合出的32種八桿機構共含有2種四桿組和7種六桿組(見圖6，153種八桿機構中共含有10種六桿組)。同時，引入了高級桿組降級為二級桿組的迭代位置分析方法，對各類桿組都只調用二級桿組的求解程序，完成了對機構進行位置分析和缺陷判定的自動求解過程。

(4)對各種構型，在其運動分析自動完成的基礎上，仍先根據雅可比矩陣對給定四位置點進行分支與回路缺陷判定。去除雅可比矩陣行列式值變號的部分，對保留部分進行運動分析檢查，直至得到可行域，并根據構型有無曲柄對可行域分類。

(5)給出的機構綜合示例表明，本文給出的方法是行之有效的。所編制的給定閉鏈4個位置的八桿機構綜合程序具有通用性，易于掌握。上述結果補充和完善了八桿機構的綜合理論與方法，對機構的綜合及應用研究具有一定的推進作用。

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Synthesis of Eight-bar Linkage for Specified 6R Loop through Four Positions

Han JianyouCao YanpingCui Guangzhen

(SchoolofMechanicalEngineering，UniversityofScienceandTechnologyBeijing，Beijing100083，China)

There are 32 ways in which the two RR constraints are added to the 6R loop to form 1-DOF eight-bar linkage. First, the solution curve was obtained based on expanding burmester curve theory. Then the eight-bar linkage can be synthesized by adding two RR constraints on the solution curves. Each point on the solution curve can be viewed as the added RR constraint, so infinitely many solutions can be got. The solution curve can be converted into the solution plane which presents infinitely many solutions. The solution plane was called solution region. The solution region was divided into two categories according to whether the two added RR constraints were related. The linkages were classified by the method of Assur group. The motion of eight-bar linkage was analyzed by the iterative position analysis method which relegated the four-bar Assur groups or six-bar Assur groups to several two-bar Assur groups. Whether a linkage could be defected depends on if it can sequently move through the four positions of 6R loop. After the defect linkages were removed, the feasible solution region can be got. In the solution region, the feasible linkage can be classified into two types, the crank and the non-crank, according to the rotatable angle range of the driving link. The solution region synthesis theory makes designers choose the feasible linkage directly and accurately, so the design efficiency was improved. In addition, eight-bar linkage can achieve more movement function compared with six-bar linkage and four-bar linkage. The synthesis of eight-bar linkage for 6R loop through four positions makes the solution region synthesis theory more perfectly, provides more choices for designer and lays the foundation for the application of eight-bar linkage in practice. Finally, an example of eight-bar linkage specifies the four positions synthesis.

eight-bar linkage; 6R loop； four positions synthesis; solution curve; solution region

10.6041/j.issn.1000-1298.2016.09.051

2016-04-12

2016-06-20

國家自然科學基金項目(51275034)

韓建友(1956—)，男，教授，博士生導師，主要從事機構分析與綜合理論、機構動力平衡等研究，E-mail: jyhan@ustb.edu.cn

TH112.1

A

1000-1298(2016)09-0382-07