基于主成分分析和Copula函數的干旱影響評估研究

王鵬新　馮明悅　孫輝濤　李　俐　張樹譽　景毅剛

(1.中國農業大學信息與電氣工程學院， 北京 100083； 2.陜西省氣象局， 西安 710014)

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基于主成分分析和Copula函數的干旱影響評估研究

王鵬新1馮明悅1孫輝濤1李俐1張樹譽2景毅剛2

(1.中國農業大學信息與電氣工程學院， 北京 100083； 2.陜西省氣象局， 西安 710014)

干旱是關中平原主要的農業災害之一，準確地評估干旱的影響，對抗旱減災及作物穩產具有重要意義。基于關中平原2008—2013年冬小麥主要生育期旬尺度的條件植被溫度指數(VTCI)干旱監測結果，將Copula函數用于評估冬小麥主要生育時期干旱對其產量的影響。針對多元變量導致Copula函數參數求解困難的問題，采用主成分分析法(PCA)提取主要生育時期的VTCI的主成分因子，形成新的相互獨立的指標，進而結合Copula函數建立PCA-Copula法，確定關中平原主要生育時期的綜合VTCI，并構建其與冬小麥單產間的線性回歸模型，評估干旱對產量的影響。結果表明，應用PCA-Copula法得到的綜合VTCI與單產間的相關性達到極顯著水平(P<0.001)，所建回歸模型的擬合度與熵值法的結果相比有所提高，決定系數由0.39提高到0.49，且對應模型的估測單產與實測單產間的均方根誤差較熵值法的結果降低了30.2 kg/hm2，平均相對誤差降低了0.66%，表明PCA-Copula法能較好地應用于評估冬小麥主要生育時期干旱對其產量的影響。

主成分分析； Copula函數； 干旱影響評估； 綜合VTCI

引言

干旱一直是制約農業發展最主要的因素之一。中國是一個農業大國，干旱對農業的影響較大，每年由各種自然災害造成的糧食作物減產的損失中，旱災的影響占一半以上[1]。同時農業干旱是影響面積最廣、造成農業損失最大、研究也最為復雜的一種因素。近年來，人們越來越關注如何有效地監測和評估干旱影響，從而提前采取有效的抗旱減災策略和措施以減輕干旱災害可能造成的損失。目前，國內外主要應用歸一化植被指數(NDVI)和地表溫度(LST)等參數進行農業干旱遙感監測，王鵬新等[2-3]在NDVI和LST的散點圖呈三角形區域分布的基礎上，提出了基于條件植被溫度指數(VTCI)的干旱監測方法，并成功應用于干旱的實時監測、預測和影響評估等研究[4-7]。

以往的干旱影響評估研究方法主要依靠主觀賦權法和客觀賦權法[6-7]。主觀賦權法具有一定的主觀色彩，受一定的人為因素影響；客觀賦權法根據各指標的初始信息量來確定權重，其中，主成分分析(Principal component analysis, PCA)方法能夠通過線性變換從多元隨機變量中提取出相互獨立的少數幾個重要變量[8-11]。本文對冬小麥越冬后4個生育時期的VTCI進行降維處理，便于與Copula函數相結合構建干旱影響評估模型。

Copula函數不受單變量服從何種邊緣分布的限制，可以通過邊緣分布和相關性結構兩部分來構造多元隨機變量之間的聯合分布[12]，國內外學者將Copula函數廣泛應用于描述多種隨機變量間的相關性研究[13-15]。干旱是一種包含多種隨機變量的復雜事件，傳統的多變量頻率分析方法在干旱研究中受到限制，Copula函數正是構建多元隨機變量聯合分布的一種有效途徑。SONG等[16]基于Meta-elliptical、GH、AMH、Frank和Clayton等連接函數研究了干旱歷時、干旱烈度和干旱時間間隔的聯合分布。MISHRA等[17]通過Copula函數研究了干旱的持續時間和嚴重程度之間的關系，進而分析地表和地下干旱在不同時間尺度的特征。建立Copula函數的關鍵是確定參數，常用的參數求解方法包括極大似然法、相關性指標法、邊際函數推斷法等[18]。但是，針對評估時構建的多元隨機變量間的聯合分布，參數計算一般需要建立多元偏微分方程組，求解非常困難。本文基于主成分分析方法對關中平原2008—2013年冬小麥主要生育時期的VTCI進行降維處理，形成相互獨立的指標，采用Copula函數構建PCA-Copula評估模型，便于獲取冬小麥主要生育時期的綜合VTCI值，并結合此綜合值評估冬小麥主要生育時期的干旱監測效果，為評價冬小麥主要生育期干旱對單產的影響和制定抗旱減災策略提供科學依據。

1　材料與方法

1.1研究區域概況

陜西省中部的關中平原位于渭河流域，西起寶雞大散關，東至渭南潼關，北到陜北黃土高原，南止秦嶺，地理坐標為106°22′～110°24′E，33°57′～35°39′N。該地區土壤肥沃，地勢平坦，水源豐富，機耕條件好，土地利用率高，盛產小麥，是陜西省的農業基地，也是我國重要的商品糧產區，種植模式主要為冬小麥與夏玉米輪作。關中平原屬大陸性季風半濕潤氣候區，是氣候變化的敏感區，年均溫度6～13℃，屬于生態環境脆弱地帶，降水量較少，年平均降水量為500～700 mm，多集中在夏季，并存在明顯的波動性。關中平原整體上氣候暖干化特征顯著，干旱已成為研究區域內普遍而重大的氣象災害之一[19]。

1.2試驗數據

采用的遙感數據包括Aqua-MODIS的日地表溫度產品(MYD11A1)和日地表反射率產品(MYD09GA)，所用的冬小麥單產來自陜西省統計局發布的關中平原5市2008—2013年的數據。由于銅川市位于關中平原向陜北黃土高原的過渡地帶，冬小麥面積相對較小，且主要分布在其南部的渭北旱塬，因此選用關中平原2008—2013年其余4市的冬小麥單產和主要生育期的VTCI進行相關研究。

VTCI是基于遙感反演的NDVI和LST特征空間呈三角形區域分布的特點提出的，主要用于監測旱情。基于日NDVI和日LST，應用最大值合成技術分別生成旬NDVI和旬LST最大值合成產品，并以此計算VTCI[2,20]，生成2008—2013年每年3—5月份以旬為單位的關中平原4市的VTCI數據。結合關中平原冬小麥的生長情況，將冬小麥越冬后的生育時期劃分為返青期(3月上旬—中旬)、拔節期(3月下旬—4月中旬)、抽穗-灌漿期(4月下旬—5月上旬)和乳熟期(5月中旬—下旬)，并將這4個生育時期稱為冬小麥主要生育期[6-7]。依據關中平原的行政邊界圖，取各市區內所包含像素的VTCI平均值作為該區域該年該旬的VTCI值。再根據各生育時期包含的多旬VTCI平均值作為該年該生育時期的VTCI值。

1.3PCA-Copula法

主成分分析又稱主分量分析，是一種將多個變量通過線性變換選出幾個重要變量的多元統計方法，旨在利用降維的思想，將原來數量較多的、具有一定相關性的變量，重新組合成一組新的、互相無關的綜合指標，使新變量盡可能多地保留原始變量信息，且在保證主要信息的前提下，避開變量之間的線性相關[21]。由于主成分因子是新的互相獨立的變量，因此在建立Copula函數時無需求解參數，計算簡便。本文利用主成分分析方法將關中平原冬小麥4個生育時期的VTCI組合成一組新的互相獨立的指標，再基于Copula函數進行干旱影響評估研究。

1.3.1主成分分析

由于VTCI的取值范圍為[0,1]，因此直接對原始VTCI數據進行主成分分析。應用關中平原2008—2013年冬小麥越冬后4個生育時期的VTCI數據構建矩陣An×4，獲得相關系數矩陣R4×4，并計算特征值λi(i=1,2,3,4)及其對應的特征向量Q(qi)，進而求解各主成分貢獻率si并確定主成分個數m，即

(1)

第r個主成分的線性表達式為

(2)

式中Fnr——關中平原4市第n年第r個主成分的因子值

βri——第i個生育時期的VTCI在第r個主成分線性組合中的系數

ani——關中平原4市第n年第i個生育時期對應的VTCI值

k——VTCI的主要生育期個數，取k=4

1.3.2Copula函數

SKLAR在1959年指出可以將一個g元聯合分布函數分解為g個邊緣分布函數和一個Copula函數，其中的Copula函數可以用來描述變量間的相關關系[22]。Copula是在[0,1]區間上服從均勻分布的聯合分布函數，可以通過邊緣分布和相關性結構兩部分來構造聯合分布以描述變量間的相依性[12]。Copula函數形式為

F(x1,x2,…,xj)=Cθ(F1(x1),F2(x2),…,Fj(xj))=

C(u1,u2,…,uj)

(3)

其中

uj=Fj(xj)

式中F——隨機變量分布函數

j——樣本容量C——Copula函數

θ——Copula參數

uj——隨機變量Xj的邊緣分布函數

采用PCA方法提取VTCI數據m個主成分因子，各因子之間無相關性，即主成分因子所構建的新變量之間相互獨立，則可以得到相應的乘積Copula(又稱為獨立Copula)為

C(u1,u2,…,um)=u1u2…um

(4)

式中um——第m個主成分因子對應的邊緣分布函數

1.3.3邊緣分布函數

目前常用的分布線型有皮爾遜III型分布、正態分布、Gamma分布、指數分布、對數分布、廣義極值分布等[11]。其中，針對廣義極值分布的研究源于20世紀20年代，FISHER等[23]在對獨立同分布的極大值漸進分布進行理論研究時，提出了3種極值分布，第I型為指數型原始分布，又稱Gumbel分布；第II型為柯西型原始分布，即Frechet分布；第III型為有界型分布，即Weibull分布。JENKINSON[24]從理論上證明了3種分布模型可概括成一個通式，即具有3個參數的極值分布函數。后來稱極值I型、II型和III型分布為廣義極值(Generalized extreme value，GEV)分布，其標準化分布函數為

FX(x)=P(X

(5)

式中ε——形狀參數μ——位置參數

σ——尺度參數

通過形狀參數判斷極值類型，ε=0為極值Ⅰ型；ε>0為極值Ⅱ型；ε<0為極值Ⅲ型。

1.3.4邊緣分布的優度評價

首先通過Kolmogorov-Smirnov (K-S)方法檢驗邊緣分布函數擬合效果，再通過比較理論頻率與經驗頻率之間的均方根誤差(RMSE)以及信息準則值 (Akaike information criterion，AIC)優選邊緣分布函數，邊緣分布優選的原則是RMSE值及AIC值越小擬合效果越好[12]。GRINGORTEN[25]在研究水文極值的無偏估計量時，給出的一維隨機分布經驗頻率計算公式為

(6)

式中Ps——累計經驗頻率，定義為在N個觀測值中小于第s個最小觀測值的概率

RMSE的計算公式為

(7)

式中Peir——第i年第r個主成分的數據對應的經驗頻率值

Pir——第i年第r個主成分的數據對應的理論頻率值

t——第r個主成分因子中數據的個數，即關中平原4市對應的年總數

AIC的計算公式為

VAIC=tlnVRMSE+2η

(8)

式中η——所選模型參數的個數

2　結果與分析

2.1主要生育時期VTCI的主成分分析

通過主成分分析方法對冬小麥主要生育時期的VTCI進行降維處理，根據主成分對應的特征根大于1、且相應累計貢獻率達到80%以上的原則，提取出主要生育時期的VTCI前3個主成分因子，并建立各主成分的線性表達式為

PC1=0.502VTCI1+0.324VTCI2+0.555VTCI3+0.579VTCI4

(9)

PC2=-0.055VTCI1+0.927VTCI2-0.126VTCI3-

0.348VTCI4

(10)

PC3=0.808VTCI1-0.07VTCI2-0.547VTCI3-0.109VTCI4

(11)

式中PC1、PC2、PC3——前3個主成分因子

VTCI1、VTCI2、VTCI3、VTCI4——4個生育時期的VTCI值

可以發現，4個不同生育時期的VTCI在各主成分系數的絕對值存在差異，4個生育時期中，拔節期VTCI在第1主成分的系數最小，而拔節期VTCI在第2主成分的系數達到最大，返青期VTCI與抽穗-灌漿期VTCI在第3主成分的系數絕對值較大。基于此，根據各主成分的方差貢獻率獲取前3個主成分的綜合線性表達式為

PC=0.468VTCI1+0.406VTCI2+0.328VTCI3+0.359VTCI4

(12)

式中PC——前3個主成分因子的綜合值

可以看出，返青期VTCI的系數最大，而抽穗-灌漿期VTCI的系數最低，但依據相關的農學知識和專家的主觀判斷可知，拔節期是干旱對冬小麥生長影響的關鍵時期，其次為抽穗-灌漿期，返青期和乳熟期相對不重要[6-7]，因此僅采用主成分方法分析主要生育時期的VTCI，并基于前3個主成分的綜合線性模型存在不足，該模型的構建沒有考慮3個主成分因子各自的分布特征，僅是將3個主成分因子進行綜合，且獲取的各生育時期干旱對產量的影響程度與農學先驗知識不相符，難以準確反映冬小麥生長各生育時期的相對重要程度。而將主成分分析與Copula函數相結合的方法能夠根據各主成分因子對應的分布特征建立聯合分布，同時不受各單因子變量邊緣分布的影響，因此嘗試將其用于干旱影響評估研究。

2.2基于PCA-Copula法的干旱影響評估

對于2008—2013年研究區域的VTCI數據，通過主成分分析法提取了3個因子作為主成分因子，通過確定3個主成分因子的邊緣分布函數，采用乘積Copula(式(4))獲取研究區每年的綜合VTCI值。

2.2.1邊緣分布函數的確定

基于目前常用的分布線型，選取正態分布、對數分布和廣義極值分布分別擬合關中平原冬小麥4個生育時期的VTCI的主成分因子值，應用極大似然法獲得對應的邊緣分布函數的參數，利用K-S檢驗對各主成分因子的邊緣分布函數進行擬合優度評價，結果表明，3個主成分的對數分布均不能通過K-S檢驗，廣義極值分布和正態分布均能通過K-S檢驗，其中，利用廣義極值分布擬合各生育時期的VTCI的前3個主成分因子時，前2個主成分的形狀參數小于零，屬于極值III型，即Weibull分布；第3個主成分的形狀參數大于零，屬于極值II型，即Frechet分布。

基于正態分布及各主成分相對應的極值分布類型，進一步獲取各邊緣分布對應的RMSE和AIC(表1)，可以看出，基于Weibull分布獲取的第1個主成分的RMSE和AIC最小；基于正態分布獲取的第2個主成分的RMSE和AIC最小；基于Frechet分布獲取的第3個主成分的RMSE和AIC最小。依據邊緣分布的RMSE及AIC越小擬合效果越好的優選原則，最終確定2008—2013年關中平原4市主要生育時期的VTCI的3個主成分因子值的最優邊緣分布。結果表明，第1主成分因子值優選Weibull分布；第2主成分因子值優選正態分布；第3主成分因子值優選Frechet分布。盡管3個主成分的邊緣分布存在差異，但Copula函數具有不受單變量服從何種邊緣分布的優越性，使其能較好地用于構建3個主成分間的聯合分布。

表1　冬小麥主要生育時期的VTCI主成分因子的分布線型擬合效果Tab.1　Distribution fitting results of principle components of VTCI at the main growth stages of winter wheat

2.2.2PCA-Copula法與熵值法建立的綜合VTCI與冬小麥單產間的線性回歸模型比較

基于冬小麥主要生育時期的VTCI的3個主成分因子優選的邊緣分布，結合乘積Copula函數建立主成分因子間的連接函數，獲取綜合VTCI，建立其與單產間的一元線性回歸模型，并將其作為冬小麥單產的估測模型。以往研究[6]表明，熵值法是干旱影響評估的最佳客觀賦權法，通過熵值法確定冬小麥不同生育時期的VTCI權重，并將其用于建立的加權VTCI與單產間的線性回歸模型，再與PCA-Copula法建立的模型的結果進行對比(表2)。可以看出，盡管PCA-Copula法確定的綜合VTCI、熵值法確定的加權VTCI與單產間的相關性均達到極顯著水平(P<0.01)，但基于PCA-Copula法構建的回歸模型的決定系數(R2=0.49)高于熵值法確定的回歸模型的決定系數 (R2=0.39)。基于熵值法確定回歸模型的估測單產與實測單產之間的均方根誤差為358.1 kg/hm2，相對誤差的范圍為0.39%～28.13%，平均相對誤差為7.10%，而PCA-Copula法確定回歸模型的估測單產與實測單產的均方根誤差為327.9 kg/hm2，相對誤差范圍為0.33%～25.20%，平均相對誤差為6.44%，表明PCA-Copula法確定的模型估測精度較高。為了進一步驗證該估測模型的精度，將PCA-Copula法確定的估產模型用于分析2008—2013年4市估測單產與實際單產的平均相對誤差，結果表明，寶雞市的平均相對誤差為6.21%，西安市的平均相對誤差為5.74%，咸陽市的平均相對誤差為4.39%，渭南市的平均相對誤差為9.44%，表明PCA-Copula法可用于開展關中平原干旱對冬小麥生產及其產量的影響評估研究。

3　討論

遙感定量反演的VTCI是綜合地表主要參數——NDVI和LST的干旱指標，其與土壤淺層水分存在較強的相關性[26]，能夠較為準確地監測干旱、反映作物水分脅迫信息，作物長勢和最終產量與其不同生育期發生的干旱程度密切相關。相比傳統的多變量頻率分析方法，Copula函數作為一種相關性度量工具，在構建多元隨機變量聯合分布時不受各單因子變量邊緣分布的影響。本文基于冬小麥越冬后不同生育時期VTCI的干旱監測結果，嘗試將Copula函數應用于建立冬小麥主要生育時期的干旱影響評估模型，若直接建立Copula函數與冬小麥單產間的線性回歸模型，首先需要確定4個生育時期VTCI變量對應的最優邊緣分布，由于不同形式的Copula函數對變量的相關性有不同的要求，因而需要根據各變量之間的相關關系特點選擇可行的四維Copula模型，并基于所選Copula函數的密度函數和各邊緣分布的密度函數獲取Copula函數的參數，對于所選Copula函數是否合適還需進一步的分布擬合檢驗，確定最優Copula函數，從而獲取綜合VTCI。然而利用主成分分析法具有提取主成分因子的客觀性，在提取的主要生育時期的VTCI的主成分因子中，所選的前3個主成分因子的累計貢獻率高達98%，新變量不僅幾乎保留了全部原始變量信息，而且可以直接通過用于獨立變量的乘積Copula獲取綜合VTCI，在建立聯合分布過程中僅需優選3個主成分因子的邊緣分布，無需求解參數，計算簡便。

表2　PCA-Copula法與熵值法確定的綜合VTCI與 單產之間的回歸模型的對比Tab.2　Comparison of linear regression models between wheat yields and comprehensive values of the VTCIs determined by PCA-Copula and entropy value methods

注：回歸模型中x為綜合VTCI值；y為單產，單位為kg/hm2。

現有的干旱影響評估研究方法主要有主觀賦權法和客觀賦權法2類，其權重的確定對干旱影響評估結果均有很大影響。針對以往客觀賦權法根據VTCI的客觀數據差異來確定權重、得到不同生育時期干旱對冬小麥生長影響程度相當的結論與農學先驗知識不相符[6-7]的問題，本文采用主成分分析方法提取出冬小麥越冬后主要生育時期的VTCI的前3個主成分因子作為新的相互獨立的變量，而根據各主成分方差貢獻率獲取的綜合線性模型反映的各生育時期相對重要程度與農學先驗知識仍然不相符。因此，嘗試基于獲取的3個主成分因子，通過構造各主成分因子的邊緣分布，進而采用Copula函數建立的PCA-Copula法，最終獲取綜合VTCI值，并建立其與單產之間的線性回歸模型，結果表明，PCA-Copula法能較好地用于開展關中平原干旱對冬小麥生產及其產量的影響評估研究。

4　結論

(1)采用主成分分析法提取關中平原2008—2013年4市冬小麥主要生育時期VTCI的3個因子作為主成分，將依據各主成分貢獻率獲取的前3個主成分的綜合線性模型與PCA-Copula法的結果進行對比，結果表明，基于前3個主成分，僅通過各主成分的方差貢獻率建立的綜合線性模型難以準確反映冬小麥生長相對重要生育時期，而通過優選各主成分相應的邊緣分布，進而通過乘積Copula函數建立3個主成分聯合分布的方法能有效評估關中平原干旱對冬小麥產量的影響。

(2)基于熵值法建立加權VTCI與單產之間的線性回歸模型，并將其與PCA-Copula法構建的線性回歸模型進行對比分析。結果表明，采用PCA-Copula法確定的綜合VTCI與單產之間回歸模型的決定系數達到0.49，相比于熵值法的結果提高了0.10，且PCA-Copula法對應模型的估測單產與實測單產之間的均方根誤差較熵值法的結果降低了30.2 kg/hm2，平均相對誤差降低了0.66%。

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Drought Impact Assessment Based on Principal Component Analysis and Copula Function

Wang Pengxin1Feng Mingyue1Sun Huitao1Li Li1Zhang Shuyu2Jing Yigang2

(1.CollegeofInformationandElectricalEngineering,ChinaAgriculturalUniversity,Beijing100083,China>2.ShaanxiProvincialMeteorologicalBureau,Xi’an710014,China)

Drought is one of the most important agricultural disasters in the Guanzhong Plain, China. Assessing the influence of the droughts in the plain accurately can provide reference for drought mitigation and maintaining stable crop yields. Based on remotely sensed vegetation temperature condition index (VTCI) which was calculated at ten-day intervals for monitoring droughts in the years of 2008—2013 in the plain, the Copula function method was used to assess the effect of drought at the main growth stages of winter wheat on the yields. The mutually independent principal factors were extracted from the VTCIs at the main growth stages of winter wheat by using principal component analysis (PCA), overcoming difficulty of parameter estimation for multivariate Copula, and then incorporated into the Copula function to establish a PCA-Copula method. The comprehensive values of VTCIs at the main growth stages were determined by the PCA-Copula method, and then linear regression model between the comprehensive VTCIs and wheat yields was established to assess the effect of drought on the yields. The results showed that the linear correlation coefficient between the wheat yields and comprehensive VTCIs was at the extremely significant level (P<0.001). Compared with the linear regression model based on the entropy value method, the determination coefficient of the model with the PCA-Copula method reached 0.49 from 0.39, which indicated that the fitting degree of the model was improved, and the root mean square error and average relative error between the estimated and measured yields reduced by 30.2 kg/hm2and 0.66%, respectively. These results indicated that the PCA-Copula method was a better approach for accessing the impact of droughts at the main growth stages of winter wheat on the yield.

principal component analysis; Copula function; impact assessment of drought; comprehensive vegetation temperature condition index

10.6041/j.issn.1000-1298.2016.09.045

2016-02-29

2016-03-28

國家自然科學基金項目(41371390)

王鵬新(1965—)，男，教授，博士生導師，主要從事定量遙感及其在農業中的應用研究，E-mail: wangpx@cau.edu.cn

S127

A

1000-1298(2016)09-0334-07