數學思考：不可或缺的學習能力

蔣波成

【摘 要】 數學思考是一種重要的數學素養。讓學生主動構建數學思考的過程與方法，是提高學生學習能力的根本保證，是學生不可或缺的學習能力。教師通過引領學生在新舊知識的銜接處主動思考，啟發學生在新知學習的關鍵處獨立思考，鼓勵學生在數學知識的疑問處深層思考，促進學生在知識系統的交匯處全面思考，進而真正形成分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】 主動 獨立 深層 全面

數學思考是一種重要的數學素養。讓學生主動構建數學思考的過程與方法，是提高學生學習能力的根本保證，是培養學生發現和提出問題、分析和解決問題能力的有效措施，是學生不可或缺的學習能力。那么如何引領學生進行有效的數學思考，是值得教師深思的問題。

一、 理清新舊知識的銜接處，引領學生主動思考

主動思考是學生在發現問題時能積極探求的心理取向。讓學生主動投入到數學思考，這要求教師精心設計，營造寬松的思考氛圍，引領學生放松地進行數學思考。

（一） 準確理清新舊知識的銜接處

找準新舊知識的銜接處，有助于回顧舊知，實現知識的正遷移。從舊知出發，也就是從學生的已有知識經驗出發，理清新知與舊知的聯系，引導學生去主動思考、探索新知。準確理清新舊知識的銜接處，要求教師課前要充分研讀教材，圍繞新舊知識的銜接處設計問題。例如，教學“小數乘整數”一課時，課伊始我從整數乘法入手，設計整數乘整數的情境，讓學生獨立解決并說一說整數乘整數的方法，說完思路后我立即提問：如果將第一個乘數加上小數點改成一位小數怎么計算呢？這時學生紛紛舉手都要嘗試，有的學生說將剛才的積縮小10倍，有的學生說先把小數點放在一邊，最后再在積中點上小數點。雖然有的學生說的不夠準確、不夠清晰，但每位學生都在積極主動的思考，結合整數乘法和小數乘法的銜接處，大膽、主動思考，提高了思考的效率。

（二） 從銜接處到主動思考的興趣引領

德國著名詩人布萊希特說過：思考是人類最大的樂趣。孩子的天性是玩，只有符合兒童興趣的活動，孩子才從心理更愿意參加，數學學習更是如此。興趣可以推動兒童去探索新的知識，發展新的能力，它帶有感性色彩，是啟迪兒童心霏的鑰匙。設計學生感興趣的數學活動，特別對于新舊知識銜接處的情境創設，是引領學生主動思考的重要動力。從新舊知識的銜接處設計兒童喜聞樂見的情境，激發學生強烈的好奇心，當這種好奇心一旦發展為思考興趣，將會表現出強烈的求知欲望，進而主動參與到學習中來。例如教學“認識分數”時，我創設分水果的故事：小猴兄弟倆在田野上玩耍，猴媽媽回來了，買了10只桃子、4個蘋果和一個西瓜，現在猴媽媽要將所有水果平均分給兄弟倆該怎么分呢？對于桃子和蘋果的分法，孩子們都會分，這屬于舊知的范疇。而對西瓜的分法，學生們眾說紛紜，有效地激發起學生自主思考的興趣，為新知的學習打下良好的思考基礎。

二、 質疑新知學習的關鍵處，啟發學生獨立思考

獨立思考是擁有自己的數學思維方式，在面對某個問題時，根據自己的思考成果應對之，而不被別人的言論所左右。獨立思考是提高數學學習能力的重要因素之一。小學生由于年齡的特點，各種人生觀都還不成熟，自控能力還不成熟，獨立思考能力有所欠缺，需要教師在教學中加以培養。眾所周知影響課堂教學效果的重要原因是學生不會學數學、不會獨立思考。因此，在教學中教師應努力創設獨立思考的空間，給學生留有獨立思考的時間，去充分把握新知學習的關鍵地方，在新知學習的關鍵處啟發學生獨立思考，大膽質疑，勇于發現和提出問題，敢于分析和解決問題。有助于學生理解和掌握新知，充分發揮學生的主體作用。

例如，在教學“用替換的策略解決問題”一課時，這部分內容的安排主要分為兩個部分，一是在替換過程中總量不變，叫等量替換；二是在替換過程中總量發生變化，叫不等量替換。對學生來說，第一部分等量替換結合圖形分析容易理解，而第二部分學生學習上有困難，有時發現不了總量的變化，有時與第一部分等量替換混淆，分不清怎么樣靈活運用替換的策略解決問題，這正是新知學習的關鍵處。我在第一部分教學之后，將重點放在第二部分，鼓勵學生大膽質疑，提問：將一個大盒替換成一個小盒，什么變了，什么不變？啟發學生獨立思考，教師加以巡視，對正確的想法予以肯定。經過一番獨立思考，有的學生說大、小盒的總盒數不變還是6個；有的學生說因為每個大盒比每個小盒多裝8個，所以將大盒替換成小盒時球的總個數發生了變化；有的學生說這個題目與例1不一樣。這些回答正是學生經過獨立思考后的思維碰撞，學生們抓住了本節課的關鍵處，理解了本節課的難點，發現替換之后總量的變化，這是難能可貴的。于是接著提問：那么例1和例2為什么會不一樣，你發現了什么，把你的想法和同桌說一說。一片寂靜之后，學生們開始交流，紛紛表達自己的想法，有的同學從條件入手找出不同的地方，有的同學從問題入手找出相同的地方，學生們說的頭頭是到，學生通過自己獨立思考獲得的知識才是真正的知識，記憶猶新，并且體驗到獨立思考帶來的成功喜悅，增強了學生學習的自信心。

三、 猜想數學知識的疑問處，鼓勵學生深層思考

深層思考是對一個數學問題從現象到本質地思考，搞清知識的來龍去脈，要知其然還知其所以然。在數學知識的疑問處引導學生進行深層思考，對中高年級學生來說是一個挑戰。合理猜想是深層思考的重要方法，只有在學習的疑問處運用所學知識進行大膽猜想，做出合理的判斷，才能獲得更大的收獲。

《數學論》指出：猜想是推動數學理論發展的強大動力。數學猜想是數學發展中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是人類理性中最富有創造性的部分。數學發展史表明，數學家在嘗試解決數學猜想過程中創造出大量有效的數學思想方法。這些數學方法已滲透到數學的各個分支并在數學研究中發揮著重要作用。由此可見猜想是重要的學習方法，是深層次思考的重要途徑。例如，在教學“圓柱的表面積”一課時，我是這樣設計猜想環節，鼓勵學生深層思考的。首先從已學過的長方體和正方體的表面積計算入手，引導學生回憶長方體和正方體的表面積計算方法，說一說什么是長、正方體的表面積，由此引出圓柱的表面積怎么計算的。學生根據已有的經驗進行思考，多數學生早早舉起小手，搶著要回答，就是用圓柱的側面積加兩個底面積，只要先求出側面積，再求出底面積，最后用側面積加兩個底面積。學生似乎都理解了這種方法，接著我提問：有沒有更簡便的方法？學生開始在本子上畫圖、小組交流，在絞盡腦汁的思考，時間一分一秒地過去，好像沒什么進展。此時我鼓勵能否這樣猜想：能不能將圓柱的展開圖（3個分別是長方形和兩個圓）合并成一個圖形。學生繼續思考，心想這怎么可能，這里面有兩個圓怎么能和一個長方形合并成一個規則圖形。怎么辦呢，這正是數學知識的疑問處。正在大多數學生一籌莫展之時，一個男生突然站起來說可以將它們拼成一個長方形，可以將兩個圓通過剪切拼成兩個長方形，這兩個長方形的長加起來等于原來側面展開所得到的長方形的長，將這3個長方形可以拼成一個大長方形，大長方形的長等于圓周長，寬等于高加半徑，所以可以用底面周長乘高與半徑的和來求出表面積。聽完這個同學的回答，所有同學表現得很驚訝、很佩服。這就是大膽猜想的力量，是進行深層思考的結果，學生在深層思考、交流中獲得了求圓柱表面積的第二種方法，這是刻骨銘心的學習思考過程，對孩子的終身學習有著重要里程碑意義。

四、 反思知識系統的交匯處，促進學生全面思考

學習數學的實質就是一個自主思考的過程，數學教學的基本目標就是培養學生的思考能力。《2011版新課標》指出：通過數學學習，學生應該在抽象思維、空間觀念、統計觀念、合情推理以及初步的演繹推理等方面獲得發展。全面思考實際上就是對已有知識、掌握方法進行反思、總結，反思能力的強弱直接影響著學生學習的成效，引導學生抓住反思的切入點，特別是在知識系統的交匯處全面思考，反思知識系統的聯系與構建，來對知識系統形成一個全面、系統的認識網絡。

例如在教學“平面圖形的面積復習”一課時，為了讓學生能夠全面思考平面圖形的面積存在的聯系，我是這樣設計的。我首先提問學生學過哪些平面圖形？學生一一回答后，我追問學生能簡單說出各種圖形特征與相關計算嗎？學生思考后小組互相交流，有的學生會說這些圖形的特征；有的學生會說這些圖形的周長和面積計算。這些問題只是一個鋪墊，關鍵在后面的環節。我接著提問學生這6個平面圖形的面積計算公式分別是怎樣推導出來的呢？它們之間有聯系嗎？我要求學生分小組交流，說一說推導過程。此時知識系統的交匯處已經出現，我繼續提問：它們的聯系在哪里？在小學階段，我們為什么首先學習的是長方形的面積計算公式？這個問題有點讓學生摸不著頭腦，小組同學在交流，我也參與其中，很多同學從它們的推導方法入手來分析為什么先學的是長方形的面積計算公式。有的學生通過畫圖說正方形的面積與長方形的面積計算公式推導方法是一樣的；有的學生說將平行四邊形通過剪、移，可以拼成長方形；有的學生說三角形、梯形的面積公式是通過平行四邊形面積公式推導出來的。聽了這些學生回答，所有學生都能理解為什么先學習了長方形的面積計算。此時我肯定地說：“同學們真是分析高手！通過自己的全面思考得出這六種平面圖形之間是有著緊密聯系的。你能畫一張圖，表示出各種圖形之間的推理關系嗎？”學生通過畫推理圖進一步反思、理解平面圖形面積之間的聯系，了解了知識系統的編排原因，形成了平面圖形面積計算的知識網絡，從而獲取了有價值的思考體驗，實現了真正意義上的學習。

實踐證明，數學思考是學生不可或缺的學習能力。讓學生進行有效的數學思考，有助于理解知識系統之間的因果聯系。教學中教師引領學生在探究數學問題的過程中，結合數學思考的思想，運用數學思考的方法，對數學知識進行系統地理解運用，這樣能更好地促進學生數學思維的跳躍，激發學生敢想、敢說、敢問的熱情和敢于發表自己獨特見解的勇氣，進而真正形成分析問題和解決問題的能力。