數列問題在全國卷與福建卷中的考查比較

王圣榮

（三明市第九中學，福建 三明 365001）

數列問題在全國卷與福建卷中的考查比較

王圣榮

（三明市第九中學，福建 三明 365001）

文章以全國卷和福建卷作為研究對象，對比歷年文理科中在數列板塊中的考查對象，先從題型上找到區別點，以便于抓住數列在全國卷中考查的比重和難度。然后再根據每個題目所涉及到的知識點，梳理出高三復習過程中應該重點講解的知識點。解決了重點知識分布之后，接著再針對每個常見的重點知識，結合全國卷中典型的例題進行深入分析。在例題分析中總結各個題型的解題規律和教學建議，力求提升高三教學的有效性。

數列；高考；全國卷；比較

自2016年開始，福建省高考恢復使用全國卷，原來以創新和知識點交匯考查作為命題風格的福建卷在全國卷中能否延續，這直接決定高三的復習思路是否需要轉變。有鑒于此，有必要對福建卷與全國卷的命題方式的異同點進行比較。

全國卷從2010年開始采用12道選擇題，4道填空題，5道必做選擇題及3選1的選作題的試卷模式，這一模式一直延續至今。另外在2013年之前，針對新課標地區的全國卷只有一份。到了2013年，隨著實行新課標的地區增多，采用全國卷的地區越來越多，針對各地區的教育發展水平的不同，全國卷分為了全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷。這一模式一直延續至今。現以數列板塊的內容作為分析對象，以2010年到2015年的全國卷數學試卷作為樣本，對6年來全國卷與福建卷在數列問題的考查方式進行比較，力求在分析中為2016屆的高考復習拋磚引玉。

一、歷年高考試卷中的數列題型分布對比

通過對6年來所有樣本試卷中的數列問題比較后，整理出如下的表格：（注：“選”表示選擇題，“填”表示填空題，“解”表示解答題，后面的數字為所在題型的題號）

由此可以看出，無論文科還是理科，只從題目所分布的位置來看，三類試卷都放在相對靠前的位置，也就是說大都以基礎題為主。以全國卷為例，18份試卷中有10份將數列放在解答題的第一題，占到近三分之二，其中文理科各占5份。

從全國兩卷分析，三年的分卷時間，全國Ⅰ卷在文理科上都有兩次將數列問題放在解答題，而全國Ⅱ卷卻都只有一次出現在解答題部分。對比福建卷和全國卷依然可以看出，福建的文科卷將數列作為解答題的必考題型，理科卷則將數列作為小題的必考題型；全國卷文理科對數列的比較一致，數列是作為解答題的待選題型，尤其在全國Ⅰ卷中，大多數時候解答題的第一題都是以數列的形式出現的。而在選擇填空題的安排上，與福建卷相似，全國Ⅰ卷更多的是將數列問題放在簡單題的位置。全國Ⅱ卷則更偏向于只安排一道簡單題，另一道數列的問題都是放在壓軸題的位置。

再從分值上看，數列問題在全國卷中的分值為：文科約占10到17分，理科約占10到15分。

二、知識點的考查歸納與建議

如果以知識點的考查作為分析對象，那么通過整理樣本卷得到如下的表格：

上表對樣本卷中有關數列部分所考查的主要知識點進行羅列。通過表格可以看出：全國兩卷都對基本量問題、求和問題和Sn與an的關系問題，而且全國Ⅰ卷對相關知識點的考查難度更大；全國Ⅱ卷則更重視這些知識點的基本應用，同時還增加對其他常見知識點的應用，如下表公式，遞推公式求通項等問題的考查?？梢娙珖窬砀匾曋R考查的深度，全國Ⅱ卷則更重視知識考查的廣度?，F針對這些特點，抽取其中一部分知識點進行必要的說明，不求面面俱到，但求能在教學中能夠提供參考。

（一）遞推公式求項問題

1.問題舉例

遞推公式求通項公式問題的方法有許多，如果每一種方法都進行深入學習的話，將要占用學生大量的時間，而且學習效果未必很好。慶幸的是在這類問題的考查中，大都只是放在小題中出現，這就為學生在使用常規方法之外提供了利用不完全歸納法進行猜想的機會。

如2015年全國2卷理科第16題：設Sn是數列｛an｝的前n項和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn=___；

本題的常規方法是利用an+1=Sn+1-Sn的特點，在等式的兩邊同時除以SnSn+1，接著構造出等差數列后，得到Sn的通項公式。此外還可以用列舉的方法，通過對n取1，2，3…求出相應情況下的，學生就能夠很容易的歸納出Sn的通項公式應該是。

2.教學建議

通過列舉后歸納出數列的通項公式是學生比較喜歡也比較容易接受的求通項公式的方法。教師可以在利用常規方法求通項公式的同時，嘗試利用列舉的方法求通項公式，這不僅有利于學生在小題的解答中提高效率，而且也能夠在解答題中提高得分率。比如2014年全國Ⅰ卷理科第17題中，通過列舉得到λ的值，最后再利用所得的通項公式證明滿足已知的遞推公式，同樣可以得到正確的解答。

（二）基本量問題

1.問題舉例

基本量問題首先要求學生熟練掌握等差、等比的通項公式、前n項和公式和中項公式，通過利用這些公式列出相關基本量的方程（如：首項、公差、公比等）。

如2013年全國Ⅱ卷理科第3題：等比數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）

本題先根據數列｛an｝為等比數列，確定基本量為首項和公比，然后建立方程，解得。

在列方程問題中，一定要特別注意等比數列的前n項和Sn作為已知條件的問題。由于等比數列的前n項和公式存在q=1和q≠1的分類，所以在涉及到前n項和問題時，通常先采用前n項和的定義Sn=a1+a2+…+an，然后利用等比數列通項公式an=a1qn-1進行列方程，這樣就能在列方程中避免分類討論，使問題得到簡化。當然在等差數列中就不存在這樣的問題，可以直接利用公式列方程，即可得到所需的結果。

2.教學建議

針對基本量問題的復習，建議從簡單的基本問題出發，讓學生能夠熟練地應用假設首項、公差、公比對已知條件列方程，這樣的問題在教材的練習和習題中有許多，學生可以通過對教材中問題的解答，達到熟練應用公式和解方程的目的。完成了公式的基本訓練之后，教師再拓展到其他技巧和方法的應用。最后采用復習資料中的例題和練習，循序漸進地提高學生綜合應用的能力。

（三）求和問題

高中階段的求和問題，常見的方法有四種：公式法、分組求和法、裂項相消法和錯位相減法。鑒于公式法較為簡單，分組求和法問題又較少出現，下面以裂項相消法和錯位相減法為主，分別舉例說明，并歸納其中的一般規律。

1.裂項相消法

裂項相消法在福建的樣本卷中沒有專門的考查，在全國卷中也只是在全國Ⅰ卷中出現三次考查到這一知識點，其中文科1次，理科2次，而且都是以解答題的形式出現，可見全國Ⅰ卷對這一知識點的重視。

裂項相消法所適用的數列通項公式通常需要滿足三個特征：（1）分式形式；（2）分子為常數；（3）分母為同系數因式相乘的形式。學生在解題前需要先把所要求和的數列通項公式化簡為滿足以上三個特征的形式后，才能比較順利地利用該方法解題。

如2015年全國Ⅰ卷理科第17題：Sn為數列｛an｝的前n項和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3。

（1）求｛an｝的通項公式；（2）設，求數列，最終得到所要的結｛bn｝的前n項和。

在第（1）小題得到an=2n+1后，觀察到滿足以上所列的三個特征，可以確定本小題應采用裂項相消法。接著同樣先對各項進行列舉，將｛bn｝的前n項和Tn整理為，然后利用分式的“化乘為減”的公式，得到果。建議對基礎比較薄弱的學生利用分組求和的方式將整理為，通過兩種形式的呈現，讓學生能更容易理解最終結果的形成過程。

2.錯位相減法

錯位相減法是四類常見求和問題中最難的。在福建省的樣本卷中從未考查到錯位相減類的問題，與裂項相消法相同，錯位相減法也只是在全國Ⅰ卷中考查過兩次，文理卷中各有一次。錯位相減法所適用的數列通項公式特征為一次指數或者一次×指數的形式。

如2014年全國Ⅰ卷文科第17題：已知｛an｝是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，

（1）求｛an｝的通項公式；（2）求數列的前n項和。

3.教學建議

在復習求和問題時，建議說明各種不同方法在步驟上的相同點：在數列規律不明確的情況下求和，首先都需要對求和的數列進行列舉，列舉中涉及到乘法、除法和指數的形式不進行計算或化簡，保持原有的形式；然后通過觀察所得結果，確定所使用的方法后，根據模式化的步驟對問題進行求解。特別是在裂項相消法的“化乘為減”和錯位相減法的“同次相減”步驟的教學中，應盡量讓學生自己動筆完成，以達到更好的教學效果。

（四）Sn與an關系的問題

1.問題舉例

以2015年全國Ⅰ卷理科的第17題為例（題目見“裂項相消法”部分）。這類問題的解題步驟與數學歸納法的步驟相同。先取n=1，求得an=3；然后取n≥2，得到，結合公式可得an-an-1=2。由此可以判斷出｛an｝是以2為公差的等差數列，結合a1=3求得｛an｝的通項公式。

2.教學建議

由于這一公式具有分類討論的特點，在教學的過程中建議先從前n項和的定義出發，用形象的數字和形式發現前n項和都是從第1項開始一直加到最后一項?？梢酝ㄟ^將n先用幾個整數舉例后，讓學生更好的了解了公式的基本含義。接著通過例題演示和學生訓練相結合，讓學生熟練這一公式在實際應用中的基本步驟和書寫方法。在學生熟練掌握公式的應用方法之后，教師可以給出與前n項和相關的遞推公式求通項公式的問題，提高學生應用該公式進行解題的靈活度。從最基礎的應用開始，循序漸進地提高題目的難度，既能抓好后進生的提高，又能讓中等生夯實基礎知識，還能讓尖子生學有所獲，達到提高課堂效率的目的。

從以上分析看出，福建卷對數列的考查，常與其他的知識板塊結合，更加注重的是知識點之間的交叉應用能力。而全國卷與福建卷都對等差數列和等比數列在基本量問題的考查常抓不懈。同時全國卷的文科卷更注重考查學生對數列基本知識點的應用能力，掌握了知識點的應用方法，按照既定的步驟通常能夠順利得到完成問題的解答；而在全國卷的理科卷，尤其是全國Ⅰ卷中則越來越注重數列內在關系的探究，這從近兩年理科卷中都考查利用Sn與an的關系對數列的探究就可見一斑。而在文科卷中對該知識點則毫無涉及。這也提醒教師在文理科的復習中對知識點的處理應該區別對待。

［1］林晴嵐，陳柳娟，張潔.平中出奇常中創新—2013-2015年高考數學全國（課標）卷特色探析［J］.福建教育學院學報，2015（09）.

［2］李偉.全國卷形勢下數學備考的策略［J］.課程教學研究，2015（12）.

［3］張先龍，鄧軍民.高考全國卷背景下的數學復習策略芻議［J］.課程教學研究，2016（03）.

G471.2

A

1673-9884（2016）05-0051-04

2016-04-28

王圣榮（1982-），男，福建福清人，三明市第九中學一級教師。