提升數(shù)學教學的價值

張思明/北京大學附屬中學副校長

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提升數(shù)學教學的價值

張思明/北京大學附屬中學副校長

高中數(shù)學教學活動的關(guān)鍵是啟發(fā)學生學會數(shù)學思考，引導學生會學數(shù)學、會用數(shù)學，要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的課程意識與教學意識，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學教學的全過程。要創(chuàng)設(shè)有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的教學情境，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學的思想，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。提倡閱讀自學、動手實踐、自主探索、合作交流等多種學習方式，養(yǎng)成良好的學習習慣。通過綜合實踐活動，特別是數(shù)學建模和數(shù)學探究活動，促進學生應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、后天形成的、可以通過數(shù)學學習過程培養(yǎng)的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)。數(shù)學核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學能力，而是學生通過數(shù)學的學習、反思、積累、升華、孕育出來的，面對復雜、不確定的現(xiàn)實情境和問題時，能夠綜合運用特定的數(shù)學觀念、知識、技能、思維模式、探究技能等，用積極的態(tài)度、科學的精神去分析問題、解決問題的過程中表現(xiàn)出來的綜合性品質(zhì)。作為一線教師，如何把提升學生數(shù)學素養(yǎng)的要求落實在日常教學中呢？

學生的有效學習是教學的本位和原點所在。教學改革的根本任務(wù)就是促進“以教為主”轉(zhuǎn)向“以學為主”。要自覺改變單純知識導向的教學模式，比如“一個定義、三項注意、幾個例題、大量練習”的做法。教師的教學設(shè)計和組織要以學生學習中出現(xiàn)的問題、思維展開的走向、實踐活動的推進、交流反思的反響等發(fā)展過程作為線索展開。

善于設(shè)計和組織有效的數(shù)學學習活動，讓學生“卷入、投入、深入”其中，數(shù)學活動是素養(yǎng)的生成和發(fā)展的培養(yǎng)基礎(chǔ)。數(shù)學活動的核心不是熱鬧的形式，而是學生思維參與的深度。活動的設(shè)計就是要給學生這樣的機會，讓學生有機會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

善于利用問題情境激發(fā)、調(diào)動學生學習數(shù)學的動力源，拓展、推進學生數(shù)學學習的問題源。好的問題情境是學生數(shù)學“學習大餐”的好調(diào)料，它增味道、提營養(yǎng)、助消化。福建師范大學余文森教授對情境的教學價值有如下的描述：“魚在水中才能活，鹽融在水里才有味，這就是學科內(nèi)容和情境之間形象的關(guān)系。情境可以使枯燥乏味的學科知識有豐富的附著點和切實的生長點，通過創(chuàng)設(shè)情境，激活學科知識，讓學科教學具有更加深刻的意義；情境可以有效刺激學生，使學習過程不僅是對知識的加工和認知，而且能使學生產(chǎn)生情感的共鳴。情境要成為學生的思維發(fā)生處、知識形成處、能力成長處、情感涵育處，創(chuàng)設(shè)情境就是構(gòu)建課程知識內(nèi)容與學生的生活、經(jīng)驗、情感、生命的接壤之處。”

【活動案例一】課堂內(nèi)的探究活動——正方體可能的截面

【情境】用一個平面去截正方體，截面的形狀是什么樣的？

操作建議：激發(fā)學生提出一個逐漸深入的問題串，引導學生的討論走向深入，例如學生提出（或教師引導提出）：

（1）給出分類的原則（例如：按截面圖形的邊數(shù)分類）。按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面？設(shè)計一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫出示意圖。

（2） 如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形（分別按邊，角分類）？為什么？

（3） 如果截面是四邊形，你認為可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

（4） 還能截出哪些多邊形？為什么？

（5） 能否截出正五邊形？為什么？

（6） 能否截出直角三角形？為什么？

（7） 有沒有邊數(shù)超過6的多邊形截面？為什么？

（8） 是否存在正六邊形的截面？為什么？

（9） 最大面積的三角形截面是哪個？為什么？

這是一個跨度很大的數(shù)學探究問題串，可以通過多種方法直接實施探究，比如教學條件比較薄弱的學校，可以讓學生通過切蘿卜塊來觀察，也可以通過向透明的正方體盒子中注入不同水量有色液體，來觀察不同位置擺放時的液體表面形狀。借助于信息技術(shù)（如幾何畫板）也可以直觀快捷地展示各種可能的截面，但是不能代替證明。探究的難點是分類找出所有可能的截面，并實際找出、證明哪種形狀的截面一定存在或一定不存在。可以鼓勵學生通過觀察、操作，形成猜想，再通過論證形成結(jié)論。它有利于培養(yǎng)學生觀察發(fā)現(xiàn)、分類討論、推理論證、直觀想象、作圖表達等能力，在具體情境中，提升直觀想象、推理論證等核心素養(yǎng)，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

【活動案例二】課堂內(nèi)外結(jié)合的探究——拋均勻硬幣的相關(guān)計算和實驗

【目的】通過實際計算和概率實驗，更好地幫助學生理解隨機事件，獨立重復試驗，概率和實驗結(jié)果之間的關(guān)系，理解二項分布。

【情境】在概率概念的學習時，曾經(jīng)有過概率1/2是否意味著兩次拋擲中一定恰有一次正面向上的爭論，并簡單介紹過不能那樣理解的理由。在學生學完二項分布后，我們可以再次利用拋均勻硬幣這個實驗。

可以提問學生：在100次擲硬幣的試驗中，恰有50次正面朝上的概率是多少？學生此時應(yīng)該可以很快給出表達式，但這個表達式代表的數(shù)值究竟是多少？比0.5大還是小？與0.5的接近程度如何？概率1/2到底能幫助我們作出什么樣的推斷呢？借助于信息技術(shù)，不僅可以向?qū)W生展示8次投擲中恰有4次、50中恰有25次和100中恰有50次正面向上的概率，讓學生發(fā)現(xiàn)當投擲次數(shù)越多時，恰有一半硬幣正面向上的概率在逐漸降低的規(guī)律；還可以橫向讓學生感受一下當投擲50次時，正好有k次正面向上的概率到底會是一個怎樣的規(guī)律。縱向和橫向的雙重比較可以使得學生更好地理解不確定中的規(guī)律性。

工具：計算器或計算機。

實際操作：1. 利用計算器或計算機完成如下計算：投擲一枚均勻硬幣2n次，恰有n次正面向上的概率。

2. 利用計算器或計算機完成如下計算：

投擲一枚均勻硬幣50次時，恰有k次正面向上的概率。

3. 如果有人告訴你，“在100次擲均勻硬幣的試驗中，恰有50次正面朝上的概率為8%”，你如何設(shè)計一個真實的“實驗”，來驗證這個結(jié)論？（建議在課后做）

本案例的素養(yǎng)著力點是——數(shù)據(jù)分析、數(shù)學計算和信息技術(shù)。

第1、2問題比較簡單，用計算機或計算器的計算功能把兩項分布的實際概率值計算出來，就可以讓學生們感受到真實數(shù)據(jù)與直觀想象的差異了。

第3問比較“麻煩”，首先要選一枚硬幣，通過多組實驗，如果發(fā)現(xiàn)正、反面向上的頻率大體相等，就說明它是“均勻”的，不然就重新選擇硬幣。然后“連續(xù)擲100次硬幣，記錄向上的次數(shù)，這算完成一組實驗”，再重復做若干組（比如做到100組）前面的實驗，分別記錄每組實驗中硬幣向上的次數(shù)，最后在這100組實驗數(shù)據(jù)中數(shù)出50次正面向上的組數(shù)，記為a， a應(yīng)該是8或者接近8。這個實驗也可以用計算機模擬，因為可以設(shè)定硬幣的向上概率為0.5，所以均勻性的驗證可以不做。

【活動案例三】課堂內(nèi)數(shù)學閱讀的活動——自主完成三種語言的轉(zhuǎn)化

【情境】 選擇一個數(shù)學的重要概念，如函數(shù)的單調(diào)性，讓學生自己試著完成下表的內(nèi)容：

本案例的素養(yǎng)著力點是——數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和學會學習。

數(shù)學概念學習時三種語言的自主轉(zhuǎn)化是個難點，多是由教師用講解代替學生的嘗試和思考。其實，對比轉(zhuǎn)化中出現(xiàn)的問題或錯誤是很好的生成性學習資源。經(jīng)常讓學生做這種轉(zhuǎn)化練習，是教給了學生一種學習數(shù)學概念的方法。

【活動案例四】學會學習-----自己學著做章小結(jié)

【情境】在每章學習結(jié)束時，教師提出要求或給予示范后，可以要求學生自己完成章小結(jié)。給出的提示是，章小結(jié)最好有個人的特點和針對性，建議表述以下的內(nèi)容（不強求一致）：

（1）本章重點知識（框圖）

（2） 本章重要的數(shù)學思想/方法/技巧/……

（3） 本章自己選出的”核心詞”

（4） 本章自己所犯的“錯誤”與新認識

（5）自己發(fā)現(xiàn)/感悟到的東西

（6）自己尚迷惑的問題

（7） 自己認為最有價值的10個例題或習題

……

本案例的素養(yǎng)著力點是——數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和學會學習。

有的學生用思維導圖或樹形圖做出了個性化的“小結(jié)”。教師還可以要求學生建立自己函數(shù)圖像庫、曲線圖像庫，并說明每類函數(shù)選取“入庫代表”的理由。如“函數(shù)圖象庫”學生會選擇中學學習所遇到的各類典型函數(shù)，“曲線圖象庫”學生會選擇中學學習所遇到的各類典型曲線，以及課外閱讀時發(fā)現(xiàn)的一些曲線。

【活動案例五】無字的證明

【情境】先看圖1、2、3、4，理解“無字的證明”，即給出代數(shù)結(jié)果（公式）的直觀解讀；或者反過來，由一個圖看出一個合理的代數(shù)結(jié)果（公式）。然后組織學生發(fā)現(xiàn)圖5的“秘密”。

課后請學生自主在課本上、自己學過的數(shù)學內(nèi)容里找出類似的“無字的證明”，隨后在課堂上進行交流。

這是一個“數(shù)形結(jié)合”的體驗式學習，有利于發(fā)展邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)。其實，“基本不等式”“柯西不等式”以及“數(shù)列”的不少求和公式等都有很好的直觀解釋。

【活動案例六】數(shù)學學習的創(chuàng)意活動

【情境1】發(fā)現(xiàn)并找出數(shù)學學習參考書中的非印刷性錯誤，指出錯誤的所在并予以更正。

我們希望學生找到的是書上真的錯誤，目的是讓學生知道“白紙黑字”寫的不一定都是對的，培養(yǎng)學生獨立思考意識和批判性思維品質(zhì)。一開始，學生認為這樣的工作很困難，但后來他們發(fā)現(xiàn)這項工作相對容易，因為曾經(jīng)有一段時間里質(zhì)量不高的教學參考書在圖書市場上比較多。

【情境2】 商場、超市找數(shù)學

讓學生學會觀察發(fā)現(xiàn)問題，這是比學知識更有挑戰(zhàn)的事。學生們發(fā)現(xiàn)和提出了許多問題：

（1） 大包裝的商品比小包裝的商品相對更便宜，定價的依據(jù)是什么？

（2） 超市的監(jiān)控頭怎么安裝能做到無死角且個數(shù)少？

（3） 打折銷售的商家和買家策略各自是什么？

（4） 超市的收銀口，在不同的時段最有效的安排是開幾個？

（5） 減少找零障礙的辦法有哪些？

（6）每個大超市l(wèi)ogo的生成曲線是什么？

（7） 蚊香是什么曲線？為什么做成這么大的一盤？

（8） 鞋帶中的不尋常？假設(shè)，端點甩出的鞋帶是一樣長的，哪種鞋帶的系法省鞋帶？不計算可以證明嗎？

……

【情境3】 發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美

這是完全開放的假期活動作業(yè)，學生自由表達自己審美中的發(fā)現(xiàn)，體會數(shù)學的文化價值。一位學生利用函數(shù)的知識，找出了撲克牌的四種花色的輪廓函數(shù)，并做出了圖像；另一位學生找出了世界各國勛章的輪廓曲線……這組案例是相對開放、自主程度比較高的活動設(shè)計，有利于學生綜合素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展，給學生預留了充足的個性表現(xiàn)和自主創(chuàng)新空間。

通過以上這六個數(shù)學活動案例，我們試圖說明，一線教師在落實數(shù)學核心素養(yǎng)的教學設(shè)計上是大有可為的，數(shù)學活動設(shè)計就是一個好抓手。

同時，我們也應(yīng)該認識到，學科的核心素養(yǎng)絕不僅僅是掌握學科的知識點和技能，更重要的是在學科知識學習中表現(xiàn)出的人格特征和智慧特征，是學科內(nèi)在和潛在的價值、精神和文化在學生身上的體現(xiàn)。只要我們心里有學生，有對核心素養(yǎng)的追求，從我們的課堂做起，勤積累，善發(fā)力，及時反思，就會讓我們的課堂充滿數(shù)學智趣，收獲學習和成長的快樂！