建坐標　構方程　解平拋

顧　巖　梅宇航

(江蘇省鎮江第一中學，江蘇　鎮江　212009)

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建坐標構方程解平拋

顧巖梅宇航

(江蘇省鎮江第一中學，江蘇鎮江212009)

關于平拋運動的解答，常規的方法是利用運動的合成與分解，將其分解為兩個相互垂直的直線運動，求出分運動的相關物理量，最后合成，其核心思想是“分而解之”.在實際問題的處理中，有時還可以從合運動入手，利用數學方法，構建平拋運動軌跡方程，直接求解.

平拋運動；合運動；軌跡方程

在人教版高中物理必修2“平拋運動”中，從數學層面探討了平拋物體的運動軌跡方程，但卻鮮見用平拋運動軌跡方程來解決物理問題，筆者在此略陳管見.

1　平拋物體軌跡方程的拓展構建

圖1

2　示例呈現

2.1利用點的坐標

例1：拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動(如圖2),談及乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力.

圖2

(1) 若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1水平發出，落在球臺的P1點(如圖2實線所示)，求P1點距O點的距離x1;

(2) 若球在O點正上方以速度v2水平發出，落在球臺的P0點,且恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2(如圖2虛線所示)，求v2的大小;

(3) 若球在O正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3，求發球點距O點的高度h3.

圖3

解答評析:選取適當的原點建立坐標系，使得一些點的坐標成為已知，進而使問題明朗化.

2.2求出點的坐標

圖4

例2：如圖4所示，小球從樓梯上以2m/s的速度水平拋出，所有臺階的高度和寬度均為0.25m，g取10m/s2，小球拋出后首先落到的臺階是().

A. 第一級臺階

B. 第二級臺階

C. 第三級臺階

D. 第四級臺階

圖5

解析:以拋出點為坐標原點建立坐標系(如圖5)，將階梯的直角邊緣用直線連接起來，若落在階梯上，則小球必須先通過邊緣的連線，通過拋物線與直線的交點A的坐標即可判斷小球落在第幾級臺階上.

例3：小亮觀賞滑雪比賽，看到運動員先后從坡頂水平躍出后落到斜坡上.如圖6所示，某運動員的落地點B與坡頂A的距離L=75m，空中飛行時間t=3.0s.若該運動員的質量m=60kg，忽略運動員所受空氣阻力作用，重力加速度取g=10m/s2.

(1) 求A、B兩點的高度差h;

(2) 求運動員落到B點時的動能EkB;

(3) 小亮認為，無論運動員以多大速度從A點水平躍出，他們落到斜坡時的速度方向都相同.你是否同意這一觀點?請通過計算說明理由.

圖6

解析:(1)、(2) 略.

(3) 由于速度方向沿軌跡切線方向，而軌跡方程的一階導數的數學意義恰為切線斜率，若能證明軌跡在與斜面的交點處的一階導數的數值為一個與初速度無關的常量即可說明落到斜坡上的速度方向都相同.

圖7

解答評析:通過平拋運動的軌跡方程與其他方程的聯立，解得交點坐標，從而使問題得到有效的解決.

3　小結

從學生已有的數學知識儲備出發，利用平拋運動的軌跡方程有時可以高效簡捷地解決問題，更重要的意義是該做法為解答平拋問題提供了另一條思考途徑，該途徑的核心就是建立合理的坐標系，寫出平拋的軌跡方程，然后與點的坐標共同使用.

鄭永令.物理奧林匹克競賽標準教材[M].北京:北京教育出版社，2004.