非彈性碰撞振動系統的首次穿越分析

徐　明，金華斌

(1.中國計量學院計量測試工程學院，杭州　310018；2.浙江省流量計量技術研究重點實驗室，杭州　310018)

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非彈性碰撞振動系統的首次穿越分析

徐明1，2，金華斌1，2

(1.中國計量學院計量測試工程學院，杭州310018；2.浙江省流量計量技術研究重點實驗室，杭州310018)

對高斯白噪聲激勵作用下的非彈性碰撞振動系統的首次穿越問題作了分析，得到了非彈性碰撞振動系統的條件可靠性函數和相應的條件概率密度函數。不同于以往碰撞物理模型，非彈性碰撞作用采用了修正赫茲接觸模型。首先，基于能量耗散平衡法，將碰撞振動系統轉化為不含碰撞的等效非線性系統。其次，應用基于系統能量的隨機平均法，得到關于系統總能量的平均伊藤隨機微分方程。然后，建立條件可靠性函數的控制方程及相應的初邊界條件，并數值求解。最后，分析了不同系統參數情形下條件可靠性函數及相應的條件概率密度函數的變化規律。該方法可有效分析非彈性碰撞振動系統的首次穿越問題，數值分析結果表明較大的阻尼系數可提高系統可靠性，而較大的激勵強度則往往增加發生首次穿越的概率。

非彈性碰撞振動系統；修正赫茲接觸模型；隨機平均法；條件可靠性函數；條件概率密度函數

在機械和結構工程中，碰撞振動系統是一類十分廣泛的動力學系統，諸如石油運輸管道碰撞其約束，大型輪船晃動時與冰山等障礙物間的相互撞擊。碰撞振動系統對系統安全影響十分關鍵，因而已有不少學者對其進行研究[1-3]。由于自然界中存在著大量的不可避免的隨機擾動，針對受隨機激勵作用的碰撞振動系統研究的文獻也已有很多[4-6]。

基于該模型，應用隨機平均法研究了單自由度碰撞振動系統的隨機響應[9]。隨機響應分析的一個重要意義在于，可以提供結構安全性和可靠性的直觀評估。對結構安全性和可靠性的精確描述在數學上可歸于首次穿越問題。如核工業中管道碰撞問題，被撞擊管道的過大塑性變形將會導致泄漏，直接影響安全生產。因此可將該工程問題提煉為簡單的振子碰撞擋板模型，以最大位移或者最大能量為衡量破壞的指標，研究其首次穿越問題。

本文應用能量耗散平衡法及隨機平均法，研究了基于修正赫茲接觸模型的碰撞振動系統的首次穿越破壞。通過隨機平均法得到的關于系統總能量的平均伊藤隨機微分方程，建立了條件可靠性函數的控制方程-后向Kolmogorov方程，并用有限差分法數值求解，將求解結果與蒙特卡羅模擬結果比較以驗證該方法的有效性。數值分析表明，增加系統的阻尼和減弱激勵強度均可提高機械和結構工程中隨機碰撞振動系統的安全性。特別需要說明的是，本文不同于以速度、位移等系統狀態為首次穿越破壞準則，而以系統總能量超過臨界能量視為發生首次穿越破壞，這類似于以材料應變能而非變形作為強度破壞準則。

1　等效非線性系統

本文考慮右側具有固定擋板的單自由度碰撞振動系統，如圖1所示，其運動微分方程可表示為：

(1)

圖1　單邊約束的碰撞振動系統示意圖Fig.1　Schematic of the vibrating system with one side barrier

(2a)

(2b)

式中:g+和g-分別表示加載階段和卸載階段曲線，x0表示彈性碰撞和非彈性碰撞位移臨界值，k2，k3表示附加剛度，δr表示質量塊平衡位置與擋板間的距離。a1，a2分別表示質量塊在平衡位置右側最大的位移，左側的最大位移。

圖2　修正赫茲接觸模型力-位移曲線Fig.2　The constitutive relationship of the non-inelastic model

若碰撞過程發生僅出現可完全恢復的彈性變形，則加載和卸載曲線重合，碰撞接觸力數學表達公式為：

(3)

由于修正赫茲接觸模型表示的碰撞接觸力同時包含阻尼和彈性效應，無法直接對該系統進行求解，故引入能量耗散平衡法，將碰撞作用力等效分解為阻尼和剛度兩部分。阻尼表示為擬線性阻尼，剛度則表示成系統勢能對位移的導數。擬線性阻尼由其在一個循環周期內的耗散能量與碰撞接觸力耗散的能量相等來確定，相應的等效阻尼系數表達式為：

2ζ1(H)=

(4)

(5)

右側位移幅值未超過臨界值x0的情形(δr

2ζ1(H)=0

(6)

系統總勢能則由其卸載能量確定，其相應的表達形式為：

(7a)

式中：UL(x)=k1x2/2

(7b)

式中:y坐標對應的卸載階段的碰撞作用力等于x坐標對應的加載階段的碰撞作用力，y由關系式k2(y-δr-Δr)3/2=k3(x-x0)3/2+k2(x0-δr)3/2確定。

(7c)

對于情形δr

(8a)

式中：

(8b)

對于a1<δr情形，系統總勢能僅存在于線性彈簧中，故而其表達式為：

(9)

碰撞接觸力分解為等效阻尼和等效剛度后，原系統(1)等效為下列非線性系統：

(10)

2　隨機平均法

dH=m(H)dt+σ(H)dB(t)

(11)

式中：B(t)是單位維納過程。

與方程(11)相應的漂移系數m(H)和擴散系數σ2(H)分別為：

(12a)

(12b)

3　首次穿越破壞

條件可靠性函數的控制方程為后向Kolmogorov方程，表達式為

(13)

式中:m(H0)和σ2(H0)可由將漂移系數m(H)和擴散系數σ2(H)中H替換為H0得到。

方程(13)的初始條件為

R(0|H0)=1,H0∈Ωs

(14)

及相應的邊界條件為

R(t|H0)=0,H0=Hc,

R(t|H0)=finity,H0=0

(15a,b)

一般情況下，后向Kolmogorov方程很難得到解析的表達式，本文將采用有限差分法數值求解該方程。

首次穿越時間的條件概率密度則可由條件可靠性函數得到，

(16)

4　算例與討論

圖3　不同粘性阻尼系數的影響Fig.3　Influence of the viscous damping coefficient ζ

圖4　不同激勵強度2D的影響Fig.4　Influence of the excitation intensity 2D

由上述討論可知，① 本文提出的方法具有較好的精度，能較好分析非彈性碰撞振動系統的首次穿越問題；② 通過提高系統的阻尼，減小激勵強度能顯著提高系統的可靠性，為碰撞振動系統可靠性設計提供一定的理論指導。

[1]謝建華,文桂林,肖建.兩自由度碰撞振動系統分叉參數的確定[J].振動工程學報,2001,14(3):249-253.

XIE Jianhua,WEN Guilin,XIAO Jian.Criteria of bifurcation parameters of vibro-impact system with two-degree-of-freedom [J].Journal of Vibration Engineering,2001,14(3):249-253.

[2]趙文禮,周曉軍.二自由度含間隙碰撞振動系統的分岔與混沌[J].浙江大學學報(工學版),2006,40(8):1435-1438.

ZHAO Wenli,ZHOU Xiaojun.Bifurcation and chaos of impactvibration system with two degrees of freedom and clearance[J].Journal of Zhejiang University(Engineering Science),2006,40(8):1435-1438.

[3]張有強,丁旺才.干摩擦對碰撞振動系統周期運動的影響分析[J].振動與沖擊,2009,28(6):110-112.

ZHANG Youqiang,DING Wangcai.Study on effect of dry friction on periodic motion of impact vibration system[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28(6):110-112.

[4]田海勇,劉衛華,趙日旭.隨機干擾下碰撞振動系統的動力學分析[J].振動與沖擊,2009,28(9):163-167.

TIAN Haiyong,LIU Weihua,ZHAO Rixu.Dynamic analysis of a vibro-impact system with random disturbance[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28(9):163-167.

[5]劉中華,黃志龍,朱位秋.二自由度碰撞振動系統的隨機響應[J].振動工程學報,2002,15(3):257-261.

LIU Zhonghua,HUANG Zhilong,ZHU Weiqiu.Stochastic response of two-degree-of-freedom vibro-impact system[J].Journal of Vibration Engineering,2002,15(3):257-261.[6]JING H S,SHEU K C.Exact stationary solutions of the random response of a singe-degree-of-freedom vibro-impact system[J].Journal of Sound and Vibration,1990,141(3):363-373.

[7]DIMENTBERG M F,IOURTCHENKO D V.Random vibrations with impacts:a review[J].Nonlinear Dynamics,2004,36(2/3/4):229-254.

[8]MCMILLAN A J,ACEVES C M,SUTCLIFFE M P F.Moderate energy impact analysis combining phenomenological contact law with localised damage and integral equation method[J].International Journal of Impact Engineering,2012,43:29-39.

[9]XU M,WANG Y,JIN X L,et al.Incorporating dissipated impact into random vibration analyses through the modified Hertzian contact model[J].ASCE Journal of Engineering Mechanics,2013,139(12):1736-1743.

First-passage failure of a non-elastic vibro-impact system

XU Ming1,2,JIN Huabin1,2

(1.College of Metrology & Measurement Engineering,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China;2.Zhejiang Provincial Key Laboratory of Flow Measurement Technology,Hangzhou 310018,China)

The first-passage failure of an inelastic vibro-impact system was studied here,and the conditional reliability function and the conditional probability density function of the system were derived.Being different from the traditional impact model,the modified Hertzian contact model was adopted for this system.Firstly,based on the energy dissipation balance technique,the inelastic vibro-impact system was converted into an equivalent nonlinear system without impact.Secondly,the averaged Ito stochastic differential equation was derived with the stochastic averaging method.Thirdly,the governing equation for the conditional reliability function was established and numerically solved under given initial and boundary conditions.Lastly,the influences of different system parameters on the system’s conditional reliability function and conditional probability density function were ananlyzed.It was shown that the proposed technique is very efficient and accurate for the first passage failure of the vibro-impact system; the weaker excitation intensity and the bigger damping coefficient enhance the system’s reliability.

inelastic vibro-impact system; modified Hertzian contact model; stochastic averaging; conditional reliability function; conditional probability density function

國家自然科學基金青年項目(11402258);浙江省‘儀器科學與技術’重中之重學科人才培育計劃項目(JL150511)

2015-05-19修改稿收到日期：2015-08-09

徐明 男，博士，1986年生

O322;O324

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.033