球殼在可壓縮空氣下的耦合振動分析

劉　平，付功義

(1.江蘇科技大學 土木工程與建筑學院，江蘇　鎮江　212003；2.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海　200240)

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球殼在可壓縮空氣下的耦合振動分析

劉平1，付功義2

(1.江蘇科技大學 土木工程與建筑學院，江蘇鎮江212003；2.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海200240)

大跨空間結構近年來應用越來越廣，此類結構對于風荷載十分敏感。如何考慮空間結構與空氣耦合振動作用成為業界難點。通過對三維球形結構在可/不可壓縮空氣下振動問題進行分析，在假設邊界為簡諧振動并忽略低階項的情況下，求解出兩種情況下的理論解。結合具體的物理模型，對理論結果進行了探討，得出以下結論：不可壓縮假設下，結構表面壓力值主要部分與振動加速度及結構曲率半徑成正比，流場對結構作用力相當于附加質量；而在可壓縮空氣情況下，壓力值與振動速度成正比、與結構形式無關，流場對結構作用力可相當于黏滯阻尼。最后，利用數值方法對理論解進行了驗證，結果符合良好。結果可以推廣到殼形結構，為大跨空間結構的抗風、抗振提供理論支持。

可壓縮流體；空間結構；耦合振動

大跨空間結構是近年來發展最快的結構形式[1]，被廣泛應用于體育場館、會展中心、影劇院等大型公共建筑中[2-3]?？臻g結構在力學表現上具有許多不同于傳統剛性結構之處[4-5]：與空氣的相互作用是其設計中的控制因素。結構振動帶動周圍空氣運動，而空氣運動同樣影響結構的振動，這種相互影響、相互作用，形成典型的流固耦合現象[6-7]。由于這種耦合振動的強非線性，其理論求解十分困難，同時也一直受到國內外廣大學者的普遍關注。IWIN等[8]在研究蒙特利爾體育館氣動彈性模型的風洞試驗中，給出了一個可供工程使用的附加質量計算公式。MINAMI[9]根據勢流理論，假設結構振型為正弦、做簡諧振動情況下，推導出矩形平面結構在空氣中的附加質量。而王吉民[10]在假設結構振型為二次函數，也提出了結構的附加質量公式。YADYKIN等[11]利用數值方法，研究了薄板在流場中振動的附加質量。何艷麗[12]利用弱耦合方法對充氣膜與空氣的耦合效應進行了分析。孫芳錦[13]利用廣義極小殘余法(Generalized Minimum Residual)應用于強耦合方法中，研究了風與空間結構的流固耦合效應，結果表明，此方法能夠有效提高計算效率。

但是，不管是理論分析還是數值方法，對于空氣(流體)均采取不可壓縮假設，此項假設簡化了數學求解的難度，卻改變了問題的物理規律：振動對空氣的影響瞬時傳遞到整個流場，而實際，結構振動對于流場是以有限速度傳播。本文以球形結構與空氣耦合振動為研究對象，考慮到空氣可壓縮性，探討流場速度與結構表面壓力在耦合振動時的變化規律。這此規律可以推廣到殼形結構的振動中，對工程實踐具有一定的應用價值。

1　控制方程與求解

設有一球形結構在半徑方向做均勻振動(見圖1圓，表示相同半徑的球)，考慮對稱性、假設無粘流體，控制方程見式(1)。顯然，結構振動為流場運動邊界、流場邊界壓力反作用于結構，耦合方程可簡化為[14]：

(1)

初始條件為：t=0時，有：u=0、ρ=ρ0、p=p0。

圖1　球形可壓縮流體振動示意圖Fig.1　The figure ofsphere vibration of structure

1.1可壓縮方程流體方程求解

(2)

由式(2)可知，密度變化由兩項組成：流體速度隨時間改變量及隨位置改變量之和。忽略第二項，即遷移加速度，將密度解代入式(1)中連續性方程(第二項)，有：

忽略密度變化，并由速度作簡諧運動，方程可化為：

(3)

將方程式(3)各項對r求導，有：

(4)

此即為典型的一階球類Bessel函數，其解為：u=Aj1(s)+By1(s)，其中A、B為時間t的函數；j1(s)、y1(s)分別為一階的第一類、第二類球Bessel函數。當r=rs時，有：us(t)=Aj1(sr)+By1(sr)；當r→∞時，邊界條件自動滿足。

由于假設u為頻率為ω的簡諧函數，故可知A、B同樣為簡諧函數。因此則可設A=Ccos(ωt+φ)、B=Csin(ωt+φ)，C、φ為常數，(注：若假設A=Csin(ωt+φ)、B=Ccos(ωt+φ)可得出同樣結果)，由邊界速度與指定速度恒等，可以確定常數C、φ。

另外，從求解過程可以看出，忽略非線性項的情況下，方程為線性方程，因此，對于非簡諧振動情況下，可以先把振動函數用簡諧函數展開，再利用本文所述方法求解。

1.2流場速度分析

將A、B設定為簡諧函數并代入邊界條件有：

us=C[cos(ωt+φ)j1(sr)+sin(ωt+φ)y1(sr)]=

由Bessel函數性質可知，當s較大時[15-16]：

代入解并化簡后，有：

1.3流場壓力分析

ΔP=

s、φ值見上節。

與上節相同，當s較大時，有

代入ΔP，原式有：

(5)

1.4不可壓縮流體方程求解

作為對比，假定空氣不可壓縮，則控制方程為：

結構邊界條件如上節1.1，流場邊界條件為：r=rs時，有：u=us(t)；遠場邊界條件r=R時，有：p=p0。

代入遠場邊界條件，故可得：

(6)

1.5方程解討論

對于不可壓流體，由式(6)可以看出，采取不可壓縮假設與否對于結果有重要影響。在不可壓縮假設下，壓力值來源于兩部分：第一項為流體隨時間加速度影響值，與邊界加速度成正比且與流場區域長度成反比；第二項為流體隨空間加速度值，與邊界振動速度的平方正比、與半徑的四次方成反比。由式(6)可以看出，邊界壓力值隨著外流場區域(R值)的增大而緩慢減小，這種規律表明對于數值求解而言，取一定大小的外流場來模擬無窮遠流場的流動，外流場對結果的影響可以忽略。

而對于可壓縮流體，由式(5)知，Δp=ρocu，其值與邊界振動速度成正比，比值為聲速與密度的乘積。在這種情況下，由式(1)中第一式知道，流場對結構的作用相當于粘滯阻尼，阻尼系數為定值。

2　數值驗證

為直觀驗證上述理論解的正確性，對球狀可壓縮空氣模型與不可壓縮空氣模型進行了數值模擬。模型邊界球半徑為10 m、遠場半徑為500 m(可參考圖1)，入口速度取u=sin(10t)、出口設為壓力遠場，參考壓力設為0；其余設為光滑壁面；計算時間為1 s、時間步為0.005 s?？蓧嚎s采用理想、無粘空氣模型，聲速c=340 m/s；不可壓縮采用無粘、恒密度空氣模型。

圖2　t=1 s時不可壓縮、可壓縮假設下流場速度理論值與數值解比較Fig.2　The fig of velocity to Radius in in-compressive and compressive flow when t=1 s

圖2(a)和(b)所示分別為t=1 s時不可壓縮/可壓縮假設下流場速度理論解、數值解與半徑關系圖。從圖2(a)可以看出，理論解與數值解符合得很好。從理論解可以看出，不可壓縮假設下，邊界運動瞬間傳遞到整個流場域；而可壓縮情況下，邊界運動需要經過一段時間才能傳遞到遠場。由于在將球類Bessel函數近似于三角函數時，r值越小、誤差越大，因此，圖2(b)A點處，理論值與數值解有較大差異。另外，圖2(b)中，在距離ct≤r處出現了較大的差異，數值解基本為零，而理論解有較小的數值，即圖2矩形框中所示。這是因為在ct≤r區域，流場在邊界振動的影響區域之外，處于靜止狀態，圖中為了顯示簡潔，理論解沒有截斷。

圖3　不可壓縮、可壓縮假設下壓力數值解與理論解比較Fig.2　The fig of pressure to Radius in in-compressive and compressive flow when t=1 s

圖3(a)和(b)所示分別為t=1 s時不可壓縮與可壓縮假設下壓力值的理論解與數值解比較。從圖中可以看出，理論解與數值解符合良好。尤其是對于不可壓縮情況，數值解與理論幾乎完全相同；在可壓縮情況下，數值解與理論解在邊界附近數值幾乎一致，在影響區域最遠端誤差較大。圖3(b)在ct≤r區域結果誤差較大的原因與上同。

圖4　可壓縮下速度-壓力數值解與理論解比較Fig.4　The fig of velocity-pressure in compressive flow

圖4所示為可壓縮下速度與壓力數值解與理論解比較。理論解預測壓力與速度成正比，比值為ρ0c=417，圖中一次曲線擬合曲率為400，符合預期。不過，由于Bessel函數在r較小時，以三角函數近似誤差較大，同時，r離邊界越近、速度越接近邊界運動速度，因此速度-壓力數值解與理論值的誤差也越明顯。

3　結　論

通過對一維結構在空氣中的振動問題進行理論分析，在舍棄低階項的情況下分別求解出空氣不可壓縮與可壓縮情形下的理論解。對比理論結果，得出以下結論：

(1)不可壓縮假設下，結構邊界壓力值由兩部分組成：隨時間加速度改變量與隨空間加速度改變量。隨時間改變量與振動加速度及邊界半徑成正比；而隨空間加速度與振動速度的平方成正比；可壓縮空氣下，邊界壓力值與邊界振動速度成正比、與流場長度無關；

(2)而在可壓縮空氣下，流場對結構作用相當于粘滯阻尼，阻尼系數為ρoc；不可壓縮假設下，流場對結構作用隨時間改變量相當于附加質量；

(3)不可壓縮下，結構振動瞬間傳遞到遠場，流速幅值與半徑的平方成反比；在可壓縮空氣下，振動以空氣聲速向流場另一端傳遞，流速幅值與半徑的一次方成反比。

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Air-spherical shells coupled vibration under compressible air

LIU Ping1,FU Gongyi2

(1.College of Civil Engineering & Architecture,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 202003,China;2.School of Naval Architecture,Ocean & Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

Structures with large span are widely used in recent years,they are sensitive to wind load.How to consider air-space structures coupled vibration is a difficult problem.Here vibrations of three-dimensional spherical structures under incompressible /compressible air were analyzed with the assumption that on their boundary there was a simple harmonic vibration.Combined with a specific physical model,the theoretical solutions to two cases were derived,the theoretical results were discussed.It was shown that with incompressible air assumption,the surface pressures main components of structures are direct proportion to the vibration acceleration and the curvature radius of structures,the action force of air flow field on structures is equivalent to additional mass; for compressible air condition,the surface pressures of structures are direct proportion to vibration velocity and they are not related to the configuration of structures,the action force of air flow field on structures is equivalent to a viscous damping.Finally,numerical simulations were performed to verify the theoretical solutions.

compressible fluid; space structure; fluid-structure interaction

國家自然科學基金(51508238 )

2015-05-28修改稿收到日期：2015-09-06

劉平 男，博士，講師，1983年4月生

TU311

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.027