磁流變彈性體吸振器的拓頻控制設計與simulink模擬優化

李綠洲,丁建寧,田　煜

(1.江蘇大學 微納米科學技術研究中心，江蘇　鎮江　212013；2.清華大學 摩擦學國家重點實驗室，北京　100084)

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磁流變彈性體吸振器的拓頻控制設計與simulink模擬優化

李綠洲1,2,丁建寧1,田煜2

(1.江蘇大學 微納米科學技術研究中心，江蘇鎮江212013；2.清華大學 摩擦學國家重點實驗室，北京100084)

磁流變彈性體因其剪切模量可控、穩定性好且響應速度快，逐漸被應用于動力吸振器，而以定點理論推算的最優阻尼比和調諧比不適用于主系統含阻尼、振子固有頻率變化的吸振系統。根據磁流變彈性剪切模量隨磁場強度變化而變化，子系統振子固有頻率隨之變化的原理，設計優化了雙自由度主系統含阻尼的磁流變彈性體吸振器數學模型，通過磁場強度的改變可實現吸振的目的。基于Matlab simulinkd模塊，為實際應用構造了時域、頻域模型，模擬分析了吸振器的工作原理和拓頻設計，為磁流變彈性體的半主動吸振器的應用提供了設計依據。

磁流變彈性體;半主動動力吸振器;Matlab/simulink;振動控制;頻率跟隨

振動控制是振動工程領域內的重要分支，是振動研究的出發點與歸宿。動力吸振作為一種減振方法，1909年被首次應用到實際工程中[1]。但直到1928年ORMONDROYD等[2]才推導出系統的動力吸振原理，他們首先提出了吸振器優化設計的不動點理論。HAHNKAMM[3]基于無阻尼單自由度系統和附加在其上的無阻尼吸振器推出了最優調諧比設計公式。1946 年，BROCK[4]給出了最優阻尼的關系，至此，動力吸振器發展成一個較為完整的體系。根據定點理論[5-6]可知，吸振器振子質量越大，定點振幅倍率越小，振動控制效果越好。但實際應用時要考慮重量、體積等因素，不可能任由質量無限增大。實際工況中主系統因含有阻尼，會導致定點理論不成立，從而基于不動點理論計算最優同調頻率和最優阻尼比來實現最優減振的方法不再適用。雖然主動和半主動動力吸振器均可通過頻率跟隨的方式實現吸振，但主動動力吸振器響應時間長成本高較難應用于實際工程。半主動式動力吸振器(又稱自適應動力吸振器)既有被動式吸振器結構簡單、性能穩定的優點，又具備主動式吸振器易于控制的特性，而且可在一定頻帶范圍內實現對主系統有效減振。根據外界激振頻率的變化，適時地調整某些參數(如剛度、阻尼)，保持自身固有頻率始終與外界激振頻率一致，從而將外界作用于主系統的振動能量轉移到吸振器上，實現對主系統的減振作用。

磁流變彈性體(MRE)是一種將微米尺度的磁性顆粒添加到高分子聚合物中的復合材料。與普通磁流變液相比，磁流變彈性體具有可控、可逆、響應快、穩定等優點，滿足減振吸振的設計要求，為動力吸振提供了途徑。中國科技大學的龔興龍等對磁流變彈性體吸振器進行了系統的研究和總結[7-10]，國內外其他研究者也開始嘗試將磁流變彈性體結合進吸振器的實際應用中[11-12]。然而關于磁流變彈性體吸振器工作頻率調控的實現方法和仿真研究卻很匱乏。本文在已有振動理論、Voiget式DVA模型和磁流變彈性動態參數基礎上，研究磁流變彈性體動力吸振器的工作原理，圍繞主系統帶阻尼、子系統剛度可調的雙自由度磁流變彈性體吸振器模型，建立數學模型。

磁流變彈性體動力吸振器系統運動學微分方程為

(1)

利用系統運動微分方程和系統傳遞函數方程，結合MATLAB/Simulink模塊設計了一種磁控調頻的半主動控制系統模型。并以此討論該系統的工作原理，用時域模型直觀表征系統的實時工作狀態，用頻域模型解析拓頻方法即在通過施加不同磁場強度來改變彈性體剪切模量，而其固有頻率、彈性體剛度也隨之改變，從而實現頻率跟隨。并討論了磁流變彈性體剪切模量和其他各動態參數性能隨磁場變化的情況，為實現磁流變彈性體吸振器的工業設計和產業化等提供理論基礎。

1　磁流變彈性體動力吸振器模型

1.1雙自由度半主動吸振器模型

磁流變彈性體吸振器模型為主系統含阻尼雙自由度半主動吸振器模型，如圖1。其系統的運動學微分方程如式(1)所示。主系統由m1、k1和c1構成，分別代表主系統的質量、剛度和阻尼，子系統由m2、k2和c2構成，分別代表子系統的質量、剛度和阻尼。其中，子系統由磁流變彈性和振子組成，而子系統的剛度和阻尼則受磁流變彈性體的物理性質決定。磁流變彈性的剛度k2隨磁場強度改變而變化，對于自調諧式吸振器,低阻尼的磁流變彈性體會增強其吸振效果，所以文中模型假定彈性體子系統的阻尼為定值及c2。因此，磁流變彈性體吸振器模型是主系統(m1、k1、c1)受力q=F0sinωt激勵，幅值為F0，子系統剛度(k2)可調的半主動吸振器模型。

圖1　半主動式磁流變調頻動力吸振器模型Fig.1　The system of adaptive dynamic vibration absorber(DVA)

設x1=A1ej(ωt+θ1)、x2=A2ej(ωt+θ2),而系統無量綱傳遞函數即吸振器作用如下主系統的振幅倍頻為：

(2a)

式中:

傳統被動式吸振器系統中，振子剛度k2不可調，且質量比μ和主系統阻尼比ζ1均是定值，諧振峰的幅值和固有頻率比以及激勵頻率與主系統固有頻率比無關，僅能依靠固定點理論設定子系統的最優阻尼比來實現最優減振。但是主系統存在阻尼時，固定點理論就不適用了，且外界激勵力頻率可能發生變化，因此傳統吸振器在很多實際情況中無法實現有效吸振。半主動控制吸振器(自適應動力吸振器)在振動控制中，實時監測外界激勵頻率，根據外界激勵頻率的變化，調整自身參數以使振子固有頻率與外界激振頻率保持一致，從而在有效頻率范圍內對主系統減振。吸振器自身固有頻率可以通過調節振子質量和剛度決定，由式(2b)可以看出改變振子質量會致使多個參數同時變化，并不利于觀測系統模擬過程和實際應用中各模塊的獨立。因此半主動控制吸振器多采用調節控制振子剛度來實現變頻，而具備可控性、可逆性、響應快且穩定多項優點的磁流變彈性體材料逐漸成為吸振器振子組成的優良選擇。

1.2磁流變彈性體模塊

(3)

式中:G為磁流變彈性體的剪切模量，A為剪切面積，h為磁流變彈性體厚度。磁流變彈性體的剪切模量由兩部分組成如式(4)，G0為無磁場時彈性體自身的初始剪切模量，Gd則為施加磁場后剪切模量的增量。以雙極模型為基礎，磁流變彈性體的磁致剪切模量增量如式(4)[13]。

G=G0+Gd

(4)

(5)

(6)

結合式(2)和式(3)可知振子固有頻率增量隨磁致剪切模量增量變化規律如式(7-1)，然而當初始剪切模量遠大于磁致剪切模量增量即Gd?G0時，變化規律則為式(7b)[7]。

(7a)

(7b)

圖2　磁流變彈性體動力吸振器時域模型Fig.2　The time-domain model of MRE dynamic vibration absorber

2　彈性體吸振器Simulink仿真

表1　仿真系統計算參數

(a)　整體模型

(b)　一般情況下ω2的計算模塊　　　　　　　　(c)　Gd?G0時ω2的計算模塊圖3　磁流變彈性體動力吸振器頻域模型Fig.3　The frequency-domain model of MRE dynamic vibration absorber

由于磁流變彈性體吸振器振子的剛度可受施加磁場強度控制，根據式(6)與和表1的參數可知磁飽和狀態下的最高磁致剪切模量增量。結合式(5)可知等效飽和磁場強度為700 mT，磁場強度調節范圍為0～700 mT。根據已知參數可知彈性體最大磁致剪切模量增量Gd(max)為0.72，由式(3)求得對應振子剛度最大值k2(max)約為0.82，最小值k2min為0.10，因此范圍則約為0.10～0.82。再由式(7)可知吸振器的工作頻率范圍為1.00～1.38 rad/s，當激振頻率ω在其范圍內，吸振器能達到減振效果。圖4(a)為激勵頻率ω為1 rad/s時，無吸振器單自由度系統和有磁流變彈性體吸振器系統的主系統位移隨激勵時間變化曲線，含吸振器系統通過將外磁場強度降為0 mT使振子固有頻率與激勵頻率一致以達到減振效果。圖4(b)為激勵頻率ω為1.38 rad/s時，無吸振器單自由度系統和有磁流變彈性體吸振器系統的主系統位移隨激勵時間變化曲線，外磁場強度為700 mT。

圖4　主系統位移曲線Fig.4　Displace curve of the main system

圖5為不同磁場強度下系統的幅頻響應曲線，可以看出幅值響應點隨磁場強度增大而向右便宜，由于振子剛度隨磁場強度變化為非線性關系，因此向右偏移速度也為非線性。激勵頻率為1.00 rad/s時，振動響應幅值降低了33 dB，穩定后的振動位移幅值降低了近85.2%；激勵頻率為1.38 rad/s時，振動響應幅值降低了54 dB，穩定后的振動位移幅值降低了近96.6%。

圖5　不同磁場強度的幅頻響應曲線Fig.5　Amplitude frequency response curve under magnetic field intensity of 0～638.4 mT

根據圖5所示曲線可以看出，若激勵頻率在磁場強度控制可調的范圍內，磁流變彈性體動力吸振器均可有效實現減振效果。聯立減振頻帶范圍內的幅頻曲線，即可得到圖6，如圖6所示，激勵頻率約在1.00～1.38 rad/s范圍內可通過對應調節約在0～700 mT范圍內的磁場強度以改變振子固有頻率達到跟蹤激勵頻率效果，從而實現磁流變彈性體動力吸振器的半主動控制(自適應)。該Simulink仿真整體模型的設計為磁流變彈性體動力吸振器生產提供參考。

圖6　擬合后的幅頻響應曲線Fig.6　Amplitude frequency response curve fitting

3　結　論

本文在已有的振動理論、Voiget式DVA模型和磁流變彈性動態參數性能基礎上，圍繞主系統帶阻尼子系統剛度可調的雙自由度磁流變彈性體吸振器模型，建立了數學模型。利用系統運動微分方程和系統傳遞函數方程，結合MATLAB/Simulink模塊設計了一種磁控調頻的半主動控制系統模型。并以此討論該系統的工作原理，用時域模型直觀表征系統的實時工作狀態，用頻域模型解析拓頻方法即在通過施加不同磁場強度來改變彈性體剪切模量，而其固有頻率、彈性體剛度也隨之改變，從而實現頻率跟隨。就特定參數情況下，設計了通過直接調節磁場強度大小達減振效果的軟件模型，并具體討論了工作原理，進行了參數分析。本工作從模擬的角度預測和驗證磁流變彈性體用于吸振器的可行性和實際工作狀況，為產品實際生產和維護提供了軟件工具，為實現磁流變彈性體動力吸振器的工業設計和產業化等提供理論基礎。

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Frequency-widening control design and optimization with Simulink simulation for MRE vibration absorbers

LI Lüzhou1,2,DING Jianning1,TIAN Yu2

(1.Micro /Nano Science and Technology Center,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China;2.The State Key Laboratory of Tribology,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Due to their controllable shear modulus,good stability and fast response speed,magnetorheological elastomers (MREs)are gradually applied in dynamic vibration absorbers.Shear modulus of MRE changes with variation of magnetic field intensity,and the natural frequency of the corresponding vibration subsystem changes with shear modulus of MRE.But the optimal damping radtio and the optimal frequency-tuning ratio based on the fix-point theory are not suitable to the vibration-absorbing system whose main system contains a damping and whose subsystem has a variable natural frequency.Here,the mathmatical model of a 2-DOF MRE vibration absorber containing a damping was designed and optimized.This MRE vibration absorber could work by changing magnetic field intensity.The time-domain model and the frequency-domain model for the actual application of a MRE vibration absorber were sonstructed based on Matlab Simulink.The working principle and the frequency-widening control design design of a MRE vibration absorber were analyzed with Simulink simulation.design basis for the application of MREs in semi-active vibration absorbers.

magnetorheological elastomer (MRE); adaptive vibration absorber; Matlab/simulink; vibration control; frequency follow

國家自然科學基金(51175281)

2015-06-11修改稿收到日期：2015-08-06

李綠洲 男，碩士生，1991年8月生

丁建寧 男，博士，教授，1966年3月生

TB123；TH123+.1

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.029