拋物面鏡球面波反射聲場特性的理論研究

張　軍，陳　鵬，陳正武，趙　云，曾新吾

(1.中國空氣動力研究與發展中心 氣動噪聲控制重點實驗室，四川 綿陽　621000；2.國防科學技術大學 光電科學與工程學院，長沙　410073)

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拋物面鏡球面波反射聲場特性的理論研究

張軍1，陳鵬1，陳正武1，趙云2，曾新吾2

(1.中國空氣動力研究與發展中心 氣動噪聲控制重點實驗室，四川 綿陽621000；2.國防科學技術大學 光電科學與工程學院，長沙410073)

根據Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論，獨立推導了沿拋物面鏡軸線的球面波反射聲場的時域理論解。基于理論解預測近場反射波中存在三種子波，即“中心波”、“邊緣波”和“尾波”，中心波的相位與邊緣波和尾波相反。遠場反射波與聲源波形的導數形式相同，聲壓幅值和傳播距離成反比而與聲波頻率成正比。以典型的正弦波為例給出了反射聲場的演化形成過程，并通過COMSOL軟件進行數值模擬驗證了三種子波的存在及理論解的正確性。最后研究了球面波反射聲場的特性，如果拋物面鏡的口徑固定，則存在一個最優的深焦比參數d/zF=3.92使得遠場的反射波聲功率密度最大。

拋物面鏡；球面聲波；反射聲場

拋物面鏡具有特殊的幾何性質，平行射線經拋物面反射后將會聚焦或者從焦點發出的射線經拋物面反射后將成為平行射線。因此，拋物面鏡多被用作信號的接收器或發射器，例如在工程上常使用拋物面天線來接收電磁波信號以提高信噪比，或者將拋物面鏡作為高能激光的中繼鏡以提高機載激光器的傳輸距離[1]。在聲學領域，拋物面鏡本質上屬于一種曲面聲障板，常規換能器使用聲障板可以提高聲波的發射效率。與相控陣技術相比，聲障板的方法易于實現且成本更低。張軍等[2]研究了電弧放電式等離子體聲源(Plasma Sound Source)的聚焦原理，指出橢球面鏡雖可以將球面波由近焦點聚焦到遠焦區域，但是在過遠焦點之后聲能量的衰減非常迅速。所以橢球面鏡聚焦系統適合用于治療人體結石等對傳輸距離要求不高的場合，而要在較遠的距離上提高聲學換能器的發射效率則需要使用拋物面鏡。

王鴻樟[3]使用拋物面鏡作為聲反射障板提高了聚焦換能器的發射效率，他利用頻域Kirchhoff公式推導了一個發射聲壓的表達式。WAHLSTROM[4]使用一個傳聲器和拋物面鏡，從遠處成功接收到了生物類聲源的聲信號。他在平面波入射條件下建立了拋物面鏡的線性聲波反射模型，推導了反射聲場的頻域解析解，并據此研究了反射聲場的特性。DAI等[5]使用拋物面鏡作為接收器提高了S1型-零群速度(S1ZGV)蘭姆波的信噪比，S1ZGV蘭姆波在薄板中很容易被激發，因此其常被用于超聲無損檢測。后來TSAI等[6-7]推導了平面波及軸對稱非平面波入射條件下拋物面鏡反射聲場的時域理論解，討論了拋物面鏡幾何參數及入射波頻率參數變化對反射聲場的影響。王鴻樟和Wahlstrom得到的都是頻域結果，而Tsai等人得到的是時域結果。與頻域結果相比，時域結果具有以下優點：一是可以更清楚的揭示聲場形成過程；二是受聲波的頻帶范圍限制小。本文根據Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論，獨立推導了拋物面鏡球面波反射聲場的時域理論解，建立了將拋物面鏡作為聲發射器的時域理論方法，從而完善了王鴻樟等的理論研究。

本文的內容分為四個部分：第一節建立了拋物面鏡球面波反射的理論模型，并給出了反射聲場沿拋物面鏡軸線的解析解和遠場解；第二節以正弦波為例給出了沿拋物面鏡軸線的反射聲場的形成過程；第三節利用多物理場有限元軟件COMSOL進行了數值模擬，驗證了理論結果的正確性；第四節研究了拋物面鏡反射聲場的特性，討論了開角和深焦比等參數對反射聲場的影響。

1　理論

從拋物面鏡焦點發出的球面波在傳播過程中將分成兩個部分，一部分仍按球面波形式擴散，另一部分入射到壁面后發生反射。根據惠更斯原理，反射波可以視為新的次級波源，次級波相干疊加便形成了反射聲場。因此空間中的聲場包含直達波和反射波。本文主要研究球面波的反射聲場。如圖1所示，從焦點發出的射線經拋物面鏡反射后將成為平行于其軸線的射線。

圖1　拋物面鏡球面波反射的幾何示意圖Fig.1　The reflection of a spherical wave from a parabolic mirror

在直角坐標系下，旋轉拋物面的方程可以表示為，

(1)

式中：(x,y,z)中的下標s代表“Surface”，表示位于拋物面鏡上的點。R’代表x坐標或y坐標，zF表示拋物面鏡頂點到焦點之間的距離，即焦距；d表示拋物面鏡頂點到開口的距離，即深度；S為拋物面鏡上的一點，r1s=zs+zF為焦點到S之間的距離；r2s=d-zs為S到拋物面鏡開口之間的固定距離；r2為拋物面鏡開口到 r2s上任意一點之間的變化的距離。R為點S與拋物面鏡軸線上一點P之間的距離，n表示點S處垂直于拋物面鏡表面的內法線方向單位向量。

假設傳播介質無耗散、各向均勻，Gold’berg數(即非線性系數與耗散系數之比)小于1，則聲波的傳播由線性波動方程控制。

(2)

式中，c0表示介質中的聲速。

根據封閉空間中的能流守恒原理，若已知封閉面上的聲場的分布則可得到封閉面內任意一點處的聲場[8]。忽略封閉面上二次以上的聲反射，由式(2)可以得到非單色波的Kirchhoff-Helmholtz時域一般解。

(3)

Kirchhoff-Helmholtz公式是基于衍射理論的一般解，對具有波動特性的波(如光波、聲波)的傳播都適用。為了便于書寫，式(3)省略了物理量的時間變量和空間變量。其中，p表示目標點處的反射聲壓，pg表示通過射線聲學得到的封閉面上的聲壓。?/?n表示沿拋物面內法線方向的方向導數，S表示由拋物面鏡和從拋物面鏡出口到無窮遠處的假想曲面組成的封閉面。“[·]”是一種記號，表示其中的物理量經歷了R/c0的時間延遲。根據Somerfield輻射條件[9]，可以忽略從無窮遠處來的聲場的貢獻，式(3)的積分只在拋物面上進行。

2.1邊界條件

假設聲波的波長與拋物面鏡的曲率半徑相比很小(ka?1，k表示波數，a表示曲率半徑)，則射線聲學的理論可用于聲場計算。球面波聲壓與傳播距離r之間有如下關系

(4)

(5)

(6)

在鏡面上一點S處，可以得到如下的邊界條件，

(7)

(8)

式中：ρ=0表示拋物面鏡開口圓的中心點，ρ=1表示邊緣點。可以發現，固定焦距，隨著拋物面鏡深度d增加反射波的壓力幅值減小。因為深度d增加將使得從焦點zF處發出的球面波到達相同鏡面點所經歷的傳播距離延長，而球面波的聲壓幅值與傳播距離成反比。

2.2沿拋物面鏡軸線球面波反射聲場的理論解

邊界條件式(7)包含了任意形式的源函數f(t)，f(t)在積分過程中難以處理。根據線性系統理論，系統的輸出可以通過輸入函數與系統的沖擊響應函數相卷積得到。可以利用沖擊函數δ(t)代替f(t)先求解系統的沖擊響應函數h(t)，然后通過h(t)與f(t)相卷積便可以得到反射聲場的解。邊界條件(7)相應改寫為，

(9)

結合拋物面鏡方程式(1)，經過繁雜的數學推導得到了沖擊響應函數。

(10)

式(10)右端各項的表達式如下

(11)

進一步通過卷積便可以得到沿拋物面鏡軸線任意位置處的反射聲場的解。

(12)

式(12)右端包含三項，分別對應從拋物面鏡頂點、出口邊緣和其余表面發出的反射波。根據Blackstocks[10]及Hamilton[7]，本文將其稱為“中心波”、“邊緣波”和“尾波”。從聲波的相位來看，邊緣波和尾波的相位與中心波是相反的。

2.3遠場解

隨著觀察點遠離拋物面鏡，中心反射波和邊緣反射波的到達時間差縮短，于是尾波項的積分時間趨近于0，尾波趨近于δ脈沖。在遠場(z/zF?1)，式(12)退化為更加簡單的形式，

(13)

根據式(13)，遠場反射波將退化為聲源波形的導數形式，例如從拋物面鏡焦點處發出的正弦波在遠場將退化為余弦波。當拋物面鏡深度遠小于焦距時，上式與圓形平面活塞聲源的遠場解形式上一致[11]。不難發現，拋物面鏡遠場反射聲壓主要受幾何參數(d/zF)及聲源波形參數(df/dt)控制。定義遠場反射波的聲壓幅值與p0之比為拋物面鏡的遠場增益，當焦距固定而深度變化時有如下關系

(14)

當拋物面鏡的口徑固定而深焦比變化時，

(15)

對于簡諧變化的聲波，df(t)/dt～jω，則有

(16)

式中:λ=2πc0/ω為聲波的波長，ω為聲波的角頻率。可以發現，遠場增益G3與聲波的波長λ成反比，但由于實際介質中存在黏性和熱傳導耗散，高頻聲波更容易被吸收。

2　反射聲場的形成過程

下面以正弦波為例研究反射聲場的形成過程。取拋物面鏡的焦距zF=0.05 m，深度d=0.2 m；拋物面鏡的口徑ra=0.2 m。將球面波聲源置于拋物面鏡的焦點處。距離焦點r=zF處的球面波壓力幅值為P0，單個周期正弦波脈沖的持續時間T0=0.1 ms；傳播介質為空氣，密度ρ0=1.25 kg/m3，聲速c0=340 m/s。計算結果如圖2所示。

圖2(a)為輸入的正弦波，圖2(b)～2(f)為沿拋物面鏡軸線的反射波計算結果。根據反射波形特點，可以將反射聲場分為近場和遠場兩個區域：當反射波形與初始波形的導數形式相同時表明觀察點到達遠場區。當拋物面鏡的深焦比d/zF較小時，近場和遠場的臨界距離為平面活塞聲源的瑞利距離(lR=πa2/λ)[11]。

圖2　拋物面鏡軸線上球面波反射聲場的形成過程Fig.2　The evolution ofan on-axis sinusoidal waveform

在近場區，反射波形包含中心波“C”、邊緣波“E”和尾波“W”等復雜的波形結構(見圖2(b)～2(c))。在到達觀察點的時間順序上，邊緣波滯后于中心波，“尾波”夾在中心波和邊緣波之間。根據幾何關系，當深焦比d/zF較大時，邊緣波的傳播距離大于中心波的傳播距離，因此其達到時間也越晚。隨著距離增加，中心波和邊緣波到達觀察點的時間差將縮短。在幅值關系上，中心波比邊緣波大，兩者之間的關系受拋物面鏡的深焦比參數控制。深焦比越大，邊緣波的幅值越小。

在遠場區，中心波、邊緣波和尾波將疊加在一起，反射波演化成聲源波形的導數形式。根據式(13)，遠場反射波的聲壓幅值與傳播距離成反比。反射波的聲壓幅值隨距離增加下降較快。這在反射聲束上體現了一種“近場集中，遠場發散”的特性。顯然，這是由聲波的衍射效應引起的，頻率越低聲衍射效應越明顯。這種性質在具有波動性的光波和電磁波中也存在，例如手電筒發出的準直光束到了較遠距離處就逐漸發散了。盡管如此，在100倍焦距處，本算例的反射波聚焦增益超過了20 dB。

3　數值模擬驗證

王鴻樟等人的研究結果無法與本文的研究結果直接進行對比，本節使用多物理場有限元軟件COMSOL對拋物面鏡的聲波反射過程進行了模擬，希望通過模擬結果對推導結果進行數值驗證。

COMSOL軟件包含了聲學、流體力學、結構力學等多個求解模塊，該軟件的優點是可以有效求解多個物理場的耦合問題。COMSOL的求解包括物理場選擇、幾何建模、網格劃分、求解器配置和結果后處理等幾個步驟。COMSOL軟件已由最初的3.X版本發展到了目前的5.X版本，本文使用的是5.0版本。首先選擇瞬態壓力聲學模型，并建立起簡化的二維軸對稱幾何模型，如圖3所示。

圖3　COMSOL軟件中建立的幾何模型和聲源輸入Fig.3　The geometric model of a parabolic mirror in COMSOL

幾何模型由參數化曲線(y2=4zFx)和貝氏曲線轉化成的實體區域組成。區域內的材料為空氣，材料參數使用軟件內置參數，區域的邊界采用剛性邊界條件，區域的總體尺寸如圖3所示。網格劃分采用自由三角形網格，最大網格尺寸hmax為聲波波長的1/6。最大網格尺寸和時間步長之間滿足CFL穩定性條件，即tstep=CFL*hmax/Cair，CFL=0.05。聲源設置在拋物面鏡的焦點上，聲源波形為單個周期的正弦波f=Asin(f0*t)*(t

圖4給出了單個周期的正弦波在四個不同時刻的二維傳播云圖。

圖4　不同傳播時刻正弦波的二維云圖Fig.4　Snapshots of a sinusoidal wave at different times

圖4(a)，在t1=0.15 ms時刻從焦點發出的球面波的波陣面正好達到拋物面鏡的頂點。圖4(b)，t2=0.45 ms時刻聲場分成了三個部分：以球面波形式向前傳播的直達波“D”，反射中心波“C”，以及鏡面附近的反射尾波“W”。中心波的聲壓幅值高于直達波和尾波。可以發現，球面波經拋物面鏡反射后變成了準直平面波。圖4(c)，在t3=0.9 ms時刻反射中心波之后出現了邊緣波E。邊緣波起源于拋物面鏡的開口邊緣，在直達波到達鏡面邊緣的時刻產生，并以邊緣點為中心按球面波的形式擴散。在向拋物面鏡軸線方向的傳播匯聚過程中，邊緣波的相位和中心波相反。尾波的幅值較小，云圖中難以看出尾波的存在。圖4(d)，在t4=1.05 ms時刻可以清楚的看出中心波和邊緣波的傳播情況。根據模擬結果，理論預測的近場三種子波確實是存在的。

假設單個周期正弦波的持續時間T=0.1 ms，即聲波的中心頻率f0=10 kHz。按照文獻[6]中的計算方法得到ka=19，表明聲波在鏡面附近的反射可以使用射線理論求解。沿拋物面鏡軸線z/zF=5，10，50，100將理論解和軟件的模擬結果進行對比，如圖5所示。

圖5　COMSOL軟件模擬結果與理論解的對比Fig.5　Results of the present solution and COMSOL simulation

圖5中藍色實線代表理論解，紅色虛線代表使用COMSOL軟件得到的模擬結果。可以發現，理論解的中心波和COMSOL的模擬結果之間符合得很好，而理論解的邊緣波幅值比模擬結果略小。兩者之間的差異可能是由網格剖分在拋物面鏡邊緣處不細致引起的。對有限元軟件而言，網格剖分的好壞將直接影響計算結果。對于遠場反射波，理論解和COMSOL模擬結果之間符合得非常好。從而通過數值模擬方法使第二節的理論解的正確性得到了驗證。

4　拋物面鏡球面波反射聲場的特性

反射鏡的形狀主要由深焦比d/zF或開角θ等參數控制。θ是由焦點與拋物面鏡出口邊緣的連線與軸線之間組成的夾角，

(16)

當θ=90°時，拋物面鏡的焦點正好位于出口面上。如果焦距固定而深焦比增加，則拋物面鏡的口徑和開角也增加；如果口徑固定，則隨深度變小開角也變小。

分別將拋物面鏡的焦距和口徑固定，遠場增益隨深焦比的變化如圖6所示。固定拋物面鏡焦距，遠場增益將隨深度的增加而緩慢增加，這是因為深度增加將使得更多的聲線受到拋物面鏡的反射。固定拋物面鏡口徑，則存在一個最優的深焦比參數d/zF=3.92使得遠場增益達到最大值。Wahlstrom在平面波入射條件下也得到了一個相同的深焦比參數，使得拋物面鏡焦點處的反射聲壓達到最大值[3]。不難理解，這正是線性條件下聲波的傳播滿足互易原理的體現。

圖6　遠場增益與深焦比的關系Fig.6　The relationship between depth-to-focal-length ratio and far field gain

取焦距zF=0.05 m，單個周期正弦波的持續時間分別為T1=0.1 ms和T2=0.02 ms，拋物面鏡的開角θ分別為60°，90°，120°和150°。根據式(12)和(17)，得到反射波的聲功率密度的變化，如圖7所示。

圖7　不同開角，拋物面鏡軸線上聲功率密度的變化Fig.7　The relationship between on-axis sound power density and axial propagation distance with different rim angles

由圖7可見，反射波的聲功率密度隨傳播距離呈現先增加而后減小的趨勢，這是因為反射波形的演化使得拋物面鏡的軸線上存在這樣一個特殊的觀察點：在該點之前，中心波和邊緣波是分離的(見圖2(b)、2(c))；在該點處，中心波的負壓部分和邊緣波的負壓部分恰好完全重疊而使得聲信號的負壓幅值達到極大；在該點之后，中心波的正壓部分與邊緣波的負壓部分或中心波的負壓部分與邊緣波的正壓部分重合使得有效聲壓的幅值減小。滿足遠場條件后，反射波演化為聲源波形的導數形式，聲壓幅值與傳播距離成反比。

從圖7中可以看出，隨著拋物面鏡開角增大，遠場反射波的聲功率密度也越大。因為開角增加，拋物面鏡的深焦比d/zF也增加，這就相當于使拋物面鏡的焦點向底部移動，使得更多的聲線受到鏡面的反射并使得遠場的反射波聲功率密度增加。拋物面鏡開角增大，近場反射波的聲功率密度反而減小。其原因在于：當開角較小(θ<90°)時，拋物面鏡較“淺”，焦點位于開口面之外。此時從焦點發出的球面波到達拋物面鏡頂點和邊緣點的聲程差很小，反射中心波與邊緣波的幅值接近，并且兩者在達到觀察點的時間上較為一致，于是中心波的負壓部分與邊緣波的負壓部分相互疊加形成了與聲源波形導數形式相同的波形。如前文所述，這種反射波形對應的聲功率是最大的。如果開角增大，焦點向拋物面鏡的底部移動，從焦點發出的球面波到達邊緣點的聲程將比到達頂點的聲程大，從而使得邊緣波的幅值比中心波的小，并且在到達觀察點的時間上邊緣波滯后于中心波，于是反射波對應的聲功率也逐漸減小。當觀察點位于遠場時，反射波的傳播距離很遠，由拋物面鏡開角變化引起的聲程差可以忽略不計，反射波的波形及聲功率的大小遵循式(13)的規律。

在固定的觀察點處，本文進一步研究了反射波聲功率隨拋物面鏡深焦比的變化，如圖8所示。

圖8　拋物面鏡反射聲場的最優深焦比參數Fig.8　Optimum depth-to-focal-length ratios for the reflection sound of a parabolic mirror

分析結果發現，在拋物面鏡軸線上存在一個最優的深焦比參數值使得該處反射波的聲功率最大(圖8(a))。深焦比參數超過該值，反射波的聲功率將出現一定程度的下降。例如，當聲波頻率f0=100 kHz，拋物面鏡焦距zF=0.05 m時，在z/zF=100處最優深焦比參數d/zF=1.4；在z/zF=200處時，最優深焦比參數d/zF=2.6。上述最優深焦比參數對于拋物面鏡的設計具有實際意義，它可以避免在設定傳播距離上將拋物面鏡設計得過大。隨之我們計算了不同觀察點處的最優深焦比參數(圖8(b))，發現最優深焦比參數與傳播距離之間呈線性關系。并且隨著聲信號頻率的升高，最優深焦比參數曲線的斜率減小。這說明對于高頻聲波不需要將拋物面鏡設計得過大；而對于低頻聲波，想要提高換能器的發射效率則需要將拋物面鏡設計得很大。

5　結　論

工程上使用拋物面鏡可提高換能器的發射效率。假設聲波波長與拋物面鏡的曲率半徑相比很小，傳播介質無耗散、各向均勻，首先根據Kirchhoff-Helmholtz聲衍射理論獨立推導了沿拋物面鏡軸線球面波反射聲場的時域理論解，預測近場反射波包含 “中心波”、“邊緣波”和“尾波”，中心波的相位與邊緣波和尾波相反。遠場反射波的波形與聲源波形的導數形式相同，聲壓幅值與傳播距離成反比而與聲波的頻率成正比。理論解的正確性得到了COMSOL軟件數值模擬的驗證。其次，以單個周期的正弦波為例分析了反射聲場的形成過程。最后，基于推導的理論結果研究了球面波反射聲場的特性，討論了拋物面鏡開角和深焦比參數對反射聲場的影響。開角越大，遠場反射波的聲功率越大而近場反射波的聲功率越小。固定拋物面鏡的口徑，則存在一個最優的深焦比參數d/zF=3.92使得遠場反射波聲功率最大。固定拋物面鏡的焦距，在特定傳播距離上也存在一個最優的深焦比參數值。該值與傳播距離之間成線性關系，并且隨聲波頻率的變化而改變。

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Reflection sound field’s characteristics for spherical sound wave from a parabolic mirror

ZHANG Jun1,CHEN Peng1,CHEN Zhengwu1,ZHAO Yun2,ZENG Xinwu2

(1.Key Laboratory of Aerodynamic Noise Control,China Aerodynamics Research and Development Center,Mianyang 621000,China；2.College of Opto-electronic Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Based on Kirchhoff-Helmholtz sound diffraction theory,a transient axial solution to reflection sound field of spherical acoustic wave from a parabolic mirror was derived.It was assumed that the spherical ware’s wavelength be small compared to the dimensions of the mirror and the geometric acoustic theory could be applied.The theoretical solution indicated that the near field reflection wave consists of three parts,i.e.,center wave,edge wave and wake wave; the phase of the center wave is opposite to those of the edge wave and wake one; the wave form of the far field reflection wave is consistent with that of the derivative of the sound source wave,and its sound pressure amplitude is inversely proportion to propagation distance and direct proportion to frequency.Taking a sinusoidal wave as an example,evolution and formation processes of its reflection sound field were presented.The existence of three wavelets and the correctness of the theoretical solution were verified with simulations using the software COMSOL.Lastly,the characteristics of the reflection sound field were studied,and the effects of geometric parameters of the mirror on the characteristics were discussed.It was shown that if the aperture of the mirror is fixed,an optimal depth-to-focal-length ratio d/zF=3.92 exists to maximize the sound power density of the far field reflection wave.

parabolic mirror; spherical sound wave; reflection sound field

國家自然科學基金(11504417；11172007)

2015-02-11修改稿收到日期：2015-08-06

張軍 男，博士，助理研究員，1983年11月生

曾新吾 男，教授，博士生導師，1963年4月生

TB54

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.022