考慮熱振特性的連續體結構拓撲優化設計

劉遠東,莫　軍,尹益輝,徐　兵

(中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽　621900)

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考慮熱振特性的連續體結構拓撲優化設計

劉遠東,莫軍,尹益輝,徐兵

(中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽621900)

為實現傳熱和振動條件下連續體結構的拓撲優化設計，以結構散熱弱度最小化和動態特征值最大化加權函數為目標，建立傳熱和振動條件下連續體結構的多目標拓撲優化模型，實現了相應的算法和算例。方法中采用Rational Approximation of Material Properties(RAMP)方法對密度進行懲罰，利用優化準則法控制設計目標與材料分布，以敏度過濾技術抑制棋盤格效應，通過歸一化目標函數有效地避免了不同性質目標函數的量級差異。通過算例，獲得了熱-振權重系數對結構拓撲構型和目標函數(宏觀結構的散熱弱度和基頻)的影響規律，算例結果表明了該方法的有效性。

連續體結構；熱-振多目標；拓撲優化；優化準則法

拓撲優化研究大多集中在單一物理場條件下的設計問題，如力場下的結構設計、溫度場下的散熱設計等。這些單一場下的結構優化研究對工程實際結構設計具有一定的指導意義[1-6]。然而，隨著研究的深入和優化設計應用工程的要求，有必要開展更符合結構實際工作情況的多場條件下的優化設計研究。實際工程中，工作條件一般為力場、溫度場、電磁場、流場等多場耦合。其中高溫-振動復合問題就是一種典型的多場耦合問題，例如航空發動機、核電站、高速飛行器等。這類結構通常工作在高溫-振動環境下，因此熱應力和振動成為影響結構剛度、應力、頻率和壽命的重要因素，有必要開展熱-振作用下結構拓撲優化設計研究。熱-振作用下結構的拓撲優化設計一般為：一方面需要熱控制，具有足夠的散熱性或隔熱性，以便使結構獲得合適的溫度；另一方面又需要振動控制，使結構遠離工作頻率，以避免共振現象。

目前，對于熱激勵結構拓撲優化設計，由于熱載荷屬于隱含力，依賴于材料的分布，導致熱彈性耦合結構的拓撲優化求解存在很大困難，相關的研究工作很少。LI等[7]基于ESO方法，以有限元離散厚度為設計變量、材料用量為約束，開展了均勻穩態溫度場下熱、力耦合拓撲優化問題的研究。CHO等[8]則基于靈敏度分析方法研究了穩態溫度場下熱彈性弱耦合問題的結構拓撲優化設計。然而，上述文獻中熱力耦合拓撲優化結果存在嚴重的中間密度分布。左孔天等[9]以解耦的形式，建立了散熱弱度最小和柔順度最小的優化模型，開展了熱力多目標拓撲優化設計研究。在以上工作基礎上，張衛紅等[10]討論了基于最小柔順度和彈性應變能為目標函數的兩種熱彈性拓撲優化設計方法，并給出了熱、彈性載荷對優化結果的影響。ZHANG等[11-12]關于熱振拓撲優化的工作是建立在均勻變化溫度場下的，即在力場范圍內通過線脹系數和溫度差來表征熱載荷，在某種程度上可以退化為振動拓撲優化，因此有必要開展考慮傳熱目標函數的更一般形式熱-振拓撲優化研究。

本文針對輕質/隔熱/減振結構的多目標拓撲優化問題，提出以散熱弱度和動態特征值加權為綜合目標的優化模型。針對不同性質的結構響應量在數量級上的差異，歸一化處理各單一目標函數；采用優化準則法和敏度過濾技術控制設計目標和材料分布。比較不同熱-振權系數下的多目標優化結果，揭示了不同權系數對目標函數的影響規律。結果表明同時考慮傳熱特性和振動特性的連續體結構多目標拓撲優化更有利于提高結構的綜合性能。由于目標函數對密度靈敏度是建立在單元熱能、應變能和動能的基礎上，可以有效的移植到商業軟件的二次程序開發中，有利于開展工程計算。同時算例結果表明該方法對于凸問題是有效性。

1　熱-振多目標優化設計模型

1.1歸一化多目標函數

對結構設計區域進行有限單元離散后，采用常見的RAMP方法，有限單元材料的熱傳導系數H、彈性模量E和質量M的插值計算式為：

(1)

(2)

(3)

式中:H0、E0和M0分別為實體材料的熱傳導系數、彈性模量和質量，xi∈[0,1]為單元材料的偽密度值，α為懲罰因子，對介于0和1之間的偽密度值進行懲罰，見文獻[13]，本文后面取α=3。對結構設計區域進行有限單元離散后，采用敏度過濾技術[13]抑制有限元計算中的棋盤格現象。

Findxi(i=1,2,…,n)

(k=1,2,…,ndy)

(4)

ConstraintⅠ:P=HT

ConstraintⅡ:(K-λkM)φk=0

ConstraintⅣ:0

i=1,2,…,n

式中，βr是權重系數，φ表示結構的散熱弱度，λk是結構第k階圓頻率的平方(特征方程的特征值)。約束Ⅰ是穩態熱傳導有限元平衡方程，P為熱載荷列陣，H為熱傳導矩陣，T為節點溫度列陣；約束Ⅱ是自由振動控制方程，φk是結構的第k階特征向量，與λk形成特征對，M為結構的質量矩陣；約束Ⅲ給出了實體材料用量上限，vi為單元i的體積，V為給定的實體材料用量。約束Ⅳ是密度變量的上下限約束，xmin為趨于0的正數(取10-3)，以避免計算中出現剛度矩陣奇異,xmax是有限單元的最大密度值。式(4)同時考慮了結構的傳熱特性和振動特性，該拓撲優化設計方法有利于連續體結構有效性能的提高。

1.2靈敏度分析

熱振作用下連續體拓撲優化設計的目標函數是一個綜合考慮傳熱和振動特性聯合優化的問題。在目標函數歸一化后，對傳熱問題和振動問題的靈敏度求解分別如下：

對于熱傳導問題，結構總熱能表示為

(5)

式中，Tene是熱能，ti和hi分別表示與第i個單元對應的溫度和單元熱傳導矩陣。

由式(5)求得散熱弱度φ對偽密度xi的靈敏度為

(6)

式中:φ為結構的散熱弱度。

對于動力問題，結構系統自然圓頻率與相應模態向量的關系為

(7)

將質量矩陣正則化，可得圓頻率對偽密度xi的靈敏度為

(8)

式中:Tenei、Dsenei和Dkenei分別表示單元i的熱能、應變能和動能。由于目標函數(散熱弱度+頻率)對密度的靈敏度均建立在單元熱能、應變能和動能的基礎上，可以方便的移植到商業軟件的二次程序開發中，因此式(4)的優化模型計算效率高，更適于求解工程優化問題。

1.3設計變量的迭代格式

基于變分原理的泛函形式，引入Lagrange乘子構造的Lagrange函數，將有約束的問題轉化為無約束的極值問題，求解目標函數滿足一系列約束條件的駐值問題，基于Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件，結合文獻[15]，可得如下變量更新迭代格式：

(9)

式中：xi為設計變量，ξ為阻尼系數，文中取0.5，m為移動極限，可以在0與1之間變化，本文取0.3，λj為約束的拉氏算子，且有

(10)

2　優化步驟和方法

對熱-振作用下連續體結構進行拓撲優化設計的流程圖見圖1，基本步驟如下：

1)初始化，宏觀結構的傳熱學、動力學分析：劃分有限單元網格、計算散熱弱度和基頻；

2)按式(6)和式(8)進行連續體結構熱-振多目標優化的靈敏度分析；

3)按式(9)進行設計變量迭代，采用敏度過濾技術抑制棋盤格現象；

4)設計變量更新；

5)判斷是否滿足約束條件，如果不滿足，則重復步驟2)～4)，如果滿足，則進行后處理，輸出相關參數。

圖1　熱-振作用下連續體結構多目標優化設計流程圖Fig.1　The flowchart for thermal-vibrational multi-objective optimal design of continuum structure

3　數值算例

設計區域為一正方形板，如圖2所示，其邊長a=40，厚度t=5。基體材料的彈性模量E=2×105，泊松比ν=0.3，密度ρ=1×10-6，比熱容C0=875，熱導率K0=10。這里各物理量均為無量綱量。材料用量為初始結構的50%。有限元網格為40×40。板的中心點受熱流率Q0=10的作用，板的右下角頂點受集中質量m=2的作用。傳熱學的邊界條件為中心加熱，四邊溫度為T=0℃；力學邊界條件為左邊固支。表1給出了5種不同熱、振權系數條件下結構的優化設計結果。β1和β2分別表示熱、振權重系數。

圖2　設計區域Fig.2　Design domain

權系數β1β2散熱弱度?基頻f拓撲形式工況11042.880.12工況20.80.251.358.06工況30.50.552.28.36工況40.20.857.569.14工況5015263.39.31

由表1可得，熱傳導單目標拓撲優化后，板的散熱弱度φ=51.35，板的基頻f=0.12；動態單目標拓撲優化后，散熱弱度φ=5 263.3，板的基頻f=9.31。熱-振權系數β1=0.5、β2=0.5時，拓撲優化后，板的散熱弱度φ=52.2，基頻f=8.36。可以看出，拓撲優化后，結構的熱、振目標函數分別隨著熱、振權系數的增加而變得更好，隨著熱、振權系數的減少而變得較差。同時可以看出單目標優化的單項結果優于多目標優化對應的結果，但結構優化是在各種可能的結構形式中取得最佳“折衷”的設計過程，因此熱-振多目標拓撲優化同時考慮傳熱和振動特性，更能體現結構綜合性能的提高。

4　結　論

本文建立了熱-振多目標優化設計模型，實現了相應的算法和算例。通過算例，驗證了方法的有效性，得到了熱-振權重系數對目標函數和結構構型的影響規律。根據結果，單目標優化的單項結果優于多目標優化對應的結果，但多目標優化更好地滿足連續體結構在使用中需要的綜合性能。同時將目標函數的靈敏度均建立在單元熱能、應變能和動能的基礎上，使計算效率更高，可以方便地移植到商業軟件的二次程序開發中，更適合于工程優化問題。

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Topologic optimization design for a continuum structure considerating its thermal and vibrational performances

LIU Yuandong,MO Jun,YIN Yihui,XU Bing

(Institute of Structural Mechanics,CAEP,P.O.Box 919-401,Mianyang 621900,China)

For thermal and vibrational design problems,taking the minimum dissipation of heat transport potential capacity and the maximum fundamental frequency as objectives,a thermal and vibrational collaborative optimization model for a continuum structure was developed and corresponding numerical simulations were conducted.In the model,the rational approximation of material properties (RAMP)method was adopted to ensure clear topologies,the design objectives and material distribution were controlled with the optimization criteria method and the checkerboard effect was eliminated with the sensitivity filtering technique.To improve the smoothness of objective functions and avoid the singularity of numerical computation,the weighted objective functions were normalized.Based on numerical simulations,the effects of weight coefficients of thermal and vibrational optimization on the topologic configuration and objectives (the dissipation of heat transport potential capacity and fundamental frequency)were investigated and the results indicated that the proposed method is effective.

continuum structure; thermal-vibrational multiple-objective; topologic optimization；optimization criteria method

國家自然基金重點項目(11432011)；中國工程物理研究院重點學科項目“計算固體力學”資助

2015-04-07修改稿收到日期：2015-07-27

劉遠東 男，副研究員，博士，1978年生

尹益輝 男，研究員，博士，1965年生

TB303

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.019