基于梁段單元法軌道連續(xù)箱梁的車橋耦合動力響應分析

歐陽沖，陳應波，謝偉平，孫亮明

(武漢理工大學 土木工程與建筑，武漢　430070)

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基于梁段單元法軌道連續(xù)箱梁的車橋耦合動力響應分析

歐陽沖，陳應波，謝偉平，孫亮明

(武漢理工大學 土木工程與建筑，武漢430070)

城市軌道交通可能會引起橋梁振動安全性問題和列車運行平穩(wěn)性問題。建立精確、快速及通用性較好的車橋耦合計算程序，可對新興的軌道交通進行振動預測提供借鑒。目前車橋耦合研究中，基于有限元軟件建立的橋梁模型，通用性不高；而直接利用空間梁單元建模則無法考慮橋梁面板橫向振動差異。采用梁段單元建立橋梁模型，并在MATLAB中建立整個車橋計算程序；以寧波軌道交通一號線為數(shù)值模擬對象，將計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)對比驗證，最后考慮了不同車速對列車運行平穩(wěn)性的影響。研究得到，直線運行的狀態(tài)下，車橋響應都有豎向振動比橫向振動受車速影響更大的趨勢，且底板垂向加速度幅值最大，比腹板橫向及懸臂板垂向振動加速度要顯著的多；基于平穩(wěn)性指標的評價結(jié)果比加速度指標更加合理。

軌道連續(xù)箱梁；梁段單元；車橋耦合；平穩(wěn)性

城市軌道交通在給城市居民帶來便利的同時，其引起的結(jié)構(gòu)振動問題也日益突出。尤其是近十幾年來，列車運行的安全性和平穩(wěn)性的要求不斷提高，使列車過橋的動力響應分析成為鐵路橋梁設計的一個重大問題。軌道交通高架橋多采用剛度較大的箱梁結(jié)構(gòu)，而目前采用的橋梁模型主要有2種，一種是基于有限元軟件建模，由于模型參數(shù)不便修改，通用性不高；第二種是利用空間梁單元直接編程建模，卻無法區(qū)別橋梁面板沿橫斷面的振動差異。軌道交通車橋耦合振動受影響因素很多，難以精確模擬，有必要進行實測驗證。另外，當車速較大時，可能造成橋梁振動過大；若列車運行平穩(wěn)性超出限值，也會給乘客帶來不舒適感。

BHATTI[1]建立非線性懸掛的21自由度二系車輛空間模型，在考慮軌道不平順的情況下研究車橋空間振動問題。YANG[2]利用有限差分格式離散車輛方程，得到關于移動力、移動質(zhì)量和移動彈簧質(zhì)量通用性較好的車橋耦合計算方法，并進行了數(shù)值驗證。張楠[3]模擬了高速列車作用下單跨簡支箱梁動力響應，并進行了實測驗證。謝偉平[4]通過移動荷載計算得到軌道箱梁響應，以此作為分析車站結(jié)構(gòu)舒適性的基礎工作。

上述成果為城市軌道交通高架橋的振動研究提供一些指導意義，但是都有不適應橋梁模型變化或編程復雜的缺憾。

針對上述問題，以寧波軌道交通一號線蘆港至徐家漕段連續(xù)箱梁高架橋為研究對象，根據(jù)勢能不變值原理以及“對號入座”法則[6]建立了梁段單元模型，并用數(shù)值模擬和實測結(jié)果進行驗證；另外，本文編制了完全基于MATLAB的車橋耦合迭代求解程序。

1　車輛模型

車輛模型是由車體、轉(zhuǎn)向架和輪對三部分通過彈簧和阻尼元件相互聯(lián)接而成的多自由度振動體系。本文利用動力學中的D’Alembert原理推導了31自由度車輛空間振動微分方程。

車體、轉(zhuǎn)向架共三個剛體，每個剛體按5自由度考慮，即橫移、沉浮、點頭、側(cè)滾和搖頭位移，加上四個輪對的橫移、沉浮、側(cè)滾、搖頭4自由度，得到車輛空間31自由度模型。車輛方程統(tǒng)一表達式如下：

(1)

2　橋梁模型

本文參照文獻[5]用箱梁板梁段單元法與結(jié)構(gòu)動力分析直接建立子板件的位移模式。

梁段有限元法的基本原理是，將箱梁沿橋跨方向劃分，然后每一梁段單元離散為6塊子板件，把圍成箱梁的各個板件當成是薄壁板件，分別為左右懸臂板，左右腹板，頂?shù)装澹鐖D1所示。每一板件的位移模式分為面內(nèi)位移和面外位移兩部分。直接對每一梁段子單元進行空間位移分析，得到相應位移表達式，進而求得各子板件的能量表達式。最后，根據(jù)彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變值原理以及形成矩陣的“對號入座”法則[6]，利用變分原理推導出梁段單元的一致質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

2.1基本假定及梁段節(jié)點自由度的選取

為了便于分析，減少一些不必要的自由度，假設如下:

(1)箱梁各子板件與腹板均為剛性連接；

(2)各子板件纖維沿縱向無任何壓縮；

(3)各子板在面外的變形服從薄板Kirchhoff假定；

(4)軌道及其它附屬設施不予考慮。

根據(jù)上述假設，最終選取梁段截面20個自由度作為最終計算自由度：

{Δi}=[Uui、U′ui、U′li、Uli、V1i、V2i、V3i、V4i、W1i、W2i

W3i、W4i、θx1i、θx2i、θx3i、θx4i、θz1i、θz2i、θz3i、θz4i]

(2)

因此，每個梁段單元有2個節(jié)點，自由度總數(shù)共40個：

{δi}={Δi、Δj}T

(3)

圖1　梁段單元示意圖Fig.1　Beam segment finite element

梁段單元動力學總勢能表示為：

Π=Uk+Um+Uc

(4)

式中:Uk為梁段彈性勢能；Um為慣性力勢能；Uc為阻尼勢能。

由于系統(tǒng)總勢能一定，其一階變分為0，利用MATLAB中的符號求解工具進行編程，可以快速求出梁段單元的單元質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。

(5)

然后，根據(jù)“對號入座”法則，提取系數(shù)矩陣，可以得到如下表達式：

(6)

式中：[Me]、[Ke]和[Ce]分別為梁段單元的單元質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。

將橫隔板考慮為一個單獨的板件，按照相同的方法得到橫隔板的單元質(zhì)量矩陣[M]c，單元剛度矩陣[K]c和單元阻尼矩陣[C]c，然后將單元矩陣加入到整體矩陣中對應的位置，便可得到考慮橫隔板的整體質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。

2.2橋梁模型參數(shù)

本模型以寧波市軌道交通1號線蘆港站～徐家漕站LX06-LX09段三跨連續(xù)箱梁為模擬對象進行研究。根據(jù)設計圖紙，LX06-LX09段橋梁為一聯(lián)三跨連續(xù)梁，預應力混凝土結(jié)構(gòu)。橋梁截面采用單室單箱型截面，采用二次拋物線變截面斜腹板箱梁，跨度37.5 m+60 m+37.5 m，其中跨中梁高1.8 m，支點梁高3.5 m，梁面寬9.2 m，頂板寬4.5 m，如圖2；正線為雙線，直線部分間距4.2 m，采用1.435 m標準軌距，列車最高設計運行速度80 km/h，其它橋梁截面參數(shù)均以圖紙為準。

數(shù)值模型截面為階梯形變化，與實際存在誤差，為盡量減小誤差，取單元中部實際尺寸代表整個單元的尺寸，并作等截面處理。

圖2　連續(xù)梁1/2立面圖(mm)Fig.2　Continuous beam elevation in half(mm)

2.3徐-蘆段連續(xù)箱梁有限元模型建立

利用ANSYS分別采用solid95單元和shell63單元建立寧波軌道交通1號線蘆港站～徐家漕站LX06-LX09段三跨連續(xù)箱梁有限元模型。兩種模型所采用參數(shù)保持一致，建立連續(xù)箱梁有限元模型，如圖3和圖4所示。

圖3　連續(xù)梁實體單元有限元模型Fig.3　Continuous beam solid finite element model

圖4　連續(xù)梁殼單元有限元模型Fig.4　Continuous beam shell finite element model

2.4橋梁模型驗證

選取腹板跨中豎向測點在環(huán)境激勵下的振動數(shù)據(jù)[7](如圖5)；進行濾波后計算得到圖6所示的自功率譜。

圖5　環(huán)境激勵下加速度時程圖Fig.5　Acceleration time history in environment excitation

圖6　跨中測點自功率譜圖Fig.6　Power spectrum of the middle point

由于測點全部布置在橋梁第二跨跨中橫斷面如圖8所示，詳見3.3節(jié)。由于橋梁豎向二階彎曲振型為反對稱形式，跨中測點無法捕捉，認為實測頻譜曲線的第一階頻率2.063 Hz即為橋梁一階豎彎頻率，實測的二階頻率4.972 Hz為橋梁三階豎彎頻率。將所有求解出的橋梁模型的前4階自振頻率結(jié)果匯總?cè)缦隆?/p>

表1　橋梁前4階自振頻率計算結(jié)果對比表

注：括號內(nèi)數(shù)值表示與實測值誤差。

本文所建立的數(shù)值模型沒有考慮軌道鋪裝及其它附屬設施，忽略其實際參振效應會造成計算結(jié)果與實測存在一定誤差，上述結(jié)果也符合這一情況，但總體上誤差較小。

由表1知，采用ANSYS建立的實體單元模型與殼單元模型較為接近，一階頻率與實測誤差均為9.1%；采用MATLAB梁段單元計算的前4階頻率與ANSYS模型相比，計算結(jié)果偏大，其原因可能是選取梁段截面自由度時，簡化假定人為地限定了梁段截面變形特性，造成截面剛度計算值偏大。但與實測相比，最終誤差仍然在允許范圍內(nèi)，其中，一階豎彎頻率與實測誤差為5.7%，三階豎彎頻率為2.8%。

由于在車橋耦合數(shù)值模擬研究中，橋梁模型的建立對計算結(jié)果影響最大的主要是其低階頻率，而本文采用3種數(shù)值模擬方法得到的一階豎彎頻率和三階豎彎頻率與實測結(jié)果誤差不超過10%，吻合較好。由此，認為MATLAB建立的梁段單元橋梁模型正確，可以用于車橋耦合振動分析研究。

2.5軌道譜數(shù)值模擬

關于軌道不平順的數(shù)值模擬，至今已有很多研究成果[8]，如二次濾波法、三角級數(shù)法、白噪聲濾波法以及逆傅里葉變換法。本文采用三角級數(shù)法，將空間域軌道功率譜轉(zhuǎn)換到時間域，得到美國軌道五級譜，如圖7所示。

圖7　美國五級軌道譜時域樣本圖Fig.7　American 5th track spectrum time domain sample

3　數(shù)值求解的程序?qū)崿F(xiàn)及實測驗證

為了提高計算效率以及便于模型參數(shù)修改，本文將列車和橋梁模型均建立在MATLAB中，利用MATALB簡潔的程序語言、成熟的軟件包和強大的數(shù)值計算功能編制計算程序，快速進行求解。

研究成果表明，彈性接觸相對密貼接觸計算出的車橋動力響應結(jié)果與實際更加接近[9]，而輪軌空間動態(tài)接觸則更準確些，且計算代價較小，本文采用輪軌彈性接觸假定，數(shù)值計算采用Newmar k-β法。

3.1垂向輪軌耦合力

本文采用Hertz非線性接觸理論計算輪軌接觸垂向作用力，具體表達式為：

(7)

由于法向力與垂向力之間存在一定夾角，故需將垂向力轉(zhuǎn)化到法向，進而求得各個法向的分力。

法向赫茲力：

(8)

(9)

法向赫茲力沿X軸分力：

Nxl=-Nlsin(δ+θw)sin(ψw)

(10)

Nxr=Nrsin(δ-θw)sin(ψw)

(11)

法向赫茲力沿Y軸分力：

Nyl=-Nlsin(δ+θw)cos(ψw)

(12)

Nyr=Nrsin(δ-θw)cos(ψw)

(13)

3.2橫向輪軌耦合力和蠕滑力矩

采用Kalker線性蠕滑理論，計算左右輪軌橫向力Fy和自旋蠕滑力Mz公式[10]如下：

(14)

(15)

(1)車輪踏面接觸點處斜率δ為1∶20；

(2)輪對半徑為固定值0.42 m，車輪踏面橫斷面外形半徑0.5 m，軌頭橫斷面外形半徑0.3 m；

(3)蠕滑系數(shù)以靜軸重作為輪軌法向力確定。

上述假設對橋梁動力分析影響不大，可以用于車橋耦合程序的計算。a，b分別是接觸橢圓的長半軸和短半軸，可根據(jù)假設由赫茲接觸力求得；fij為蠕滑系數(shù)，Cij是系數(shù)，查表[11]可知。

(16)

(17)

(18)

(19)

3.3橋梁振動響應測試

蘆港站至徐家漕站全長720 m。采用地鐵B型車，6輛編組，運行最高速度80 km/h。橋梁采用鋼筋混凝土箱梁，其中最大跨度為37.5 m+60 m+37.5 m。

為使測點能更好地代表該處子板件的振動情況，盡可能使測點處振動幅值為該子板件振動最大值，6個測點布置在第二跨跨中橫斷面，具體布置情況如圖8：A2、A3在面板1/2處，垂向和橫向分別布置1個測點；懸臂板處測點A1布置在軌道正下方約為懸臂板寬度1/2處。

3.4測試結(jié)果

限于篇幅，此處只給出近軌第二組數(shù)據(jù)中底板和懸臂板鉛垂向及腹板橫向振動數(shù)據(jù)。

表2　近軌箱梁各測點加速度幅值表(m/s2)

表3　遠軌箱梁各測點加速度幅值表(m/s2)

圖9　底板鉛垂向加速度實測時程曲線和頻譜曲線Fig.9　Bottom vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

圖10　腹板橫向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.10 Web lateral acceleration time history and spectral curve in measuring

圖11　懸臂鉛垂向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.11 Cantilever vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

對上述分析結(jié)果進行總結(jié)可以得出如下結(jié)論：

(1)箱梁垂向振動以底板為主，橫向振動則以腹板為主。

(2)底板加速度幅值不受列車近遠軌運行的影響；對腹板和翼緣而言，總體上近軌振動比遠軌更為強烈，其中，腹板和翼緣垂向振動受此影響較大，橫向受影響較小。

(3)箱梁各子板件加速度的頻譜曲線基本一致，且以中低頻率為主。

4　動力響應分析及舒適度評價

本文中采用的車輛模型為B型車，6節(jié)編組，采用31自由度，為與實測響應進行對比，將車速設置為60 km/h。整個過橋時間約為15 s，單節(jié)車廂在橋上運行時間約為8 s。橋梁模型與實測對象相同，車輛和橋梁之間假定為彈性接觸。

4.1車橋耦合計算響應

本文僅列舉了近軌運行條件時，車體垂向振動數(shù)據(jù)以及箱梁子板件中振動幅值較大的數(shù)據(jù)，如圖12～15所示。

圖12　車體豎向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.12 Body vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

圖13　底板鉛垂向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.13 Bottom vertical acceleration time history and spectral curve in calculation

圖14　腹板橫向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.14 Web lateral acceleration time history and spectral curve in calculation

圖15　懸臂鉛垂向加速度時程曲線和頻譜曲線Fig.15 Cantilever vertical acceleration time history and spectral curve in calculation

將其與相應的實測數(shù)據(jù)對比，分析結(jié)果如下：

(1)車體垂向加速度幅值在0.2 m/s2左右，車體振動頻率在1 Hz左右處達到峰值，而這正是車體豎向自振頻率。

(2)底板垂向加速度峰值比實測均值小17.9%；計算主頻率為58.9 Hz，與實測主頻66 Hz相差10.7%。

(3)腹板橫向加速度峰值比實測最小值小14.4%，比均值小16.2%；計算主頻率為58.1 Hz，與實測相差12%。

(4)懸臂板鉛垂向加速度與實測較為接近，只相差3.2%；計算主頻段為30 Hz～80 Hz，與實測相近，且峰值頻率為52.1 Hz；另外，懸臂板鉛垂向振動計算頻譜與實測頻譜都有低頻被激發(fā)出來的現(xiàn)象，在大約在7 Hz處有一個共同的峰值。

誤差原因分析，軌道譜是造成計算誤差的主要原因，其不平順度直接影響輪軌接觸力的準確性，進而對整個結(jié)果造成影響[8]。由于無法精確考慮實際軌道譜等級，導致本文計算結(jié)果與實測存在一定誤差。可以看到，計算頻率主要集中在50 Hz～200 Hz的低頻段范圍內(nèi)，主要原因是計算模型未考慮鋼軌，而實際車橋振動的高頻成分也主要是由于輪軌與鋼軌相互作用引起。由于工程應用時主要關注列車過橋引起振動的低頻特性，本文計算結(jié)果可以滿足要求。

由于車橋耦合受影響因素較多，難以精確模擬，誤差要求15%～20%，即可滿足工程應用要求。本文利用MATLAB計算程序得到的橋梁響應與實測值相比，不論是幅值還是頻譜，誤差均不超過20%，吻合較好，可以認為計算模型及程序正確。

4.2車速對車橋動力響應的影響

本文計算了列車車速在40 km/h、60 km/h和80 km/h共3個工況下車橋加速度響應。

表4中所列結(jié)果為6節(jié)車廂單方向最大加速度平均值，可以大致看出，車體垂向振動加速度幅值隨著車速的增大而增大，且增速較快，說明垂向振動對車速較為敏感；相比之下，橫向也有一定增大，但是不如垂向增幅明顯。

表4　不同車速作用下車體振動加速度峰值 (m/s2)

圖16　不同車速作用下箱梁板件加速度峰值Fig.16 Beam vibration acceleration peak under different speeds (unit:m/s2)

上述結(jié)果表明橋梁豎向振動比橫向振動受車速影響更大，橫向振動雖然受車速影響，但是振動幅值卻維持在一個較小的范圍內(nèi)。

4.3列車運行平穩(wěn)性評價

評價指標分別采用最大加速度指標和平穩(wěn)性指標進行[12]，并將兩種評價結(jié)果進行對比，如表5、6所示。

表5　不同車速時列車最大加速度指標評價(g)

注：最終評價值取6節(jié)車廂均方根值為代表值，同表6。

表6　不同車速時列車平穩(wěn)性指標評價

對比兩種評價方法，車體穩(wěn)定性隨著車速增大而逐漸降低，但最終的平穩(wěn)性結(jié)論并不一致。基于最大加速度的評價只考慮振動幅值單一因素對平穩(wěn)性的影響，導致最終評價等級完全不隨車速變化，結(jié)論較為粗糙。而基于平穩(wěn)性指標的評價標準考慮了整個行駛過程中各頻率分量的貢獻，是一個基于列車行駛?cè)痰脑u價標準，因而更為合理。兩種評價結(jié)果在車速達到最大值80 km/h時，平穩(wěn)性均沒有超出限值。

5　結(jié)　論

運用輪軌彈性接觸關系，采用Newmark-β法，將31自由度空間車輛模型和寧波一號線連續(xù)梁模型在MATLAB中建模，并進行車橋耦合計算，并將計算結(jié)果與實測進行對比，本文在計算過程中得到以下結(jié)論：

(1)基于能量法得到的橋梁梁段單元模型可以用來進行車橋耦合振動分析研究；本文計算方法正確，可對新興的城市軌道交通帶來的振動響應進行初步預測。

(2)運行線路為直線時，車橋響應都有豎向振動比橫向振動受車速影響更大的趨勢；另外，列車過橋時，底板垂向加速度幅值最大，比腹板橫向及懸臂板垂向振動加速度要顯著的多，橋梁底板處結(jié)構(gòu)噪聲值得關注。

(3)基于平穩(wěn)性標準的評價結(jié)果比基于最大振動加速度標準的評價結(jié)果更為合理，當車速達到最大值80 km/h時，平穩(wěn)性沒有超出限值。

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Dynamic responses of a vehicle-bridge coupled railway box girder system based on beam segment model

OUYANG Chong1,CHEN Yingbo2,XIE Weiping2,SUN Liangming2

(School of Civil Engineering,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

Urban rail transportation may cause safety issues of bridge vibration and train running stability.Accurate,fast and better versatile calculation procedures for vehicle-bridge interaction will be very important of predict vibrations caused by new-emerging urban rail transit.The versatility of bridge models based on finite element software was not high,the bridge model established straightly with beam element could not consider the difference between lateral vibrations of bridge panels.Here,the beam segment finite element method was used to build a bridge model and establish a calculation program for the entire vehicle-bridge system in MATLAB; Furthermore,Ningbo Rail Transit Line 1 was taken as a numerical simulation object.The computed results were compared with the measured data.Finally,the influences of different train speeds on the train running stability were considered.The results showed that under the condition of straight-line running,the vertical vibration responses of the vehicle-bridge system are easier to be affected by train speed than its lateral vibration ones be; the vertical vibration acceleration of the bridge bottom plate is the maximum,its amplitude is much larger than that of the beam webs’ lateral vibration acceleration and that of the cantilever plate’s vertical vibration acceleration; the evaluation results based on the train stability index is more reasonable than those based on the acceleration index.

railway continuous box girder; beam segment finite element; vehicle-bridge interaction; stability

國家自然科學基金項目資助(51178365)

2015-06-15修改稿收到日期：2015-08-21

歐陽沖 男，碩士生，1989年生

謝偉平 男，教授，博士生導師，1965年生

E-mail:wpxie@sina.com

U448.21

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.015