四邊彈性約束FGM矩形板面內自由振動的DQM求解

蒲　育，趙海英，滕兆春

(1.蘭州工業學院 土木工程學院，蘭州　730050；2.蘭州理工大學 理學院 工程力學系，蘭州　730050)

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四邊彈性約束FGM矩形板面內自由振動的DQM求解

蒲育1，趙海英1，滕兆春2

(1.蘭州工業學院 土木工程學院，蘭州730050；2.蘭州理工大學 理學院 工程力學系，蘭州730050)

假設矩形板為正交各向異性,材料的物性沿矩形板的寬度方向按冪律連續分布，基于二維線彈性理論，建立了四邊彈性約束功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM)矩形板面內自由振動的控制偏微分方程。控制方程為復雜耦合的變系數偏微分方程，采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM)數值研究了四邊彈性約束FGM矩形板面內自由振動的無量綱頻率特性。通過設置彈性剛度系數為0或∞，梯度指數為0，問題退化為各種典型邊界下矩形板的面內自由振動，與已有的各向同性矩形板自振頻率結果進行比較，結果表明分析求解方法行之有效。最后考慮了FGM矩形板邊界條件、長寬比、梯度指數及剛度系數對自振頻率的影響。

FGM矩形板；面內自由振動；彈性約束邊界；無量綱頻率；微分求積法

平板的振動表現為三種波形：彎曲波，縱波(p波)和剪切波(s波)。板的面外振動通常表現為彎曲波，而面內振動表現為縱波和剪切波。由于面內振動的頻率通常超出了起主導作用激勵的頻帶，因此，許多學者從不同的角度大量研究了板的彎曲和面外振動，對于板面內自由振動的研究相對較少。近些年，隨著板結構高頻振動在工程中應用，學者們發現面內振動不僅在高頻振動及能量傳播中起主導作用，且影響低頻振動[1-3]。因此，面內振動問題也是動力學中的一個重要研究方向。

瑞利在1894年首次求得了四邊簡支矩形板面內自由振動的精確解。BARDELL等[4]首先應用Rayleigh-Ritz法獲得了三種常見邊界條件(夾緊、自由、簡支)矩形板面內自由振動的頻率及相應的振型。FARAG等[5]分析求解了C-C-C-C、C-C-C-F和C-F-C-F這三種邊界矩形板的面內自由振動問題，并與有限元法得出的數值結果進行了比較。而WANG[6]基于變分原理，采用Kantorovich-Krylov法求解了C-C-C-C、C-F-C-F和C-C-C-F這三種邊界矩形板的面內自由振動。GORMAN[7]首次采用疊加法分析了其中一組對邊簡支，另一組對邊自由或夾緊矩形板的面內自由振動，并且給出了兩種不同的簡支邊界條件，用符號SS1和SS2表示。由于面內振動的特征值問題是兩個耦合微分方程，不易求解，因此直到2006年GORMAN[8]首次獲得了其中一組對邊簡支，另一組對邊自由或夾緊矩形板的面內自由振動的精確解和相應的振型，但存在重頻、漏頻和識別模態問題。DU等[9]采用二重Fourier級數法，首次研究了彈性約束邊界條件下矩形板的面內自由振動。XING等[10]采用分離變量法獲得了至少一組對邊簡支矩形板面內自由振動頻率的解析解和相應的振型，其中包括SS1-C-SS2-F和SS2-SS1-SS2-F矩形板的求解。之后，LIU[11]采用分離變量法，得到了一組對邊簡支，另一組對邊為任意邊界矩形板的面內自由振動頻率的解析解及相應的振型。最近，滕兆春等[12-13]采用DQM數值求解了新型材料FGM圓環板面內自由振動問題。

本文首次建立了四邊彈性約束FGM矩形板面內自由振動的控制偏微分方程，采用二維DQM數值研究了任意邊界各向同性矩形板及FGM矩形板面內自由振動的無量綱頻率特性。結果顯示：本文采用的分析方法行之有效，且具有易收斂、精度高、工作量小等優點，并得出一些有益的結論。

1　面內自由振動微分方程及邊界條件

1.1面內自由振動微分方程的建立

如圖1所示，考慮四邊彈性約束下長為a，寬為b，厚為h的金屬-陶瓷功能梯度材料薄矩形板，其材料性質沿寬度方向呈梯度連續分布。板的上側表面為陶瓷，下側表面為金屬。其彈性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性參數均是坐標y的函數，用統一式可表示為：

(1)

式中：p為梯度指數，x方向位移分量為u，y方向位移分量為v，建立如圖1所示的坐標系，基于二維線彈性理論，

物理方程：

(2)

式中：Ci j為材料的物性系數，且滿足以下關系式：

(3)

將幾何方程代入物理方程，再將物理方程代入運動方程可得FGM矩形板面內自由振動的微分方程為：

(4)

圖1　彈性支撐FGM矩形板的幾何尺寸Fig.1　Geometry of a FGM rectangular plate with elastic edge supports for in-plane vibration

1.2各種邊界條件

1.2.1四邊彈性約束邊界條件：

在x=0處，

σx=knx0u，τxy=kτx0v

(5)

在y=0處，

σy=kny0v，τxy=kτy0u

(6)

在x=a處，

σx=-knx1u，τxy=-kτx1v

(7)

在y=b處，

σy=-kny1v，τxy=-kτy1u

(8)

式中：knx0，knx1分別為x=0，x=a處彈簧法向剛度系數，kτx0，kτx1分別為x=0，x=a處彈簧切向剛度系數，其余剛度系數，kny0，kny1，kτy0，kτy1表示的含義與之類似。

1.2.2各種典型邊界條件

對彈性約束邊界作適當的處理(通過改變矩形板四邊的剛度系數)，可得各種典型邊界條件。例如，對左邊界x=0而言：

令knx0=∞，kτx0=∞可得夾緊邊界(C)；

令knx0=0，kτx0=0可得自由邊界(F)；

令knx0=0，kτx0=∞可得簡支SS1邊界；

令knx0=∞，kτx0=0可得簡支SS2邊界。

其他邊界與之類似，這里省略。對這四種邊界對應組合，可得各種典型邊界條件。

2　控制微分方程及邊界條件的無量綱化

2.1控制微分方程的無量綱化

FGM矩形板面內位移分量可設為：

u(x,y,t)=U(x,y)eiωt,

v(x,y,t)=V(x,y)eiωt

(9)

其中t為時間，這里i為虛數單位，ω為固有頻率。

無量綱化如下：

(10)

其中Ω為無量綱頻率，s為長寬比。

將式(9)，(10)代入式(4)可得控制微分方程：

(11)

2.2邊界條件的無量綱化

將式(2)，式(9)及式(10)代入邊界條件式(5)～式(8)可得無量綱化的位移邊界條件式(12)～式(15)：

ξ=0處：

(12)

η=0處：

(13)

ξ=1處：

(14)

η=1處：

(15)

這里p =x,y,q=0,1

3　FGM矩形板面內自由振動的特征值

3.1控制微分方程及邊界條件的離散化

由于控制微分方程式(11)及邊界條件式(12)～(15)為耦合的變系數偏微分方程組，求得解析解非常困難，因此本文采用數值方法-DQM求解。參考文獻[12-14]，在DQM中，矩形板在x方向和y方向的節點劃分分別采用如下的公式：

(16)

式中：Nξ和Nη分別為ξ方向和η方向的節點總數。

(17)

(18)

η方向與ξ方向的權系數矩陣類似，這里省略。

微分方程式(11)用DQM離散化后為：

(19)

這里

其中i=2,3,…,Nξ-1；j=2,3,…Nη-1

邊界條件式(12)～(15)離散化后分別為：

(20)

式中:i=1，j=2,3,…，Nη-1

Kny0Vij=0

Kτy0Uij=0

(21)

式中:i=1，2,…，Nξ，j=1

Knx1Uij=0

Kτx1Vij=0

(22)

式中：i=Nξ，j=2,3,…，Nη-1

(23)

式中：i=1,2,…，Nξ，j=Nη

3.2FGM矩形板面內自由振動的特征值問題

方程式(19)與式(20)～(23)對應聯立后便構成了各種邊界條件FGM矩形板面內自由振動的邊值問題，該邊值問題可用分塊矩陣形式表示為[14]：

(24)

由式(24)消去邊界自由度{wd}可得彈性約束下FGM矩形板面內自由振動的特征值問題：

[S]{wb}-Ω2[I]{wb}={0}

(25)

式中:[S]=[Sbb]-[Sbd][Sdd]-1[Sdb]，[I]為單位陣，特征向量{wb}描述了彈性約束下FGM矩形板面內自由振動的振型。

4　計算結果與分析

算例中，FGM矩形板材料的物性系數分別取為Em=122.7 GPa，μm=0.288 8，ρm=4 420 kg/m3，Ec=132.2 GPa，μc=0.333，ρc=3 657 kg/m3，節點數Nξ=17，Nη=13，編寫MATLAB程序可獲得方程式(25)特征值問題的無量綱頻率。各種邊界條件的組合順序從邊界x=0→y=0→x=a→y=b邊界，當p=0，μc=0.3，表1～表3分別給出了C-C-C-C，F-F-F-F，SS1-SS1-SS1-SS1邊界不同長寬比各向同性矩形板面內自由振動的前6階無量綱頻率，并與文獻[4，9]的數值結果進行了比較。表4～表7分別給出了SS1-F-SS1-F、SS1-C-SS1-C、SS2-F-SS2-F、以及SS2-C-SS2-C邊界下不同長寬比矩形板面內自由振動的前6階無量綱頻率，并和文獻[9]的數值結果進行了比較。令剛度系數Knx0=Kny0=Kτx1=Kτy1=K，Kτx0=Kτy0=Knx1=Kny1=∞，由此可獲得更為復雜的一種彈性約束邊界SS1-SS1-SS2-SS2，該邊界在x=0及y=0處受法向彈簧支撐，在x=a及y=b處受切向彈簧支撐。表8則給出了四邊彈性約束下SS1-SS1-SS2-SS2邊界不同剛度系數正方形板的前6階無量綱頻率，且和文獻[9]的結果進行了比較。由表8可知，自振頻率隨剛度系數的增大而增大。值得注意的，當剛度系數K=∞時，SS1-SS1-SS2-SS2邊界退化為C-C-C-C邊界。由表1～表8計算結果可見：不論對各種典型邊界，還是彈性約束邊界，本文得出的結果與其非常接近，取較少的節點數就能滿足精度所需，工作量較小，且分析方法對各種邊界條件都有效，同時，說明了DQM對于研究本問題的適用性與優越性。

表1　C-C-C-C邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表2　F-F-F-F邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表3　SS1-SS1-SS1-SS1邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表4　SS1-F-SS1-F邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表5　SS1-C-SS1-C邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc =0.3)

表6　SS2-F-SS2-F邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表7　SS2-C-SS2-C邊界不同長寬比矩形板的頻率系數(μc=0.3)

表8　SS1-SS1-SS2-SS2邊界不同剛度系數正方形板的無量綱頻率(μc=0.3,s =1)

作為算例，針對金屬-陶瓷FGM矩形板，表9和表10，分別給出了SS1-C-SS1-C，SS1-SS1-SS2-SS2兩種邊界下，不同長寬比FGM矩形板的前10階無量綱頻率。對SS1-C-SS1-C邊界而言，須令剛度系數Knx0=Knx1=K，其他的剛度系數為∞。若令Kτx0=Kτx1=K，Knx0=Knx1=∞，Kny0=Kτy0=Kny1=Kτy1=0，可得SS2-F-SS2-F邊界，表11給出了SS2-F-SS2-F邊界FGM正方形板的前10階頻率系數。

圖2　不同邊界下長寬比s與FGM矩形板基頻Ω1的關系曲線(p=1)Fig.2　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM rectangular plates versus s for different boundary conditions

為了研究長寬比、邊界條件及梯度指數對自振頻率的影響，為此，圖2和圖3給出了長寬比s=[1.2,3.0]，剛度系數K=0，梯度指數p=1時，9種不同邊界下長寬比對FGM矩形板基頻的影響。由圖2和圖3可以看出，長寬比在此范圍內，基頻Ω1隨s的增大而增大的板分別為：C-C-C-C板、SS2-C-SS2-C板、C-C-C-F板、SS1-C-SS1-C板、C-C-F-F板、SS1-SS1-SS2-SS2板，基頻Ω1隨s的增大而減小的板分別為：F-F-F-F板與C-F-C-F板。因此，在不同邊界條件下，長寬比對自振頻率的影響不同，有增有減，值得注意的是，SS1-SS1-SS1-SS1板的基頻隨s的增大而基本保持不變，影響機理解釋有待進一步的研究。

圖3　不同邊界下長寬比s與FGM矩形板基頻Ω1的關系曲線(p=1,K=0)Fig.3　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM rectangular plates versus s for different boundary conditions

圖4和圖5反映了9種不同邊界下，梯度指數p對FGM正方形板基頻Ω1的影響，由圖可知，對各種邊界而言，基頻Ω1隨梯度指數p的增大而減小。這與事實相符，隨著梯度指數的增大，板中陶瓷的成分減少，因此板的整體剛度減小了。并且，由圖4和圖5可知，當梯度指數在0～10之間變化時，基頻減小較快；當梯度指數p大于10以后，基頻變化不大；當p增大到一定值時，頻率趨于一常數。

圖4　不同邊界下梯度指數p與FGM正方形板基頻Ω1的關系曲線(s=1)Fig.4　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM square plates versus p for different boundary conditions

圖5　不同邊界下梯度指數p與FGM正方形板基頻Ω1的關系曲線(s=1,K=0)Fig.5　The fundamental frequency parameter Ω1 of FGM square plates versus p for different boundary conditions

圖6反映了SS1-SS1-SS2-SS2邊界下剛度系數K對FGM正方形板基頻Ω1的影響。K=[10-1,103],s=1.0,橫坐標采用指數劃分，由圖6不難看出：對不同的梯度指數，Ω1都隨K的增大而增大，當剛度系數增大到一定值，基頻基本保持不變。這表明當彈性剛度K大到一定值時，彈性剛度過渡到“剛性”狀態，K對Ω1的影響就非常小了。即系統的彈性剛度越大，頻率越高。約束越強，頻率也越高。

圖6　不同梯度指數SS1-SS1-SS2-SS2邊界下剛度系數K與FGM正方形板基頻Ω1的關系曲線(s=1)Fig.6　The fundamental frequency parameter Ω1 of SS1-SS1-SS2-SS2 FGM square plates versus K for different graded index

sΩ123456789100.51.50062.09512.10342.83492.84243.47213.56523.62173.64974.00201.02.10603.09473.61583.67244.11704.85365.21485.36875.39815.53681.52.84274.16874.36854.94925.29816.07936.20286.31837.51337.76882.03.63154.74865.74776.07336.70406.92756.95397.80788.13218.8012

表10　SS1-SS1-SS2-SS2邊界不同長寬比FGM矩形板的無量綱頻率(p=1,K=1)

表11　SS2-F-SS2-F邊界不同剛度系數FGM正方形板的無量綱頻率(p=1,s =1)

5　結　論

建立了四邊彈性約束FGM矩形板的面內自由振動方程，采用二維DQM數值研究了任意邊界各向同性矩形板及FGM矩形板面內自由振動的無量綱頻率特性。結果顯示，本文的分析方法行之有效，且工作量小。且結果表明：

(1)對于不同的邊界，長寬比對自振頻率的影響不同，有增有減。特別地，SS1-SS1-SS1-SS1板的基頻隨長寬比的增大而基本保持不變。

(2)隨著梯度指數的增大，陶瓷的成分減少，板的整體剛度減小，因此，板的自振頻率隨梯度指數的增大而減小。當梯度指數足夠大，頻率趨于一常數。

(3)自振頻率隨彈簧剛度的增大而增大，當剛度系數增大到一定值，頻率趨于一常數，即系統的彈性剛度越大，頻率越高。約束越強，頻率也越高。同時，本文的分析方法可為新型材料板結構的動力學行為研究提供一定的參考。

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In-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges using differential quadrature method

PU Yu1,ZHAO Haiying1,TENG Zhaochun2

(1.College of Civil Engineering,Lanzhou Institute of Technology,Lanzhou 730050,China；2.Department of Engineering Mechanics,School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)

The material of rectangular plates was assumed to be orthotropic,and material properties change continuously along the width of a rectangular plate according to power law distributions.Based on the two-dimension theory of linear elasticity,the governing partial differential equations for in-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges were derived.The partial differential equations were complicated and coupled with variable coefficients.Using the differential quadrature method,dimensionless frequency characteristics of in-plane free vibration of FGM rectangular plates with 4 elastically restrained edges were investigated.All the typical boundaries for in-plane vibration of isotropic rectangular plates were obtained by setting stiffnesses of restraining springs to be either zero or infinite and taking material gradient index as zero.Then,the results with DQM were compared with those published in literature for isotropic rectangular plates,it was shwon that the proposed DQM is effective.Finally,The influences of boundary conditions,geometrical parameters,material gradient index and stiffness coefficients on the natural frequencies of FGM rectangular plates were analyzed.

FGM rectangular plates; in-plane free vibration; elastically restrained edges; dimensionless frequency; DQM

國家自然科學基金(41202230)；甘肅省自然科學基金(148RJZA017)

2015-07-01修改稿收到日期：2015-08-30

蒲育 男，碩士，講師，1984年5月生

滕兆春 男，副教授，1969年8月生

O343;O327

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.010