隨機激勵下汽車非線性懸架系統的混沌研究

牛治東，吳光強,2

(1.同濟大學 汽車學院，上海　201804；2.東京大學 生產技術研究所，東京　153-8505)

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隨機激勵下汽車非線性懸架系統的混沌研究

牛治東1，吳光強1,2

(1.同濟大學 汽車學院，上海201804；2.東京大學 生產技術研究所，東京153-8505)

研究了具有遲滯非線性特性的單自由度懸架模型在隨機激勵下的混沌運動。運用隨機梅爾尼科夫(Melnikov)方法，推導并得到有界噪聲激勵下系統在均方意義下發生混沌運動的臨界條件，討論了懸架遲滯參數對系統混沌運動的影響，并運用龐加萊截面、功率譜和最大李雅普諾夫指數(LLE)進行了數值驗證，研究表明，懸架系統存在混沌運動。分析了C級路面激勵下，汽車單自由度懸架遲滯非線性系統的隨機響應，并運用龐加萊截面、功率譜和最大李雅普諾夫指數進行了數值模擬，揭示了此類系統在隨機路面激勵下發生混沌運動的可能性。

隨機路面；遲滯非線性；汽車懸架；混沌

近年來，隨機激勵下非線性系統的混沌運動成為研究熱點，但是對于汽車懸架非線性系統的研究多集中在周期、擬周期激勵下系統的混沌運動，而對隨機激勵下懸架非線性系統的混沌運動研究較少，因此有必要對隨機激勵下懸架非線性系統進行研究。

對隨機激勵下非線性系統的混沌運動分析，應用較多的是隨機Melnikov方法。楊紹普等[1]研究了具有滯后非線性特性的汽車單自由度懸架模型在路面隨機激勵下發生混沌運動的可能性，運用隨機Melnikov方法得到均方意義下系統出現混沌運動的臨界激勵幅值，并通過最大Lyapunov指數和Poincaré截面進行了數值驗證，但該模型用位移和速度的三次方描述懸架的滯后非線性，且通過正弦激勵疊加高斯白噪聲來模擬隨機激勵。王振佩等[2]利用隨機Melnikov方法分析了有界噪聲激勵下Josephson系統的運動，并利用均方準則得到系統產生混沌的臨界值，研究表明，有界噪聲對系統混沌的產生起到了加速作用，且有界噪聲的強度越大，混沌吸引子的發散程度越大，并對理論推導進行了數值驗證，但沒有分析系統參數對混沌臨界值的影響。劉利琴等[3]建立了船舶的橫搖非線性隨機微分方程，運用隨機Melnikov均方準則確定混沌運動的系統參數域，并得到了系統隨機響應的概率密度函數，發現噪聲強度大于混沌臨界值時，船舶出現隨機混沌運動。馮俊等[4]對有界噪聲與諧和聯合激勵下的Duffing-Rayleigh振子的動力學行為進行研究，運用Melnikov隨機方法得到系統出現混沌的條件，通過Poincaré截面和最大Lyapunov指數進行了數值驗證。CHEN等[5]研究了具有遲滯非線性特性的磁流變阻尼器車輛懸架系統的混沌行為，采用分段二次函數設計的非線性反饋控制器來控制系統的混沌，同時利用Melnikov方法得到了控制器的系數，數值仿真表明該方法控制混沌的有效性。DOSTAL等[6]分析了船舶作為一個弱擾動哈密頓系統，在隨機波浪激勵下的騎浪運動，并利用隨機梅爾尼科夫方法得到系統發生騎浪運動的近似概率。PéREZ-POLO等[7]利用第一李雅普諾夫指數和梅爾尼科夫理論研究了被控制機電設備的混沌運動。但總的來說，以汽車作為研究對象的文獻和相關內容相對較少。

本文采用冪函數多項式描述汽車懸架系統的遲滯非線性特性，建立了單自由度懸架非線性模型，研究了系統在有界噪聲和C級路面分別激勵下系統的動力學響應。采用隨機Melnikov方法，推導出有界噪聲激勵下系統發生混沌運動的臨界條件，并研究了遲滯參數對混沌運動的影響。通過Poincaré截面、功率譜和最大Lyapunov指數來研究系統的混沌運動，發現系統存在混沌運動，且隨著路面激勵幅值的增大，系統發生混沌的可能性越大。另外，還研究了懸架系統在C級路面激勵下的隨機響應，并運用Poincaré截面、功率譜和最大Lyapunov指數對系統模型進行數值模擬，發現了混沌運動的存在。

1　懸架遲滯模型與隨機激勵描述

1.1懸架遲滯模型

目前，描述懸架遲滯非線性模型應用較多的主要是雙線性模型、跡法模型、干摩擦模型、Bouc-Wen 模型和Bingham模型等[8]，本文根據懸架的動剛度和阻尼特性，采用冪函數多項式來描述汽車懸架遲滯非線性特性[9]

(1)

(2)

(3)

式中：k1、k3為非線性彈簧力系數；c為非線性阻尼力系數。n為阻尼因子，n=0時，系統中的阻尼為干摩擦阻尼；n=1時，為黏性阻尼；1>n>0時，阻尼中既有干摩擦阻尼，又有黏性阻尼；n>1時，阻尼表現為“高階”阻尼。

1.2有界噪聲

有界噪聲是一個廣義平穩的隨機過程，具有非高斯概率分布。假設，ξ(t)為有界噪聲[10]

ξ(t)=sin(ωt+ψ)

(4)

式中：ψ=σB(t)+χ。ω為平均激勵頻率；σ為頻率隨機擾動強度；B(t)為標準Wiener過程；χ是在[0,2π)上均勻分布的隨機相位。

它的均值為零，譜密度為

(5)

有界噪聲ξ(t)是一個廣義平穩的隨機過程，作為一個有界的隨機過程，且是一個連續的樣本函數，具有非高斯概率分布，它的均值為零。其譜密度在等級路面上的分布如圖1所示，根據圖中不同有界噪聲強度下有界噪聲的功率譜在等級路面中的分布，知有界噪聲的功率譜在等級路面分級的合理范圍內，可以認為有界噪聲是合理的路面激勵模型。

圖1　不同σ下有界噪聲的譜密度分布(Ω=1.5)Fig.1　Spectral density distributions of bounded noise under different σ(Ω=1.5)

1.3隨機路面

隨機路面的輸入，一般用白噪聲速度譜描述。作為車輛振動輸入的路面不平度，主要采用路面功率譜密度來描述其統計特性。考慮速度對路面輸入的影響，采用速度功率譜密度來描述路面不平度，則時間頻率內的路面不平度[11]為

(6)

式中：Gq(n0)為參考空間頻率下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數，單位為m2/m-1=m3；n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；v0為車速。

(7)

式中:w(t)為單位白噪聲。

1.4汽車單自由度懸架遲滯非線性模型

汽車懸架遲滯模型如圖2所示。圖中：v0為汽車速度；z1為路面激勵位移；z0為系統垂直位移；m為車體質量。

圖2　隨機激勵下單自由度模型Fig.2　Single degree of freedom model under random excitation

則，系統的運動微分方程為

(8)

令z=z0-z1，則z0=z+z1。式(8)可轉化為

(9)

2　有界噪聲激勵下遲滯系統的響應

2.1有界噪聲激勵下非線性系統的模型

假設汽車懸架遲滯非線性模型在有界噪聲作用下，對式(9)進行變換得

(10)

假設路面激勵的隨機部分為

d2f(x′)/d(x′)2=μξ(x′)

(11)

式中:μ為有界噪聲的強度；ξ(x′)為單位有界噪聲。

定義τ=ω0t，對式(10)進行無量綱化處理

(12)

將式(12)寫成狀態方程的形式：

(13)

2.2發生混沌的臨界條件

當有界噪聲激勵可以忽略，且系統阻尼不存在時，其自由振動方程為

(14)

因，系統的哈密頓函數H滿足

f1=?H/?x2，f2=-?H/?x1

則，哈密頓函數為

(15)

解得

(16)

(17)

則，異宿軌道的方程為

(18)

式中:x1(τ)的正號表示異宿軌道的正軸部分，負號表示異宿軌道的負軸部分；x2(τ)的正號表示異宿軌道的上半部分，負號表示異宿軌道的下半部分。

則，系統的隨機Melnikov過程為

(19)

令M(τ0)=Md-Mp(τ0)，則：

本文研究在均方意義下，隨機Melnikov過程出現簡單零點的情況。Mp(τ0)為有界噪聲引起的分量，其脈沖響應函數為

(20)

相應的頻率響應函數為

(21)

從而有，

(22)

隨機Melnikov過程在均方意義下出現零點的條件[14]為

(23)

對式(23)進行積分，得：

(24)

Melnikov函數具有簡單零點，意味著穩定流形與不穩定流形用在龐加萊截面上橫截相交，系統出現Smale變化意義下的混沌。對于懸架這個隨機動力系統，在隨機激勵下，得到了均方意義下系統隨機Melnikov過程出現零點的條件。運用數值方法對式(24)進行數值仿真，得到有界噪聲激勵幅值發生混沌的臨界條件，如圖3所示。參數：m=240 kg，k1=16 000 N/m，ω=5～35 rad/s，n=2，σ=0.5，k3=-10 000 N/m3，c=-50 N·s2/m2，v0=30 m/s。

圖3　發生混沌運動的臨界幅值Fig.3　Critical condition of chaotic motion

當有界噪聲的激勵幅值落在曲線上面時，系統可能發生混沌運動；當有界噪聲的激勵幅值落在曲線下面時，系統不會出現混沌運動。

2.3遲滯參數對混沌臨界值的影響

改變遲滯參數k1，k3，c的值，計算有界噪聲激勵下系統發生混沌域的影響，如圖4所示。

圖4　遲滯參數對混沌域的影響Fig.4　Influence on chaos of parameters

從圖4中各曲線的變化，可以看出：k1越大，混沌區域越大，發生混沌的可能性越小；k3越大，混沌區域越大，發生混沌運動的可能性越小；c越大，混沌區域越小，發生混沌的可能性越大。從圖中還可推知，當系統所受的路面激勵幅值較小時，系統不發生混沌運動，當路面激勵幅值較大時，系統可能會發生混沌運動。

2.4有界噪聲激勵下遲滯系統的隨機響應

選擇參數ω=15 rad/s，改變激勵幅值μ，令有界噪聲激勵幅值0.001 m、0.02 m、0.12 m，用數值方法對系統發生混沌運動的臨界條件進行驗證。分別計算不同激勵幅值作用下系統的Poincaré截面、功率譜和最大Lyapunov指數，結果如圖5，6，7所示。

圖5　μ=0.001 m，LEE=0Fig.5　μ=0.001 m，LEE=0

圖6　μ=0.02 m，LEE=0.048 7Fig.6　μ=0.02 m，LEE=0.048 7

圖7　μ=0.12 m，LEE=0.136 1Fig.7　μ=0.12 m，LEE=0.136 1

由數值結果可知，當激勵幅值為0.001 m時，如圖5所示，系統的Poincaré截面為一密集點集，系統的最大Lyapunov指數為零，說明此時系統為周期運動。當有界噪聲的激勵幅值為0.02 m時，如圖6，系統的Poincaré截面為具有一定形狀的密集點集，功率譜連續，且最大Lyapunov指數大于零，說明，系統處于混沌運動狀態。同理，在圖7中，當激勵幅值為0.12 m時，系統也處于混沌運動狀態。

比較圖6和圖7知，當激勵幅值變大時，系統的Poincaré截面也隨之變大。經過大量的計算，發現隨著激勵頻率的變大，系統的混沌域有變大的趨勢。當激勵幅值較小時，系統不發生混沌運動，當激勵幅值較大時，系統才有可能出現混沌運動。數值分析結果驗證了2.4節關于有界噪聲激勵幅值發生混沌的臨界條件的判斷。

3　隨機路面激勵下系統的響應

對隨機路面激勵下系統的響應進行分析，假設系統處于C級路面激勵下，固定車速v0=30 m/s，對式(8)在C級路面激勵下進行數值模擬，計算系統的Poincaré截面、功率譜和最大Lyapunov指數，結果如圖8所示。

圖8　C級路面激勵下系統隨機響應Fig.8　Stochastic response of system under the C-class road excitation

從數值仿真結果中發現，系統的Poincaré截面為一系列的密集點，功率譜連續，且最大Lyapunov指數大于零，說明系統此時處于混沌狀態。

4　結　論

本文研究在有界噪聲和C級路面激勵分別激勵下汽車懸架遲滯系統的動力學響應。分析了有界噪聲激勵下系統產生混沌運動的臨界條件，并對其進行了數值驗證。并利用C級路面激勵驗證了系統混沌運動的存在。

(1)采用冪函數多項式描述懸架的遲滯非線性特性，在此基礎上建立了單自由度懸架遲滯非線性的運動微分方程。

(2)采用隨機Melnikov方法，推導出有界噪聲激勵下系統發生混沌的臨界條件，研究懸架各遲滯參數對混沌的影響。

(3)運用數值方法Poincaré截面、功率譜和最大Lyapunov指數來研究系統的混沌運動。研究發現系統存在混沌運動，且隨著路面激勵幅值的增大，系統發生混沌的可能性越大。

(4)研究了系統在C級路面激勵下的隨機響應，并運用Poincare截面、功率譜和最大Lyapunov指數譜，對系統模型進行數值模擬，發現混沌運動的存在。

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Chaos of a vehicle nonlinear suspension system under stochastic excitation

NIU Zhidong1,WU Guangqiang1,2

(1.College of Automotive Studies,Tongji University,Shanghai 201804,China；2.Institute of Industrial Science,the University of Tokyo,Tokyo 153-8505,Japan)

Chaotic motions of a single DOF vehicle suspension system with nonlinear hysteretic characteristics under random excitation were studied.By using stochastic Melnikov method,the critical condition to cause chaotic motion of the system under bounded noise excitation was derived in the mean square sense.The influences of suspension hysteretic parameters on the system’s chaotic motion were discussed,and the numerical validation was performed by using Poincaré section,power spectrum and the largest Lyapunov exponent (LLE).The results showed that there exist chaotic motions in the suspension system.The random responses of the single DOF vehicle suspension system with nonlinear hysteretic characteristics under the C-class road excitation were simulated and analyzed by using Poincaré section,power spectrum and the largest Lyapunov exponent.The numerical simulation revealed the possibility of the occurrence of chaotic motions in this kind system under stochastic road excitation.

stochastic road; hysteretic nonlinearity; vehicle suspension; chaotic

教育部高等學校博士學科點專項科研基金(20120072110013)

2015-05-18修改稿收到日期：2015-08-14

牛治東 男，博士生，1987年4月生

吳光強 男，教授，博士生導師，1965年11月生

U461；O324

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.007