基于質量放大局域共振型聲子晶體的低頻減振設計

張　印，尹劍飛，溫激鴻，郁殿龍

(1.中國衛星海上測控部，江蘇 江陰　214431；2.國防科學技術大學 裝備綜合保障重點實驗室，長沙　410073)

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基于質量放大局域共振型聲子晶體的低頻減振設計

張印1，尹劍飛2，溫激鴻2，郁殿龍2

(1.中國衛星海上測控部，江蘇 江陰214431；2.國防科學技術大學 裝備綜合保障重點實驗室，長沙410073)

針對低頻結構振動控制，設計了一種質量放大局域共振型聲子晶體。基于周期結構的Bloch定理和有限元方法研究了無限聲子晶體的能帶特性，同時基于有限元法研究了彈性波在有限周期結構中的傳播特性。在此基礎上，對聲子晶體質量放大帶隙與局域共振帶隙的形成機理和帶隙特性進行了研究。最后以梁框架結構低頻減振為目標，將設計的質量放大局域共振聲子晶體嵌入框架結構中，綜合應用聲子晶體帶隙特性和黏彈性材料阻尼特性，實現低頻寬帶振動抑制效果。進一步，對框架結構一階固有頻率，進行聲子晶體結構優化設計，實現了一階固有頻率處振動的高量級抑制，并設計制備實驗樣件，進行實驗驗證。結果表明，這種質量放大局域共振聲子晶體可以為結構低頻減振提供一種新的實現方法。

質量放大；局域共振；聲子晶體；振動控制

低頻減振是當前振動控制領域研究的熱點和難點之一。傳統阻尼減振設計對高頻效果較好，但難以有效抑制低頻振動；主動控制技術低頻效果顯著，但是需要提供外界能源，與被動減振技術相比控制系統復雜，存在可靠性差等問題。因此，研究基于被動控制技術的低頻減振技術具有重要意義和工程應用前景。

振動控制的實質是結構中彈性波的操控。在這一方面，局域共振聲子晶體和聲學超材料理論的提出和發展為實現結構中彈性波的低頻控制提供了一條新的實現途徑。劉正猷等[1]首次提出了聲子晶體的局域共振帶隙的概念，并驗證了其小尺寸控制大波長，即操控低頻彈性波的能力。這一機理陸續被應用于對聲傳播和振動的控制[2-7]等方面。從能量的角度考慮，聲子晶體和聲學超材料的帶隙特性可以將彈性波局域化在結構的特定位置而阻止其傳播，但不能解決局域化能量的耗散問題。在這一方面，通常仍然采用黏彈性阻尼材料實現機械能向熱能的轉化，但是阻尼材料低頻損耗因子較低，難以實現能量的有效耗散。研究發現[8-13]結構損耗因子除了與材料有關，還與結構幾何特性具有相關性，而具有負剛度結構的黏彈性阻尼系統可以表現出低頻高阻尼特性，因此LAKES等[8-12]通過設計負剛度結構形式提高阻尼材料低頻能量耗散能力。此外，由于傳統局域共振超材料低頻帶隙頻段較窄，另一個研究的重點在于振動控制頻段的拓寬。RUZZENE等[13-14]利用手性結構進行梯度設計，在低頻段實現了局域共振帶隙的拓寬。但利用局域共振結構，往往存在附加質量過大的問題，針對這一問題，YILMAZ等[15-16]提出了一種質量放大結構，并對其能帶特性進行了分析，結果表明質量放大結構可以通過較小附加質量實現低頻帶隙。

綜上所述，本文基于質量放大思想，結合局域共振機理，設計了一種質量放大局域共振聲子晶體，并將其應用于梁框架結構的減振設計中，有效地實現了對結構低頻振動的抑制，并制備實驗樣件，進行了實驗驗證。

1　質量放大結構模型

1.1質量放大的基本思想

考慮如圖1所示的彈簧質量系統[15-16]，三角形三邊視為無質量彈簧，三個端點為集中質量。其中，水平方向兩端點質量設為m，兩斜邊交點質量設為ma;斜邊彈簧剛度為ka，水平邊彈簧剛度為k。

圖1　質量放大結構示意圖Fig.1　Scheme of an inertial amplification structure

這里假設斜邊彈簧為剛性，當兩個水平質點m產生相向位移u時，考慮θ值很小的情況，則質點ma沿y軸方向的位移為u∕tanθ[15]。

系統總動能T可以由三個質量的動能之和求得：

(1)

水平彈簧k的彈性勢能V可以表示為：

(2)

由式(1)和(2)，根據拉格朗日方程，可以得到：

(3)

式(3)中略去高階小量可以得到系統振動方程[16]如下：

(4)

則系統共振頻率為：

(5)

1.2質量放大系統的負剛度特性

研究表明[17]，上節描述的質量放大結構，還具有負剛度特性，因此，有望為低頻振動能量耗散提供一種實現途徑。為了說明負剛度特性對系統損耗因子的影響，選取圖2所示的單自由度質量-彈簧-阻尼系統，分析剛度κ1與損耗因子的關系。

圖2系統中的負剛度成分κ1是由圖1中的質量放大結構提供時[17]，當θ很小時，可以近似設定為穩定線性系統。其中κ2-η為彈簧-阻尼系統，黏度用η表示，k1為彈簧，m1為質量。對于上述系統，設在外界載荷p1作用下質量位移為u1，f為彈簧阻尼系統κ2-η的產生的彈性力。

圖2　含有負剛度結構的質量-彈簧-阻尼系統Fig.2　Mass-spring-damping system incorporating a spring with negative stiffness

系統運動方程可以表示為如下形式：

(6)

對該彈簧-阻尼系統，其基本阻尼方程為[13]：

(7)

式(7)通過Fourier變換，可以表達為：

(8)

因此，由式(8)可以計算得到剛度k*

(9)

為了更好明顯揭示損耗因子tanδ與負剛度κ1的關系，參數設定m1=1×10-12kg，k1=5 kN/m，κ2=5 kN/m，取黏度η=0.1 kN s/m，在質量塊m1處設定外力p1激勵頻率ω=1 rad/s。如圖3所示，橫坐標表示剛度κ1，縱坐標用lg(tanδ)表示損耗因子的大小，在剛度κ1≈-2.5 kN/m時，系統的損耗因子達到峰值，與剛度κ1取正值相比，結構的損耗因子明顯增大，從理論上講，在某個特定的剛度條件下，整體結構具有極大的損耗因子特性。以上結果表明，具有負剛度特性的黏彈性阻尼結構系統可以有效提高結構的損耗因子，因此利用這種負剛度結構可以有效提高材料對能量的低頻耗散作用。

圖3　剛度κ1與損耗因子特性曲線Fig.3　Loss factor as a function of stiffness κ1

2　質量放大結構能帶結構和波傳播特性

2.1質量放大結構元胞設計

基于上節思想，針對如圖4(a)所示的元胞結構[15]，構建無限周期結構。其中包含12組圖1所示的質量放大單元，斜邊交叉點質量為ma，元胞中心質量為mc，元胞單元長度為a。

同時，考慮有限周期的單元結構，構建包含有6×6個元胞的質量放大結構，如圖4(b)所示，其中左下角和右下角節點處進行鉸支約束，其元胞結構的第一Brillouin區如圖4(c)所示。

圖4　質量放大局域共振模型Fig.4　Inertial amplification locally resonant model

2.2帶隙機理分析

將圖4中的質量放大結構沿x,y軸兩個方向周期排列，構成無限周期結構。利用Comsol Multiphysics軟件，建立單個元胞二維有限元模型，其中元胞中的梁為Euler-Bernoulli梁，節點上設置集中質量。根據周期結構Bloch定理，在各元胞邊界節點上，施加Bloch邊界條件，對位移和轉角進行約束，約束表達式如下：

u(x+a)=u(x)eika

(10)

對于二維梁單元，向量u包含三個自由度，分別為x，y方向的位移和面內轉角，根據周期結構平移周期對稱性，波矢k=[kx,ky]只需遍歷不可約Brillouin區邊界，不可約Brillouin區如圖4(c)陰影所示[18]。

質量放大結構中梁的材料參數如下：楊氏模量E=7.7×105Pa，泊松比μ=0.480 8，密度ρ=1 300 kg/m3，元胞中斜邊梁橫截面尺寸設為hy1=2 mm,hz1=20 mm,其他梁截面尺寸為hy2=5 mm,hz2=20 mm；集中質量m=mc=0.25 kg，ma=0.05 kg；θ=12.5°。

對于圖4(b)所示的有限周期結構，在結構最上端中點處施加豎直向下的點激勵載荷，在底邊中點拾取響應，拾取輸入輸出兩點加速度得到加速度頻響函數，通過加速度頻響函數研究彈性波在有限周期結構中的傳播情況。無限周期結構能帶結構圖和有限周期結構加速度頻響函數如圖5所示。

圖5　質量放大結構能帶結構和加速度頻響函數Fig.5　Band gap of inertial amplification lattice and frequency response function plot for the finite inertial amplification structure

如圖5(a)能帶結構圖中在90 Hz以內出現兩條較寬的帶隙(46 Hz～52 Hz; 52 Hz～64 Hz)，與之對應的在圖5(b)所示的加速度頻響函數中出現了兩段較為明顯的衰減，兩段衰減區域內出現了兩個局部最大衰減點A和B，這里稱A，B為反共振點，即當激振力的頻率為A或B時，會在對應頻率處出現使振動幾乎停止的反共振頻率。反共振點一般在兩種情況出現[16]：一種是整體結構出現局域共振現象；另一種是子結構與主結構耦合振動產生的，如果子結構存在質量放大結構，子結構振動引起主結構振動，那么帶隙可能在低頻段出現。由于結構的復雜性，不同梁振動相互耦合造成了模態的多樣化，在低頻處質量放大結構出現多個共振點，但衰減較小，且帶隙寬度很窄，這里不參與比較研究，主要針對A，B兩點進行分析。根據加速度頻響函數僅僅可以觀察到特定點的加速度信息情況(輸入點、輸出點)，為研究整個有限周期結構各點的能量分布情況，可以通過加速度數值分布圖觀察整個結構各處的能量分布情況。圖6為A，B兩點的加速度分布圖，兩點在帶隙中，加速度數值都不大，取對數可以更直觀地描述能量分布情況，數值越小，代表振動越微弱。圖6可以看到在整個結構中(除激振點處)加速度數值都不大，在整體結構中A點能量比B點能量更小些，這與圖5(b)衰減深度相吻合。值得注意的是，A點能量主要局域在激勵點附近，而B點能量分布在整個結構。在A點頻率下，結構下半部分幾乎不振動，在B點頻率下，結構下半部分除節點外也一起振動，B點是典型的局域共振現象。第一段帶隙為質量放大產生的帶隙，第二段帶隙為局域共振產生的帶隙。

圖6　有限周期質量放大局域共振聲子晶體加速度數值分布圖Fig.6　Contour plot of acceleration response of the finiteIALRPC

根據上述分析，可以看到質量放大帶隙產生機理與傳統局域共振帶隙產生機理略有不同，本節中質量放大帶隙與局域共振帶隙發生了耦合現象，于是設想利用質量放大機理，通過更小的附加質量在低頻產生帶隙，從而減輕整體結構的質量。

2.3角度對第一帶隙影響規律分析

上節描述了質量放大帶隙的產生機理，為更好地實現利用質量放大結構在低頻減振的效果，通過公式(5)可知，角度的變化對結構共振頻率有著很大的影響，本節分析角度對第一帶隙的影響。圖7(a)、(b)分別對應θ=12.5°和θ=9°的能帶結構圖。質量放大結構形式不變，材料參數不變，元胞晶格常數a=90 mm，hy1=2 mm，hz1=20 mm，hy2=5 mm，hz2=20 mm。考慮實際情況下振子質量，這里選取ma=0.017 6 kg，m=0.002 kg,mc=0.008 kg。

圖7　能帶結構隨角度θ的變化Fig.7　Band structure variation with the change of θ

圖7(a)中，θ=12.5°在20 Hz上下可以明顯看到兩條帶隙，圖7(b)中θ=9°只出現了一個較寬的帶隙，帶隙中心頻率位置都出現在20 Hz，與下節需要減振的框架一階固有頻率相近。由于質量放大作用，改變θ值，可以看到第一帶隙和第二帶隙發生了很明顯的變化，因此，可以通過結構設計，實現在特定頻率下的振動抑制。

3　基于質量放大結構的減振設計

通過以上分析，本文選取一邊固定的鋁制矩形框架作為減振結構，其一階固有頻率在19 Hz，其外框尺寸為586 mm×106 mm×16 mm，梁截面尺寸為：5 mm×16 mm。內部嵌入的質量放大整體結構尺寸為576 mm×96 mm×16 mm，針對這一結構的低頻振動抑制，將設計的質量放大局域共振聲子晶體嵌入框架中，如圖8所示，其材料參數為：E=1.175×105Pa，μ=0.480 8，ρ=1 300 kg/m3，橡膠材料的損耗因子為0.3。

圖8　矩形框架嵌入周期質量放大結構Fig.8　Beam frame with periodic inclusion ofIALRPC

如圖9(a)～(d)所示，設計不同形式的質量放大結構嵌入矩形框架內，在不同的節點嵌入不同半徑的質量塊，所有直邊附加質量塊半徑r1,所有對角斜邊附加質量塊半徑為r2，中心節點質量塊半徑為r3，具體參數如表1所示，建立有限元模型求解結構響應。模型中，結構激勵方式為點激勵，在靠近矩形框底端一側選取一點進行激勵，在靠近頂端另一側位置拾取響應信號，矩形框底端垂直固定在振動臺上。

表1　質量放大局域共振聲子晶體結構質量塊參數

圖10(a)中在0～220 Hz全頻段都較好地實現了對矩形框架振動的抑制，其中實線代表原空框頻響函數曲線，虛線代表空框加材料的頻響函數結果，在原矩形空框第一階共振頻率處從48 dB衰減到18 dB，但新產生了較高的一階共振峰，為更好地實現對原空框一階共振頻率的抑制，改變結構形式，采用質量放大結構b，仿真結果如圖10(b)，結果顯示原空框第一階共振峰值處的振動較好地得到有效地抑制，同時新產生的共振峰值與圖10(a)新產生的一階共振峰相比，也衰減了5 dB，但一階共振峰值仍未完全得到抑制。結構c中繼續增加質量塊半徑，仿真結果對應圖10(c)，從圖中可以看到新產生的第一共振峰值較圖10(b)有所升高，說明單純增加質量塊半徑并未取得更良好抑制振動的效果。根據約束條件，矩形框架第一階模態振型自由端將產生較大位移變形，根據振型特點，如圖9質量放大結構(d)所示，內部結構采用梯度設計，即質量塊半徑r1、r2在每個單元半徑增加都1 mm，r3保持不變，這里改變質量塊半徑r，即改變共振頻率，仿真結果如圖10(d)所示，在第一固有頻率處振幅從原來的50 dB直接衰減到0 dB左右，對一階固有頻率處振動幅值實現更大的衰減，同時注意到在180 Hz處實現了對原矩形框更顯著的抑制振動的效果，這是梁的局部振動產生的附加效果，整體結構在0～220 Hz抑制振動效果顯著。

圖9　質量放大局域共振聲子晶體結構不同設計Fig.9　Different designs of theIALRPC inclusion for the frame

4　實驗驗證

4.1實驗搭建

為了測試仿真結果的正確性，制備實驗樣件，并搭建了振動測試分析實驗系統，如圖11所示。通過螺栓約束，矩形梁框架垂直安放在光學隔振平臺上，使用激振器(NEU 4824)在矩形鋁框外垂直激振，利用功率放大器(B&K 2719)對激振器輸出的激勵力進行設定，激勵力使用白噪聲頻譜激勵，設定激勵范圍0～400 Hz，輸入點和輸出點的加速度響應通過加速度計1、2(B&K 4534B)采得，利用B&K Pulse設定8次平均平滑處理以減小誤差。進行沖擊激勵分析時，整個矩形框架仍然垂直固定在臺面上，其他約束條件不變，在原來的激振器位置處，采用力錘(ENDEVCO 2303-10)沖擊，設定力錘響應閾值，拾取加速度計2(B&K 4534B)進行分析。

質量放大結構通過水射流進行加工，在圓孔處填充柱狀振子，鋁制矩形框架采用線切割加工，其外框尺寸為635 mm×111 mm×16 mm，實際實驗測試中選用如圖9(b)的結構，將切割好的橡膠嵌入矩形框內，進行實驗測試。

圖10　結構頻響函數仿真計算結果Fig.10 Simulation results of frequency response function

圖11　實驗測試系統Fig.11 Experimental measurement system

4.2實驗結果

圖12所示為仿真加速度頻響函數曲線和實驗中測試得的加速度頻響曲線。從圖中可以看到，實驗結果與仿真結果在測試的0～400 Hz全頻段內整體趨勢一致，吻合效果良好，有效驗證了仿真結果的正確性。仿真和實驗結果都顯示在第一固有頻率處，振動峰值從原來的50 dB衰減至約30 dB，第一固有頻率處幅值衰減40%，抑制振動效果顯著；在150～400 Hz頻率范圍內，可以看到嵌入橡膠后矩形框架整體抑制振動效果良好，特別的發現在第二階固有頻率處從原來的47 dB衰減到現在的5 dB，第三階固有頻率處從原來45 dB也衰減到5 dB,衰減都達到了85%以上。

對比仿真結果與實驗結果，發現實驗中在200～400 Hz與仿真結果相比振動衰減幅度數值更大，這主要是由于橡膠的損耗因子是隨頻率變化的，通常情況下在中高頻表現的效果更好；同時觀察到嵌入質量放大結構后的實驗測試結果沒有仿真結果的平滑，這與實際結構中橡膠無法一直提供仿真中的設定的較大阻尼因素有關；在實驗測試中空框高頻的固有頻率與仿真結果相比存在一些誤差，這與在實際過程中激振器無法按照設定的寬頻白噪聲頻譜進行激勵有關，在較低的頻率下激勵頻率存在誤差，同時在實際實驗測試中，嵌入的橡膠與矩形框架的貼合程度與仿真中設定的條件無法完全吻合也對實驗結果產生了一些影響。

圖12　仿真與實驗加速度頻響函數Fig.12 Frequency response function obtained from simulation and experiments

圖13所示為力錘瞬態激勵下，加速度時域響應曲線，從結果中可以看出，矩形框架嵌入橡膠后能在0.2 s內迅速對沖擊引起的振動形成抑制，而原矩形框對沖擊載荷引起的振動在4 s內仍未完全抑制。因此，嵌入質量放大結構后的矩形框架可以對沖擊載荷引起的振動迅速抑制。

圖13　沖擊時域響應Fig.13 Measured transient response for impact excitation

5　結　論

本文針對中低頻段，基于周期結構的Bloch定理和有限元軟件對一種三角形質量放大結構的能帶結構和波傳播特性進行了分析，同時利用這種質量放大結構對矩形框架進行減振結構設計，并進行了實驗驗證。

結果顯示：

(1)利用質量放大結構可以實現較小質量在低頻產生帶隙，具有負剛度單元的黏彈性材料可以提高整個結構黏彈性阻尼材料的損耗因子，提高了其阻尼特性，增加能量耗散能力。

(2)嵌入質量放大結構阻尼材料后的矩形框架在中低頻段實現了對原矩形框振動的良好抑制，通過改變結構形式，對矩形框架第一階固有頻率處的振動進行良好地抑制。針對沖擊載荷也實現了在極短時間內對振動迅速抑制。

本文對負剛度質量放大結構在工程中的應用了提供了新的思路，具有重要的參考價值。

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Low frequency vibration reduction design for inertial local resonance phononic crystals based on inertial amplification

ZHANG Yin1,YIN Jianfei2,WEN Jihong2,YU Dianlong2

(1.Chian Satellite Maritime Tracking and Control Department,Jianghin 214431,China;2.Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

To realize low frequency structural vibration reduction,a type of inertial amplification local Resonance phononic crystals (IALRPC)was designed.The finite element method (FEM)in conjunction with Bloch theory was used to study the energy band structure of IALRPC and the wave transmission in a finite IALRPC was also studied using FEM.Furthermore,the form mechanism and features of band gaps induced due to inertial amplification and local resonance were investigated and compared.Taking low frequency vibration reduction of a beam frame structure as an objective,an IALRPC was designed to be embedded into the beam frame structure.The significant low frequency vibration reduction was realized due to the band gaps features of the IALRPC and using damping of viscoelastic material.Then,the design of the IALRPC was optimized to achieve full suppression of the fundamental modal vibration of the beam frame structure.A specimen was manufactured and tested.The results showed that the IALRPC proposed here can provide an effective new method for structural low frequency vibration reduction.

inertial amplification; local resonance; phononic crystals; vibration control

國家自然科學基金(51275519;51405502)

2015-07-02修改稿收到日期：2015-09-02

張印 男，碩士，1990年6月生

溫激鴻 男，研究員，博士生導師，1971年生

TH113.1；O48

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.005