直線參數方程在解題上的應用探析

吳歡

【摘要】直線參數方程是高中數學新課程選修4-4中的內容，也是新課程新增內容。其在求圓錐曲線的切線方程、解與線段中點有關的問題、解與線段長有關的問題、解決有關極值的一些問題等方面有著重要的作用?？v觀歷年來高考真題，不滿發現直線與圓錐曲線的綜合題向來是高考的重點與熱點，而如果合理利用直線方程的另一種形式――參數式，則可以讓學生從一個全新的角度去認識這些問題，幫助學生更快地找到解題方式。本文就如何利用直線參數方程解題，作了詳細闡述，以資參考。

【關鍵詞】直線參數方程；解題；應用

一、參數t的幾何意義及常用性質

設過定點M0（x0，y0），且傾斜角為α的直線l參數方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數）。其中，參數方程中的參數t具有四個常用的性質：

第一，若t>0，點M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而當t=0的時候，點M和M0是重合的[1]。

第二，直線參數方程中的參數t可以代表直線l上M0到任意點M（x，y）有向線段M0M的數量，用公式表示為t=M0M。

第三，若直線l上的M1點與M2點對應的參數為t1與t2，那么，M1M2=t1-t2，并且滿足M0M1M0M2=t1t2的關系。如果M0點在M1與M2之間，則滿足t1t2<0的關系，如果M0點在M1與M2之外，則t1t2>0。

第四，若點M為M1M2中點，而點M對應的參數為t，那么t=t1+t22。

二、利用直線參數方程解題

1.利用直線參數方程求圓錐曲線的切線方程

直線參數方程在圓錐曲線切線方程中的實際應用中，最重要的就是將切線的方程轉化成直線參數方程，然后將其代入到原有的圓錐曲線方程中，進而獲得有關參數t的二次方程。下面以過定點的切線為例，求解橢圓的切線方程，具體方法如下：

題目內容為，橢圓方程為9x2+y2=25，求過定點（-1，4）的切線方程。

解題思路如下，因為定點在橢圓之上，所以，可以將橢圓方程轉換成含有t的切線方程，即x=-1+tcosα

y=4+tsinα（t為參數），然后將其帶入到9x2+y2=25公式中，進而獲取方程為9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，經過相應的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同時，目標直線與橢圓的位置關系是相切，所以可以形成關系式，即△=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），經整理可得出切線的方程，即9x-4y+25=0。

2.利用直線參數方程解與線段的中點有關的問題

在求解線段中點的相關問題中可以引進直線的參數方程，若線段MN的中點為M1，并且具體的坐標是（x0，y0），將M，N的參數分別假定為t1與t2，那么t1+t2=0。通過運用上述關系式，可以求解線段所在直線的斜率，或者是始終變化中點（x0，y0）坐標間的具體關系[3]。

以雙曲線的數學運算為例進行分析，雙曲線的方程為x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定點（4，1）平分，求解直線AB的方程。

可以將直線AB的方程轉換成參數方程，即x=4+tcosα

y=1=tsinα（t為參數）然后將參數方程代入到原有的雙曲線方程中，獲得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，經整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同時，AB弦被（4，1）點平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直線AB方程可以表示成y-1=3（x-4），經整理得出3x-y-11=0。

3.利用直線參數方程解與線段長有關的問題

應用直線參數方程來求解與線段長相關的數學問題時，既可以避免求解交點的坐標，還無需應用兩點之間的距離公式。下面以具體數學例題為例進行分析：

已知拋物線的方程為y2=4x，其焦點坐標F為（1，0），求解過此焦點且傾斜角是3π4的直線AB長。首先可以將拋物線方程轉換成參數方程，為x=1+tcos3π4

y=tsin3π4（t為參數），經整理可得，x=1-22t

y=22t（t為參數），然后將所得公式代入到拋物線方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通過根和系數之間的關系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，進而得出直線AB的長度為8。

4.利用直線參數方程解決有關極值的一些問題

在數學問題中有關極值的問題也可以使用直線參數方程來解決，下面以具體例題為例進行分析。

已知直線經過定點P，其坐標為（1，1），并且其傾斜角為α，同時直線與橢圓相交與M、N兩點，橢圓的方程為x24+y2=1，則當α為何值時，可以使|MP|·|NP|取得最值，并求解最值。

具體的解題過程如下，可以將直線方程轉換成參數方程，因為直線過定點（1，1），并且傾斜角為α，則直線的參數方程為{x=1+tcosα

y=1+tsinα（t為參數），并將參數方程代入到橢圓方程中，進而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，經整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|·|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情況下，|MP|·|NP|可以取得最大值，為1。而當α=π2的時候，|MP|·|NP|可以取得最小值，為14。

三、結語：

在數學學科的問題解決過程中，適當地使用參數方程可以使數學求解過程更簡便。在學習直線參數方程的過程中，最重要的就是正確理解參數t的幾何意義以及常用的性質，并且通過正確地使用參數t來解決文章所闡述的數學問題。在實際的學習與應用的過程中，應仔細品味參數實際意義，并在數學相關問題的解決中發揮其真正的作用。

參考文獻：

[1]牛錫東.直線參數方程中參數的幾何意義及應用[J].聊城大學學報，2013

[2]朱夢瑤.直線參數方程的應用[J].青海教育，2014

[3]杜今芳.例談直線參數方程及其應用[J].中學數學月刊，2010