函數解析式的求法探究

張娟

由實際問題建立函數關系式，一般可通過研究自變量與函數間的等量關系，再確定自變量的取值范圍。根據條件求函數表達式是高中數學的重要內容，也是教學難點。對此，本文將介紹幾種求函數表達式的常用方法。

1.定義法（配方法）

由已知條件f[g（x）]=F（x），可將F（x）改寫成為g（x）的表達式，然后以x代g（x），便得f（x）的表達式。

例1已知f（）=，求f（x）的表達式。

解∵=（）2-+1，∴f（x）=x2-x+1（x≠1）。

2.待定系數法

由未知出發的轉化，通常設一個函數，來求這個函數的系數。

例2已知f（x+2）=x2+x+2，求f（x）的表達式。

解設f（x）=ax2+bx+c，

∴f（x+2）=a（x+2）2+b（x+2）+c=ax2+（4a+b）x+4a+2b+c，

又f（x+2）=x2+x+2，比較同類項的系數，得a=1，

4a+b=-3，

4a+2b+c=5。∴a=1，

b=-7，

c=15。∴f（x）=x2-7x+15。

3.變量代換法

由已知條件f[g（x）]=F（x），可令t=g（x），然后反解出x=g-1（t）。代入F（x）即可得f（t）的表達式。

例3 已知f（ex-1）=2x2-1，求f（x）的表達式。

解 令t=ex-1（t>0），則x=1+lnt，代入已知，

得f（t）=2（1+lnt）2-1=2ln2t+4lnt+1，

即f（x）=2ln2x+4lnx+1（x>0）。

4.函數方程法

將f（x）作為一個未知數來考慮，建立方程（組），消去另外的未知數便得f（x）的表達式。

例4 已知af（xn）+f（-xn）=bx，其中a2≠1，n為奇數，試求f（x）的表達式。

分析 已知是關于f（xn）和f（-xn）的一個方程，利用n為奇數，用-x代x，

又得到一個f（xn）和f（-xn）的一個方程。

由這兩個方程構成的方程組便可求出f（xn），即可得f（x）。

解∵af（xn）+f（-xn）=bx，①

以-x代x，又得

af（-xn）+f（xn）=-bx。②

解由①、②式構成的方程組，得

f（xn）·（a2-1）=b（a+1）x。故a2≠1，∴f（xn）=x，

即f（x）=。

5.參數法

引入某個參數，然后寫出用這個參數表示變量的式（即參數方程），再消去參數便得f（x）的表達式。

例5 已知f（3sinx）=ctg2x，求f（x）的表達式。

解 可令x=3sinθ

y=ctg2θ，即x=3sinθ

y=csc2θ，消去θ便得y=（）2-1，

于是得f（x）=-（-3≤x≤3，且x≠0）。

6.特殊法

在已知條件中將某些字母（變量）取特殊值，使問題具體化、簡單化，從而求得f（x）的表達式。

例6 已知f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），且f（0）=1，求f（x）的表達式。

解 可令x=0得f（-y）=1-y（-y+1），

再以x代-y，便得f（x）=1+x（x+1），

即f（x）=x2+x+1。

7.圖象法

函數的圖象是函數表示的一種形式，在解題過程中通常把函數圖象改寫成f（x）的表達式，數形結合是數學解題的常用的基本的思想方法。

例7 根據函數y=f（x）的圖象，求f（x）的表達式。

解∵圖象是線段，∴函數關系式是一次式，于是分段

可設 f（x）=kx+b，利用侍定系數法，

可得 f（x）=

x+1，（-2≤x<0）

x-1，（0≤x<2）