圓錐曲線探索型問題求解策略

劉智恂 徐立新

【摘 要】存在類探索問題是圓錐曲線章節(jié)，命題活動(dòng)開展過程中的重要組成類型，本文針對(duì)圓錐曲線探索型問題求解策略，擇取兩個(gè)具體方面展開了簡(jiǎn)要分析。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；探索型問題；求解；策略

圓錐曲線知識(shí)章節(jié)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科現(xiàn)行知識(shí)構(gòu)成體系中的重要組成內(nèi)容，其本身憑借中數(shù)學(xué)運(yùn)算量大，命題內(nèi)容門類廣泛且變化特征反復(fù)等特點(diǎn)，逐步成為高考數(shù)學(xué)主觀題部分的重要命題內(nèi)容，探索類命題圓錐曲線章節(jié)現(xiàn)有命題類型構(gòu)成體系中的重要組成部分，憑借其本身具備的已知條件簡(jiǎn)化性，以及運(yùn)算求解結(jié)果的多樣性特征而得到了高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的密切關(guān)注，有鑒于此，本文將針對(duì)圓錐曲線探索型問題求解策略展開簡(jiǎn)要論述。

一、橢圓中的存在型問題計(jì)算探索方法

例1：已知某橢圓的連個(gè)焦點(diǎn)為F1（-，0），F(xiàn)2（，0），其離心率為e=。求解如下問題：

（1） 求解該橢圓的解析幾何方程。

（2） 以該橢圓圖形的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，問這樣的三角形能否成功做出（或者說(shuō)這樣的等腰三角形是否存在）？如果存在，清確定總共能夠做出幾個(gè)，如果不存在，清說(shuō)明你的判斷理由。

解：

（1）設(shè)該橢圓的方程為+=1（由于已知該橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，不妨設(shè)a>b>0），且c=，由于e=c/a=/2，直接可得a=2，由此可知b=1，因此待求橢圓圖形的解析幾何方程為+y2=1。

（2） 假設(shè)存在滿足條件的直角三角形ABC，則根據(jù)已知條件和計(jì)算結(jié)論，可知等腰直角三角形直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是B（0，1），由給定的題設(shè)情境易知，等腰直角三角形ABC直角邊BA和BC不能與平面直角坐標(biāo)系的x軸或是y軸平行或者是垂直，因可設(shè)直角邊BA所在直線方程為y=kx+1（k<0），且可設(shè)直角邊BC所在直線的方程為y=（-1/k）x+1。

將直線方程y=kx+1與橢圓方程+=1聯(lián)立，可知點(diǎn)A的平面坐標(biāo)為A（，+1）。由此：

同理，可知|BC|=。由于|AB|=|BC|，可知-k（4+k2）=1+4k2。運(yùn)用求解代數(shù)方程的方法可以得到k=-1，或者是k=，因此可知滿足題干條件等腰直角三角形是存在的，并且總共存在三個(gè)。

二、雙曲線中的存在型問題計(jì)算探索方法

例1：請(qǐng)求解是否存在同時(shí)滿足如下條件的雙曲線，如存在，請(qǐng)求解雙曲線方程，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）漸進(jìn)線方程為x±2y=0。

（2）平面上點(diǎn)A（5，0）與雙曲線方程上一動(dòng)點(diǎn)P的最小距離為。

解：假設(shè)存在同時(shí)滿足上述條件的雙曲線。

如果該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，同時(shí)源于該雙曲線的漸進(jìn)線所在直線方程為x±2y=0，因此可以將該雙曲線圖形的解析幾何方程設(shè)定為-=1，假設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），則有|AP|==（已知≥2b）。

假若2b≤4，則直接可有b≤2，則在x=4的條件下，|AP|將會(huì)取得最小值。也就是要求=，在這一數(shù)學(xué)運(yùn)算情境下，上述數(shù)學(xué)方程顯然無(wú)解，因而在b≤2代數(shù)條件下，滿足題設(shè)約束條件的雙曲線方程是不存在的。

而假若2b>4，也就是b>2的數(shù)學(xué)情境下，在x=2b的數(shù)學(xué)運(yùn)算條件下，|AP|將會(huì)直取得最小值，且這時(shí)會(huì)會(huì)有|2b-5|=，這時(shí)可以解得b=或者是b=<2（應(yīng)當(dāng)舍去），而在這一求解情境之下，直接可以求解到能夠同時(shí)滿足題干約制兩個(gè)基本限制性數(shù)學(xué)條件的雙曲線方程解析式，并且其在標(biāo)準(zhǔn)型表達(dá)-條件下的數(shù)學(xué)方程是：-=1。

同理，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，能夠求解到同時(shí)滿足題干中；兩個(gè)約束條件的雙曲線方程為y2-=1。

由此可知，總共存在兩條滿足題干中約制條件的雙曲線方程，并且兩條雙線方程的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)學(xué)方程表達(dá)式分別為-=1，以及y2-=1。

結(jié)語(yǔ)

針對(duì)圓錐曲線探索型問題求解策略問退，本文圍繞橢圓和雙曲線中的存在型問題計(jì)算方法，旨意為相關(guān)領(lǐng)域的研究人員提供借鑒。

作者簡(jiǎn)介：

劉智恂（1994.4-），男，郴州資興，邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，學(xué)士學(xué)位，研究方向：純粹數(shù)學(xué)。

徐立新（1946.1-），男，湖南邵陽(yáng)，邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，學(xué)士學(xué)位，職稱：教授 研究方向：組合優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝偉.新課標(biāo)高考中圓錐曲線最值問題的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（05）.

[2]鄭昭眾.例談圓錐曲線問題求解的轉(zhuǎn)化策略[J].高中數(shù)理化，2011（21）.

[3]王中華，黃海英.圓錐曲線探索型問題的求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（高三版），2007（03）.