帶Peαno有余項的Tαylor公式的推廣及應用

【摘 要】文章簡要介紹了泰勒公式及其幾個常見函數的展開式， 泰勒公式是高等數學中一個非常重要的內容，它將一些復雜函數近似地表示為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數學問題的有力工具，本文討論了應用泰勒公式求高階導數、判斷函數的凸凹性及拐點的問題以及帶有Pe？琢no余項的T？琢ylor公式有關的導數概念的推廣即Pe？琢no導數。

【關鍵詞】泰勒公式；極限；斂散性；凸凹性；拐點

泰勒公式是數學分析中一個重要的內容，微分學理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數的增量，自變量增量與一階及高階導數的關系，將一些復雜的函數近似地表示為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數學問題的有力工具。泰勒公式的余項有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式， 皮亞諾型余項；另一種是定量的，如拉格朗日余項、柯西型余項等。可以用來很好的解決有關函數高階導數問題。帶有余項的公式建立了函數與它的階導數之間的關系，在理論和實踐中有廣泛的應用。

泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計算、極限計算、函數凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等方面有重要的應用。通過本文的論述，我們可以了解到高階導數的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數二階及二階以上可導，不妨先把函數在指定點展成泰勒公式，一般是展成比最高階導數低一階的泰勒公式，然后根據題設條件恰當選擇展開點（展開點未必一定是具體數值點，有時以為佳）。只要在解題訓練中注意分析、研究題設條件及其形式特點，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。

作者簡介：郭勝紅（1979.2-），男，甘肅蘭州人，漢族，講師.主攻方向：數學教育。

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