基于熵權(quán)和多目標優(yōu)化的投標報價方案優(yōu)選

南鐵雷

摘要： 隨著招標投標制的推行以及工程量清單計價方式的實施，我國水利工程建設市場面臨著越來越激烈的競爭，投標人為了在盡可能中標的同時實現(xiàn)利益的最大化，往往采用不平衡報價法進行投標。這不僅對發(fā)包人的經(jīng)濟利益造成損害，還擾亂了招投標的正常秩序，因此發(fā)包人在評標階段要對各投標方案進行優(yōu)選。本文將熵權(quán)理論引入多目標優(yōu)化的數(shù)學模型中，利用熵權(quán)法較為客觀地確定各指標權(quán)重，并通過分析計算各投標方案與理想點間的相對海明距離，確定各投標方案的不平衡度，從而達到優(yōu)選投標方案的目的。案例分析表明，該方法準確有效，能夠為招標人評標提供參考和依據(jù)。

Abstract： With the implementation of the bidding system and the implementation of the bill of quantities， the competition in the construction market of water conservancy projects is becoming increasingly fierce， the bidder in order to achieve the best possible bidder and achieve the maximum benefits， often using unbalanced bidding method. This not only damages the interests of the employer， but also disrupts the normal order of the bidding. Therefore， the employer in the bid evaluation stage to optimize the tender scheme. In this paper， the author introduced the theory of entropy weight into the mathematical model of multi-objective optimization， and used it to determine the index weight objectively. Then the author analysed and calculated the Relative Hamming Distance of each bidding scheme and the ideal point， and determined the degree of imbalance in the tender. Thereby we can select the best winner. The case analysis shows that the method is accurate and effective， and can provide reference and basis for the bid evaluation.

關(guān)鍵詞： 熵權(quán)；多目標優(yōu)化；招標投標；不平衡報價

Key words： entropy weight；multi-objective optimization；bid invitation；unbalanced bids

中圖分類號：TU712 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）09-0030-04

0 引言

隨著水利工程建設市場的競爭日趨激烈，投標人為了中標盈利并轉(zhuǎn)移風險，往往采用不平衡報價策略進行投標。不平衡報價是指投標人綜合考慮本企業(yè)的實際水平和市場因素，通過常規(guī)報價分析確定投標總報價后，在總報價基本不變的基礎上，刻意增大或減小某些項目的報價，以期帶來收益最大化的投標報價策略[1-2]。不平衡報價者一旦中標，必然會導致“低價中標，高價結(jié)算”，使發(fā)包人的利益遭受損失，因此在評標階段要對各投標報價方案進行優(yōu)選，避免不平衡報價者中標。Tong和Lu（1992年）[3]對不平衡報價的概念和運用形式進行了較為詳細的分析。烏云娜、郝越明[4]量化分析了不平衡報價可能給發(fā)包人增加的支出。唐曉飛[5]分析了在評標階段招標人如何定量識別報價的不平衡程度。本文將熵權(quán)引入到多目標優(yōu)化的數(shù)學模型中，以合理的評價基點為基準，提出一種通過分析各投標人的清單項目投標單價確定不平衡度的方法，為招標人評標提供參考。

1 多目標優(yōu)化理論

在一個復雜的系統(tǒng)工程中，事件往往是多目標問題。理想情況下，每個多目標問題都存在能使所有目標達到最佳的方案，但在現(xiàn)實情況下，由于目標間存在相互關(guān)聯(lián)和制約，很難找到一個能夠使多目標問題的所有目標同時達到最優(yōu)的方案。為了解決實際問題，我們不得不在所有可行方案中選擇合適較優(yōu)的方案，因而多目標優(yōu)選問題就轉(zhuǎn)化為了整體擇優(yōu)問題。多目標問題各個目標的量綱往往不同，不具有可比性，需先對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理，再運用理想點法，計算比較所有非劣解與理想點之間的距離特征值，則該多目標問題的優(yōu)化解就是與理想點最接近的非劣解[6-7]。

1.1 構(gòu)建多目標模型

設多目標問題有p個目標，分別為：

f1（x），f2（x），…，fp（x）

將目標優(yōu)化（越大越優(yōu)或越小越優(yōu)），可表示為：

max或min{f1（x），f2（x），…，fp（x）} X∈D

若存在X*，使f1（x），f2（x），…，fp（x）達到最優(yōu)，則稱X*為該問題的理想點，即存在

F（X*）=[f1（X*），f2（X*），…，fp（X*）]T

滿足所有約束條件。

而最接近理想點的非劣解即為優(yōu)化解。

若非劣解分別為：

F1（x）=[f11（x1），f12（x1），…，f1p（x1）]T

F2（x）=[f21（x2），f22（x2），…，f2p（x2）]T

…

Fk（x）=[fk1（xk），fk2（xk），…，fkp（xk）]T

而該多目標問題的理想點為：

F*=[f1*，f2*，…，fp*]T

式中的fj*由原目標優(yōu)化求出。則此時的fj*可統(tǒng)一表達為：

X=（x1，x2，…，xn）T，使max或min fj（x）約束于qj（x）？燮0（j=1，2，…p）

從而將非劣解和理想點的目標值用最優(yōu)隸屬函數(shù)？滋（fij）表征，非劣解的目標值在目標論域上的模糊子集為：

=[？滋（f11），？滋（f12），…，？滋（f1p）]T

=[？滋（f21），？滋（f22），…，？滋（f2p）]T

…

=[？滋（fk1），？滋（fk2），…，？滋（fkp）]T

理想點的目標值在目標論域上的模糊子集為：

=[？滋（f1*），？滋（f2*），…，？滋（fp*）]T

這樣，不同量綱的目標值，均可用模糊隸屬函數(shù)法處理后進行計算。

1.2 隸屬函數(shù)

以上模糊子集可用隸屬函數(shù)來表征，其隸屬函數(shù)分為定量指標隸屬函數(shù)和定性指標隸屬函數(shù)，分別描述為：

①定量指標隸屬函數(shù)。

若目標屬性以小為優(yōu)，即越小越優(yōu)，則其最優(yōu)隸屬函數(shù)可表示為：

？滋ij= （1）

式中，？滋ij為第i方案第j個目標的最優(yōu)隸屬函數(shù)；fij為第i方案第j個目標的函數(shù)值（即目標值）；max（fij）為所有方案第j個目標的最大目標值；f*j為第j個目標的理想目標值。

若目標屬性以大為優(yōu)，即越大越優(yōu)，則最優(yōu)隸屬函數(shù)可表示為：

？滋ij= （2）

式中，min（fij）為所有方案第j個目標的最小目標值。

②定性指標隸屬函數(shù)。

定性指標可提前設立相應的模糊評語，按預設的模糊評語對評價指標進行分級并賦值，從而將其量化，再按定量指標確定隸屬函數(shù)。

1.3 目標權(quán)重系數(shù)

目標的權(quán)重系數(shù)表明該目標在整個問題中的重要程度。權(quán)重系數(shù)越大，相對重要程度越高；權(quán)重系數(shù)越小，相對重要程度越低。確定目標權(quán)重系數(shù)的方法有很多，本文采用熵權(quán)法。

1.4 求得優(yōu)化解

求解多目標問題可引入模糊數(shù)學中的距離概念，通過計算并比較各非劣解與理想點間的距離確定解的優(yōu)劣程度，求得該問題的優(yōu)化解。模糊數(shù)學中計算距離的公式有很多，此處選用相對海明距離公式。設 、 是目標論域中的兩個模糊子集，則二者間的相對海明距離為：

？姿[ ， ]= （1-qj）？滋（fj*）-？滋（fij）（3）

式中，p為多目標優(yōu)化問題中目標的個數(shù)，qj為第j個目標的權(quán)重系數(shù)，且 qj=1。

距離理想點最近的非劣解為該多目標問題的優(yōu)化解，顯然min ？姿[ ， ]為優(yōu)化解，即第i方案距離理想點最近，為最優(yōu)方案。

2 熵權(quán)模型

指標權(quán)重的確定直接影響評價的結(jié)果。熵是信息無序化程度的反映，本文用其度量指標的差異程度。評價指標的信息熵越小，其對應的熵權(quán)越大。熵權(quán)計算過程如下[8]：

①構(gòu)建判斷矩陣R：

設有m個評價事物，n個評價指標，則

R=（xij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

②判斷矩陣的歸一化：

bij= （4）

式中：xmax、xmin分別為不同方案中同一指標的最大值和最小值。

歸一化處理后得到歸一化判斷矩陣B：B=（bij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

③確定評價指標的熵值Hi為：

Hi=- fijlnfij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）（5）

其中：

fij= （6）

根據(jù)評價的實際意義，當fij=0時，認為ln fij是一較大數(shù)值，與fij相乘趨于0，故fij ln fij=0。但當fij=1，ln fij=0，則二者相乘的結(jié)果fij ln fij=0，此結(jié)果與實際相悖，故現(xiàn)對fij進行修正，將其定義為：

fij= （7）

④計算評價指標的熵權(quán)矩陣W：

其中：？棕i= ，且滿足 ？棕i=1（8）

3 實例分析

現(xiàn)有一公開招標的倒虹吸工程，表1是其主要工程量清單。投標的施工企業(yè)中有6家通過了資格預審，各企業(yè)相應的土建施工項目投標報價情況如表2所示（表2中的評價基點為同一項目所有投標企業(yè)所報單價的平均值）。6家投標企業(yè)的總報價十分接近，但各企業(yè)針對不同項目的投標報價卻有較大差別，不平衡報價的現(xiàn)象顯然存在。

3.1 目標隸屬函數(shù)值

①目標隸屬函數(shù)的建立。

本文選取投標單價的合理值為理想點，可建立如下最優(yōu)隸屬函數(shù)：？滋ij=1- （9）

式中，？滋ij為第i投標方案第j個項目的最優(yōu)隸屬函數(shù)，且？滋ij∈[0，1]；fij為第i投標方案第j個項目的函數(shù)值（也即目標值）；f 為第j個項目的理想值，即評價基點。

②目標隸屬函數(shù)值的計算。

根據(jù)式（9）分別計算表2中各指標的隸屬函數(shù)值如表3所示。

3.2 評價指標權(quán)重系數(shù)的確定

①構(gòu)建綜合判斷矩陣R：

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，構(gòu)建關(guān)于6個投標企業(yè)、9個投標報價的綜合判斷矩陣R。

R=

②求歸一化判斷矩陣B：

根據(jù)式（4）對矩陣R歸一化處理，得到歸一化判斷矩陣B： B=

③計算熵值Hi和熵權(quán)？棕i

根據(jù)式（5）、（7）、（8）計算各評價指標的熵值Hi和熵權(quán)？棕i，如表4所示：

則權(quán)重集=

{0.107，0.100，0.101，0.135，0.093，0.098，0.137，0.092，0.138}。

3.3 求解多目標優(yōu)化解

由式（3）可計算各投標方案較之理想方案的相對海明距離，此距離可用來比較各投標方案間的不平衡度，即相對海明距離越小，不平衡度越低，方案越優(yōu)；相對海明距離越大，不平衡度越高，方案越劣。其中第j個目標的最優(yōu)值？滋（f ）=1（j=1，2，…，9）。

企業(yè)1：？姿[ ， ]= [（1-0.107）（1-0.910）+（1-0.100）（1-0.654）+（1-0.101）（1-0.500）+（1-0.135）（1-0.617）+（1-0.093）（1-0.732）+（1-0.098）（1-0.670）+（1-0.137）（1-0.914）+（1-0.092）（1-0.932）+（1-0.138）（1-0.998）]=0.206；

同理可求得其他5家投標企業(yè)的相對海明距離，如表5所示。

則min？姿[ ， ]=min{0.206，0.418，0.496，0.680，0.589，

0.377}=0.206。

由此可看出企業(yè)A的投標報價與理想點距離最近，其投標報價的不平衡度最小，為最優(yōu)投標單位。

3.4 結(jié)果分析

在上述案例中，6家企業(yè)的投標總價相差不大，但同一項目的單價卻有很大出入。通過分析建模計算結(jié)果得出，企業(yè)A的投標報價不平衡度最小，各項報價與理想單價最為接近，是最優(yōu)的投標方案。而企業(yè)D的投標報價不平衡度最大，是最劣的投標方案。

4 結(jié)語

評標并確定中標者是工程中一個重要的階段，它直接決定著工程的成敗。而價格因素又是評標中重點考慮的因素。因此，如何通過對各投標報價方案的分析優(yōu)選出最佳方案，盡可能避免不平衡報價者中標，已經(jīng)成為工程實際中亟待解決的問題。本文將熵權(quán)引入到多目標優(yōu)化的數(shù)學模型中，以合理的評價基點為基準，通過對各投標人的清單項目投標單價進行對比分析求得其不平衡度，據(jù)此優(yōu)選出最佳投標方案。通過案例分析可知，本方法簡便易行，可借助EXCEL方便快捷地計算比較各投標人報價的不平衡度，為招標人評標提供更多參考。

參考文獻：

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