幾何概型教案

孫麗君

（一）導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)：

（1）所有的基本事件只有有限個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對(duì)于有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢？為此我們學(xué)習(xí)幾何概型，教師板書本節(jié)課題幾何概型.

問題1：

它是古典概型嗎？

1、試驗(yàn)中的基本事件是什么？

2、試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有多少個(gè)？

3、每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等嗎？

4、得一等獎(jiǎng)的概率與什么有關(guān)？

問題2：

如果讓一等獎(jiǎng)所在的區(qū)域變大或變小，那么指針

落在此區(qū)域的概率會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

幾何概型

下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少？

為解決這個(gè)問題，我們學(xué)習(xí)幾何概型.

在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況.例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個(gè).這就是我們要學(xué)習(xí)的幾何概型.

（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

（1）隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次，求兩次出現(xiàn)相同面的概率？

（2）試驗(yàn)1.取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？

試驗(yàn)2.射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色，黑色，藍(lán)色，紅色，靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm，靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭.假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？

（3）問題（1）（2）中的基本事件有什么特點(diǎn)？兩事件的本質(zhì)區(qū)別是什么？

（4）什么是幾何概型？它有什么特點(diǎn)？

（5）如何計(jì)算幾何概型的概率？有什么樣的公式？

（6）古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系？

活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)問題思考討論，回顧古典概型的特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識(shí)解決，教師引導(dǎo)學(xué)生比較概括.

討論結(jié)果：（1）硬幣落地后會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等，P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為 .

（2）經(jīng)分析，第一個(gè)試驗(yàn)，從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn).

第二個(gè)試驗(yàn)中，射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件，這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn).

在這兩個(gè)問題中，基本事件有無限多個(gè)，雖然類似于古典概型的“等可能性”，但是顯然不能用古典概型的方法求解.

考慮第一個(gè)問題，如右圖，記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的 ，

于是事件A發(fā)生的概率P（A）= .

第二個(gè)問題，如右圖，記“射中黃心”為事件B，由于中靶心隨機(jī)地落在面積為 ×π×1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為 ×π×12.22 cm2的黃心內(nèi)時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率P（B）= =0.01.

（3）硬幣落地后會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）是等可能的，繩子從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn)，也是等可能的，射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的，但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果，是有限的；而剪斷繩子的點(diǎn)和射中靶面的點(diǎn)是無限的；即一個(gè)基本事件是有限的，而另一個(gè)基本事件是無限的.

（4）幾何概型.

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型.

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱幾何概型.

幾何概型的基本特點(diǎn)：

a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；

b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

（5）幾何概型的概率公式：

P（A）= .

（6）古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的；區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的，而幾何概型的基本事件是無限的，另外兩種概型的概率計(jì)算公式的含義也不同.

（三）應(yīng)用示例

思路1

例1 判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型.

（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；

（2）如下圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.

活動(dòng)：學(xué)生緊緊抓住古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系，然后判斷.

解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；

（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關(guān)，因此屬于幾何概型.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長度有關(guān).

思路2

例1 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于20分鐘的概率.

活動(dòng)：假設(shè)他在0—60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班，他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件.

解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于[40，60]這一時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得P（A）=（60-40）/60=1/3.

即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為1/3.

點(diǎn)評(píng)：在本例中，到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X為[0，60]上的均勻隨機(jī)數(shù).

（六）課堂小結(jié)

幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度成比例.

（七）作業(yè)

課本習(xí)題3.3A組1、2、3.