中考幾何中常見的最值問題

王明

摘要：關于中考幾何題中的最值問題，往往知識面廣、綜合性大、應用性強，而且情境新穎，能很好地考查學生的創新能力和潛在的數學素質。而在解題中要高度重視模型思想的教學，要突出建模過程，讓學生深刻體會模型思想，在過程中體會和掌握數學中常用的、重要的基本模型。

關鍵詞：最值；建模

教學中發現學生在解決幾何最值問題時，困難主要有兩個方面：一是對解決這類問題常用的幾種數學模型認識不充分，掌握不到位；二是這類問題一般是以動態形式呈現的，學生難以掌握運動中的數量關系而導致無法入手。本文主要談談如何利用數學模型求此類最值的問題。

解決幾何最值問題的理論依據：①兩點之間線段最短；②直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；③三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（三點共線時取到最值）。根據不同特征轉化是解決最值問題的關鍵，通過轉化減少變量，向此三個定理靠攏從而解決問題；直接調用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段。現舉例闡述，供讀者在解決這類問題時參考。

一、運用“兩點之間線段最短”模型

【例1】（2012海安模擬）如圖：點P是∠AOB內一定點，點M、N分別在邊OA、OB上運動，若∠AOB=45°，OP= ，則△PMN的周長的最小值為 .

【分析】作P關于OA，OB的對稱點C，D.連接OC，OD.則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長。根據對稱的性質可以證得：△COD是等腰直角三角形，據此即可求解。

【解答】解：作P關于OA，OB的對稱點C，D.連接OC，OD.則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長.

∵P、C關于OA對稱，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD.∴△COD是等腰直角三角形.

則CD= OC= ×3 =6.

【點評】本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵。

【例2】如圖，A、B兩點在直線的兩側，點A到直線的距離AM=4，點B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動點，|PA﹣PB|的最大值為 .

【分析】作點B于直線l的對稱點B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當A，B′、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大.根據平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據勾股定理求得PA、PB′的值，進而求得|PA﹣PB|的最大值。

【解答】解：作點B于直線l的對稱點B′，連AB′并延長交直線l于P。

∴B′N=BN=1，

過D點作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5.

【點評】本題考查了作圖：軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵。

二、運用“垂線段最短”模型

【例3】（2010蘇州）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標為（-1，0），半徑為1.若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是 .

【分析】根據三角形的面積公式，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當AD與⊙C相切時，BE的值最小.根據勾股定理求出AD的值，然后根據相似三角形求出OE的長度，代入三角形的面積公式進行計算即可求解。

【解答】如圖，由題意知：當DA是圓C的切線時，OE最長，此時△ABE面積最小.

AC=2+1=3.CD=1.

由勾股定理得 .

可以證明 ，

【點評】本題考查了坐標與圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度是解題的關鍵。

三、建立“函數”模型

【例4】（2012海淀二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=DC=2，AD=1，R、P分別是BC、CD上的動點（點R與B不重合，點P與C不重合），點E、F分別是AP、RP的中點，求線段EF的取值范圍.

【分析】如圖，由點E、F分別是線段AP、RP的中點，不難想到連結AR構造三角形中位線的基本圖形，發現線段EF的長為線段AR的一半，所以題中兩個動點P、R其實對EF長有影響的只是動點R，這樣就把求線段EF長的取值問題轉化成線段AR的長的取值問題來研究.再由條件∠ABC=60°，AB=2想到作梯形的高線，構造Rt△ABG和Rt△AGR，則線段AG、BG為定值.在Rt△AGR中，通過勾股定理可以用線段GR來表示線段AR的長，從而可以建立線段AR長關于變量線段GR長的函數關系式。

【解答】 連結AR，過點A作AG⊥BC于點G，設BR=x，EF=y，易求BG=1，AG= ，則GR=x-1.

在Rt△ARG中， ∵AR2=AG2+GR2.化簡得y=

由題意，可知0

所以當x=1，即點R與點G重合時，y取最小值 ；

當x=3，即點R與點G重合時，y取最大值 .

所以 ≤EF≤ .

【點評】本題考查了三角形的中位線性質，勾股定理建立函數關系。動態問題中的一些量是有關聯的，運動中總隱有常量和變量，可以通過函數來捕捉運動中的各個量，建立函數模型來準確刻畫量與量之間的關系。

以幾何為背景的最值問題在中考試題中通常以選擇、填空的壓軸題頻繁出現。這類試題“小而精”，集多個知識點于一體，能全方位地考查學生的基本知識、基本技能、解題技巧、以及數學思維和數學素養，成為中考試題中的一朵奇葩。希望教師能在平時教學中，多給學生練習，總結這類題型的解題方法。

在解題中要高度重視模型思想的教學，要突出建模過程，讓學生深刻體會模型思想，讓學生經歷數學模型的“形成——建立——求解”的全過程，在過程中體會和掌握數學中常用的、重要的基本模型。