有趣的海盜博弈難題

王天琦

【摘要】在學習博弈論的過程中，筆者發現與其他經濟學理論一樣，博弈論也越來越依賴于數學模型，但對高等數學的應用又不夠嚴謹。本文將通過探討一個有趣的博弈模型：海盜博弈，向大家展示一個小參數的變動，也可能使模型結果產生顛覆性的改變。盲目的應用數學，即使大師的結論也不一定準確。模型的變動集中在投票比例的優化上，我們僅將海盜博弈模型的投票比例調整為“三分之二多數”，得出的結果就與權威結論相反了。本文希望借此提醒讀者：面對以往的結論不要盲目輕信，對待自己即將提出的理論也要深思熟慮在發表出來。開闊思路，不斷創新才是社會發展的動力源泉。

【關鍵詞】博弈論 海盜博弈 數學模型 投票模型

在博弈論和數學領域，一直流傳著一個經典的海盜博弈難題：5名海盜找到了100塊金子，需要分配。這些理性的海盜按下面的方式分配：最強的海盜提出分配方案，所有的海盜投票決定是否接受（包括提出方案者本人）。如果50%以上的海盜贊同此方案，那么提議通過。在只有一半人同意的情況下，提議者擁有決定權。如果沒有通過，那么提議人將被扔出船外，然后下一名最強的海盜提出新方案。海盜們基于三個因素來做決定：第一，自己活下來。第二，得到的金子最多。第三，在其他條件相同的情況下，優先把別人扔出船外。那么最強的海盜最多能得到多少金塊？

研究這個模型的人很多，題本身也有不少版本，最重要的是華威大學的史都華教授。他將海盜博弈模型推廣至無窮，發表在《科學美國人》上，并得出了有趣的結論：“由于這些海盜所實行的那種民主制度，他們的事情就成了最強的一批海盜多半都是下海喂魚……只有最弱的200名海盜有可能分得一份臟物，而他們之中又只有一半的人能真正得到一塊金子，的確是若者繼承財富。”我們簡單介紹一下他的思路：

首先我們把海盜按照實力逆序編號（1號最弱），然后從只有兩名海盜的情況逆推（這是解題關鍵）。只有兩個人時，2號的任何提議自己都會同意，這時他就有了一半的票數，而且又有決定權（即使按照實力來講，他也足以仗勢欺人），所以任何議案都會通過。他的選擇顯然是獨得黃金。

三個參與人時，兩人時的結論變成了已知條件。 3號需要一票就能超過半數，他知道無論如何，2號都會為了獨得100塊金子而反對，討好2號沒有意義。但1號只要得到微弱的好處就會支持3號。所以分配方案是99：0：1。

依此類推，4號的方案是：99：0：1：0。5號的是：98：0：1：0：1。而這之后發展到無窮參與人的結論都是在此基礎上推導的。

其他對海盜博弈的引用或研究則常見于趣味數學題中。[3]篇幅所限，我們不多做論述。 然而，筆者見到這個博弈問題后，感覺原始投票比例的設定不符合現實社會規則，并嘗試改進（事實證明，投票比例變動與結果息息相關）。我們現在看一種經典的投票比例：三分之二多數。

現在題目變成了“只有達到三分之二多數的海盜支持的方案才能通過，并且在同等效力的方案中，提議者會優先討好實力強的海盜（這樣會簡化計算）。”同時需要改變的另一題設是：“海盜們將按實力順序排序，由最弱的海盜先提出分配方案，并依此類推。”因為只剩兩名海盜時，2號提出任何方案時，1號都不會同意，這樣1號可以把2號扔出船外，自己獨得100塊金子。我們只有讓方案的順序發生變化來實現弱肉強食的自然法則！

接下來3號依然會獨吞黃金。具備基本的分析思路以后，類推時我們采用表格法：

推導進行到12號時，我們發現了規律：從6號的方案開始，實力位居前四的海盜們將穩得6塊金子。其中編號能被4整除的方案，按順序表示為：1：2：0：3。編號被4除余1的方案，按順序表示為：2：3：1：0。編號被4除余2的方案，按順序表示為：3：0：2：1。編號被4除余3的方案，按順序表示為：0：1：3：2。編號大于6的方案從5號之后則進入另一規律，制定方案的海盜會按0：1：2的順序，循環往復的給比自己編號靠前的海盜逆序分配金子，直至分配到5號。剩余的金塊則留給自己。

99號是最后一個能自己留下一塊金子的海盜。他總共得到66票支持，剛好達到三分之二。100號雖然一無所有，但他買通了66名海盜，加自己共67票剛好保住一命。101號就沒那么好的運氣了，但他用實際行動挽救了102號。

由于題設原因，不能被3整除的解遠比能被3整除的解苛刻，得出的能被3整除的解要比不能被3整除的解小，考慮到實際意義，我們將舍掉所有不能被3整除的解。整理一下得到結論，99號之后的幸存者編號為N=99+3n（n=0，1，2，…）

現在我們看到，只要將投票比例稍作改變，我們結果與史都華教授的結論就剛好相反了：是強者獲得了財富而不是弱者。在學習和工作中，我們總能看到前人總結的很多“真理”。但真理與謬誤之間往往只差了一點，只要開闊思路，不斷創新，我們就可能顛覆權威。這同時也提醒我們，自己在得出結論時，也應反復論證模型的合理性，盡量多角度的考慮問題。