三角函數應試剖析與教學建議

鄭勇林

摘 要 本文旨在研究新課標高中教材三角函數有關知識的應試心理以及通過實例剖析學生在解決三角函數相關問題時存在的問題，并做出相應教學建議。

關鍵詞 三角函數 性質 變換 最值

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A

三角函數是高中數學的重點，在高考題中是較容易得分的考點，也是學生學習的一個難點，不僅公式多且在三角函數的變形過程中有一定的技巧性，如何發掘、靈活正確地運用這些技巧？本文分三個角度進行應試剖析并給出粗淺教學建議。

1基本概念公式牢固掌握

三角函數涉及知識點龐雜眾多，那么要想真正領會其中的技巧，就要掌握實質，在教學中重視基礎，避免偏題難題怪題，針對高考教學，有的放矢。

近幾年高考，三角函數主要以簡單的選擇題和解答題形式出現，其中選擇題主要考察三角函數的簡易求值以及判斷簡單三角函數的周期和奇偶性，解答題主要考察三角函數與解三角形、三角函數與向量結合的綜合應用。主要考察內容按綜合難度分，有以下幾個層次：

（1）通過誘導公式和倍角公式的簡單運用，解決有關三角函數基本性質的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。

（2）三角函數公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

（3）充分利用三角函數作為一種特殊函數的圖象及周期性、奇偶性、單調性、有界性等特殊性質，解決較復雜的函數問題。如分段函數值，求復合函數值域等。

例1.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=.

（1）若b=4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值。

點評：以上兩題主要考查同角三角函數公式，兩角差的正弦，正弦定理、余弦定理等內容，綜合考查了三角函數的知識。這是一道典型的三角形三角函數問題，那么解決此題先將其劃分知識點：

（1）三角形△ABC內角A，B，C，馬上想到知識點：角的變換；

（2）三角形△ABC內邊分別為a，b，c，：邊的變換。

2三角函數中的基本性質

（1）求定義域：實際上就是解最簡單的三角不等式（組），一般可用三角函數圖像或三角函數線來確定三角不等式的解。

（2）求值域（最值）

思路：通過三角變換化歸為下列基本類型處理：

類型一：可化為y=Asin（ x+ ）+B型（常用二倍角公式、兩角和與差公式或引入輔助角）。

類型二：y=asin2x+bsinx+c型，通過換元令t=sinx，化為二次函數y=at2+bt+c在閉區間上的值域（最值）問題。（注意t的取值范圍）。

（3）單調性、周期、對稱軸及對稱中心

關鍵：記住三角函數的圖像，根據圖象并結合整體代入的基本思想即可。

（4）平移后函數性質問題，講解時要重點強調平移的要領，比如y=sin（2 +）的兩種由y=sin 平移得到圖像的方法的差異，教師要著重講解并且強調“沿著x軸平移伸縮，那么平移伸縮的量只針對x變化”。

例2.已知函數f（x）=2sin2（+x） cos2x，x∈[，]，求f（x）的最值；

分析：本題是一道規范的三角函數化簡求解基本性質題，解此類題目應正確引導及區分本題若更改成已知函數“f（x）=2sin2（+x） cos2x”時兩者解答的不同之處。前者限定函數的定義域為非R，而后者為R，顯然后者較簡單。

3易錯實例

上面談及了當熟練掌握了三角函數基本知識以后便會形成相應的解題技巧，這種技巧在一定程度上縮減了解題的思考時間，對于高考和平時的做題也在某種程度上是有利的，當然也不排除有弊之處。下面為解題技巧下的易錯實例：

例3.要得到函數y=cos2x的圖像，只需要將函數y=-sin2x的圖像向 移 單位

錯解：（1）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+），向左平移個單位。

（2）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[2（-x+）]，所以向左平移個單位。

剖析：上面兩種解法，都只注意到了“+”號，而忽略了“-”號的含義，雖然解法2考慮了的系數，但仍然沒有理解“-”對函數變換的影響，從而產生錯解。

正解：∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[-2（x ）]，所以向右平移個單位。

點評：克服思維定勢帶來的負遷移，幫助學生構建全面、準確的思維模式是提升學生學習能力的重要步驟，注意對知識的理解與應用。

三角函數是高中數學的基礎，它可以與多重知識點相結合，如：函數圖像與其它函數問題結合，平面向量問題，數列問題……，那么，如何解決難度較高，綜合性較強的問題關鍵在于對于三角函數基礎的掌握。

參考文獻

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[2] 馮忠良，等.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2010.