兩類穩定性定理的改進*

范英飛 黃倩倩 楊墨

（西南交通大學數學學院，成都，611756）

兩類穩定性定理的改進*

范英飛 黃倩倩 楊墨

（西南交通大學數學學院，成都，611756）

本文研究兩類穩定性定理.對LaSalle不變原理做更加合理的改進.研究了Lyapunov直接法，得到了改進的比較原理，并加以證明，最后應用到實例中.

LaSalle不變原理 比較原理 改進

1　LaSalle不變原理

1960年，LaSalle［1］發現了Lyapunov函數與伯勞霍夫極限集［2］之間的關系，對函數的直接法進行了推廣.實際上考察一個運動極限集位置的研究，就是考察該運動的漸進行為，因此我們可以選定適當的Lyapunov函數，利用極限集的不變性，給出極限集位置的信息.這一思想稱為“不變原理”.LaSalle不變原理在多個領域中具有廣泛的應用，例如在Multi-Agent系統［3］和線性切換系統［4］.

鑒于定理的實用性，許多學者對這一原理進行了深入的討論和研究［5-8］.本節旨在對La-Salle不變原理做更加合理的改進，降低其使用的難度.

1.1n維自治系統

考慮n維自治系統

其中x=col（x1，x2，…xn），f=col（f1，f2，…fn），f：D∈Rn→Rn連續，0∈D保證（1）的解的唯一性.

稱x*∈D為正半軌線x（tk，t0，x0）的ω極限點，若有序列tk｛｝滿足

記Ω（x0）為起始點x0的所有ω極限點x*組成的集合.

區域D的邊界記為?D.

1.2LaSalle不變原理的改進

定理1 設D是一個有界閉集，（1）的解的起始點x0?D.若?V（x）：D→R為Lyapunov函數，具有一階連續偏導數，且有則區域D為（1）的解的不變集.

若不然，由連續函數的介值定理，必存在t2＞t1＞0，使得x（t1，t0，x0）為?D上一點，x（t2，t0，x0）為躍出邊界的軌線上一點，且有x（t2，t0，x0）＞x（t1，t0，x0）.

因為V（x）是嚴格單增的函數，容易得到

顯然這與假設矛盾.因此x（t，t0，x0）?D必然成立，區域D為（1）的解的不變集.定理得證.

1.3例子

例 用極限環的情形來應用上述定理.

使得

那么在區域D內的環形區域Dn被叫做極限環.

2　比較原理

Lyapunov直接法的許多定理及推廣，解決了很多的實際問題［9-10］，但對于一些比較復雜的問題，必須結合其他方法加以處理，其中理論上最完善，應用上最廣泛的便是比較原理［11-14］.

2.1預備知識

首先給出比較原理的思想實質.

考慮n維非自治系統

其中x=col（x1，x2，…xn），f=col（f1，f2，…fn），f連續，保證（2）的解的唯一性.

同時再給定一個純量方程

其中g（t，0）≡0，g ∈C［I×Rn，R+］.

設存在正定函數V（t，x），關于x 滿足局部Lipschitz條件，V（t，0）≡0，且有

再考慮比較方程

根據（2），（3），可得

因此我們可以通過（3）的解的穩定性來判斷（2）的解的穩定性.

2.2比較原理的改進

定理2 若存在Lyapunov函數V（t，x）∈C［I×Rn，R+］，關于x滿足Lipschitz條件，V（t，0）≡0，且V沿（2）解的右上Dini導數［15］滿足

則（3）的平凡解一致穩定蘊涵（2）的平凡解一致穩定.

證明 因為V正定，由定義知?φ∈K［2］，使得

因為（2.3）的平凡解一致穩定，由定義知?ε＞0，?δ（ε），只要U0＜δ（ε），就有

因此

再根據

可得

所以?ε＞0，?δ1（ε）＞0，當‖x0‖＜δ1（ε）時，有‖x‖＜ε，即（2.4）的平凡解一致穩定.定理2得證.

注 原始的比較原理［16］，V還需要滿足具有無窮小上界這一條件.

2.3例子

再給定方程組

我們驗證了定理2的可行性.

3　小結

改進后的比較原理，我們去掉了V函數具有無窮小上界這個條件，從而提高了實用效率.

［1］LaSalle.J.P.動力系統的穩定性［M］.廖曉昕等譯.武漢：華中理工大學出版社，1988.

［2］廖曉昕.穩定性的理論，方法和應用［M］.武漢：華中科技大學出版社，2005.

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［7］Massera.J.L.On Lyapunov condition of stability［J］.Analysis of Mathematics，1949，50：34-42.

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［16］尤秉禮.常微分方程補充數據［M］.北京：人民教育出版社，1983.

Two Types of Improved Stability Theorems

Fan Yingfei Fan Xiaoming Huang Qianqian Yang Mo
（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，China）

In this paper we give improvements to the LaSalle invariance principle and the comparison principle，and then apply them to examples.

LaSalle invariance principle Comparison principle Improvement

2016年03月17日