2016年高考新課標全國二卷理科數學試題分析

哈爾濱市第九中學　戴　鑫

2016年高考新課標全國二卷理科數學試題分析

哈爾濱市第九中學戴鑫

2016年高考新課標全國二卷理科數學試題整體難度較往年有所降低，考試內容更貼近教材和平時的基礎練習.試題注重考查學生的數學基礎知識、基本技能，強調數學思想方法.試題注重創新性和多樣性，具有一定的探究性和開放性.

一、知識點與試題分數分布

集合、復數、向量、排列組合、算法、邏輯各5分；數列12分；三角函數15分；概率統計17分；立體幾何、解析幾何、函數與導數各22分；三選一的選修內容10分，共計150分.

二、試卷特點

1.緊扣教材

試題中的第1，6，9，10題均為教材中例題和課后習題的改編，提示我們在教學中要重視教材內容的講解和知識體系的構建.

第10題：從區間【0，1】中隨機抽取2n個數x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn構成n個數對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（）.

比較必修三第133頁例3：在正方形中隨機撒一大把豆子，計算落在圓中的豆子數與落在正方形中的豆子數之比并以此估計圓周率的值.

兩題所考知識點均為隨機模擬，考查背景也完全相同，可見高考即使在選擇第10題的位置也是非常重視教材內容的.

第1題比較選修2-2第106頁習題3.1第5題（1）；

第6題比較必修二第20頁例3，圖形完全一樣；

第9題比較必修四第147頁B組第1題.

2.重視應用

試題中的第5，15，18題均為聯系實際的應用問題，較歷年實際應用問題數量有所提高，體現數學科目的實用價值，也告訴學生數學來源于生活但高于生活.以實際生活的應用為背景，豐富了數學試題的形式，使得數學科目在考查理論的同時又增添了豐富多彩的實際背景.

第15題：有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2.”乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1.”丙說：“我的卡片上的數字之和不是5.”則甲的卡片上的數字是.

這是一個帶有實際應用背景的邏輯推理題.自2010年新課標開始從沒出過類似的推理題，是2016年試題的新變化之一.雖然形式簡單，卻充分考查了學生的推理能力，也充分體現了數學的本質——學以致用.

3.注重空間想象能力

自立體幾何中引入空間直角坐標系后，很多證明問題和求角問題都轉化為計算題，學生的空間想象能力越來越弱，而且在平時的練習中也避開不用.本次試題中第6，14，19題對空間想象能力的考查比往年有所加強，回歸立體幾何的本質，體現立體幾何學科特點.尤其第19題立體幾何的翻折問題需要學生比較翻折前后圖形的變化，發現圖形中蘊含的性質.

第19題：如下圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F分別在AD，CD上，AE=，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置

（1）證明：D'H⊥平面ABCD；

（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.

該題的特點：①要求學生在運動的過程中發現翻折前后圖形有哪些性質發生變化，哪些性質不變.翻折前EF⊥BD，翻折后EF⊥D'H，仍然保持；但翻折后EF還成為平面D'BH的垂線.②垂直不僅可以通過證明得出，還可以通過計算得出，例如D'H⊥OH就是在△D'OH中運用勾股定理得到的.③通過證明三垂直建立直角坐標系.在2012年高考中，立體幾何第19題曾經考查過先證明三垂直再建系的過程，但之后的三年高考將該過程弱化，今年再次提及，說明學會建立空間直角坐標系是應用向量法解決該題的必要條件.

第14題用筆和紙去比量圖形會比證明和空想效率更高.

4.注重總結歸納能力

每每提到總結與歸納，多數情況下都需要教師先下題海，然后將自身的體會總結下來，再教授給學生.試題中第7，11，12，16，20題充分體現了這一點.

第7題要求學生注意左右平行移動，針對自變量x；第11題須記住結論：雙曲線通徑長為，考查通徑的一半；第12題考查函數的中心對稱性：若函數f（x）滿足（fa+x）+（fb-x）=c，則函數關于點中心對稱；第16題：切線問題，從切點入手；第20題：垂直直線的設法和分離變量求參數范圍問題.以上都是平時練習的重點內容，多反復總結，會有意想不到的效果.

5.注重審題能力

無論什么考試，都會考查分析問題和解決問題的能力.要想正確解決問題，分析問題是必要的前提.在數學考試當中一定要學會審題，找到題目的突破口，從而輕松且正確地解決問題.例如第9題，要學會讀出題目中哪個角是已知角，然后其他的變形都為了湊出已知角而努力，我們簡稱為“湊角”.

6.注重變化與創新

新課標強調的是素質教育，高考數學不僅考查學生對知識的掌握，更要考查對知識的遷移與應用.讓學生學以致用才是素質教育的根本.第12，15，18，21題對變化與創新的體現最為突出.多年不考的抽象函數對稱性今年作為壓軸的選擇題進行考查，體現了新課標的精神.第15題以游戲的形式考查了簡易邏輯，使多年來邏輯試題形式單調的現象得以改觀，讓試卷充滿新鮮活力.第18題概率統計是每年試卷中背景變化最大的一個，實際應用問題總是可以設計很多新鮮背景，但萬變不離其宗，學生認真學好必修三及選修2-3中的概率統計內容，區分好各概念和模型的特點，將多變的實際背景靈活轉化為所學內容即可輕松解決該類問題.第21題函數與導數是每年難度最大的壓軸題.今年的變化體現在第（2）問中解答部分的零點存在性定理，這也是高等數學中很常用的定理和處理手段，體現了高中數學和高等數學的聯系，使考試內容更上檔次，更加開放.

解：（1）f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）上單調遞增，證明略.

題目中由f（0）+a=-1+a＜0，f（2）+a=a≥0，尋找唯一x0∈（0，2］，使得g'（x0）=0成立.這是理科試卷近年來第一次在導數部分考查零點存在性定理，使得導數和函數與方程更好地結合在一起，體現了數學的綜合性和統一性.

零點存在性定理的考查還可以參看2014年新課標全國二卷文科21（2）導數題.

三、新高三復習建議

1.重視教材

從2013年開始到2016年，這4年的高考越來越趨向于簡單和平穩，這就需要教師在一輪復習時一定帶領學生認真閱讀教材，耐心講解和整理知識點及常用結論.發掘靠近教材的常用方法是解決中檔次題目的關鍵.

2.重視工具性內容

在復習時還應體現函數與導數、三角、向量、不等式等工具性內容的作用，在今年的理科試卷中，數學第12，16，21題三個函數題分別作為選擇、填空、解答的壓軸題出現，體現了函數內容在高中數學中扮演的重要角色.工具性學科還可以作為解決其他問題的手段，使得學生的學習更加靈活，鍛煉學生對知識的遷移和運用能力.

編輯/王一鳴

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