自然數n次冪的求和公式及其因式分解的Matlab求解

劉冬兵，馬亮亮

（攀枝花學院數學與計算機學院，四川攀枝花617000）

自然數n次冪的求和公式及其因式分解的Matlab求解

劉冬兵，馬亮亮

（攀枝花學院數學與計算機學院，四川攀枝花617000）

應用待定系數法研究了自然數n次冪的求和公式及其因式分解的計算機符號推導，并給出線性方程組中系數矩陣所對應的n=1-16的條件數，同時將該方法應用到所有的自然數的多項式函數求和公式及其因式分解.

自然數；n次冪；和；條件數；因式分解；符號推導

0　引言

關于自然數的n次冪求和公式的推導，歷來都吸引數學家的研究興趣。公元前三世紀阿基米德（Archimedes）在《論劈錐曲面體與球體》中已記載了相當于

的公式；七世紀的印度數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta）已求出了自然數的三次方冪的和公式；十一世紀的伊斯蘭數學家阿爾·卡希（Al Kashi）求出了自然數的四次方冪的和公式；對于一般的自然數冪和公式，現在公認是瑞士數學家雅可·貝努里（Bernoulli）在他的著作《猜度術》（1713年出版）中首先給出的，貝努里認為，自然數前n項k冪的和是的k+1項多項式，并且缺常數項。陳景潤等人在文獻［1-3］中做出大量的研究工作，于延榮等在文獻［4］中應用高階等差數列求和公式在計算機上實現了自然數的任意p次冪的前n項和的公式，朱豫根等在文獻［5］研究了冪和公式中的系數的一個遞推關系式，胡燦等在文獻［6］中應用Vandermonde行列式和Cramer法則，證明了一個自然數冪求和公式一般表達式和多項式表示素數問題的研究。本文應用待定系數法實現了自然數n次冪求和公式及其因式分解的計算機推導，在此基礎上進一步將該方法應用到所有的一般多項式函數求和公式及其因式分解上。

1　相關知識

對于自然數n次冪的前m項和公式有如下定理：

定理1［6］設m和n為正整數，那么有

定義1［7］若n×n方陣A非奇異，則稱為A的條件數，記為。

本文研究自然數的n次冪的求和公式:

當n=1時即自然數求和公式：

當n=2時即自然數平方和公式：

都是我們熟知的。

但當n為更大的自然數時如何推導公式，本文應用待定系數法進行推導，得出了一系列公式。

先假定自然數1到m的n次冪的和fn+1（m）是一個m的n+1次多項式，下面說明這個假定是正確的。

fn+1（m）可寫成

fn+1（m）=mn+（m-1）n+（m-2）n+…+［m-（m-2）］n+［m-（m-1）］n（6）

上式中每一項展開后都有m最高次項mn，而這樣的項一共有m個，于是加起來后的最高次項為m× mn=mn+1

2　應用待定系數法推導自然數n次冪求和公式

2.1推導自然數n=1次冪求和公式

n=1時，自然數1到m和f1+1（m）是一個m的2次多項式，設其降冪排列的系數為a2，a1，a0，則多項式為

已知m=1，2，3時，f1+1（m）=1，3，6，據此可以列出方程組：

求解此方程組可得：

得到

2.2推導自然數n=2次冪求和公式

n=2時，自然數1到m的平方和f2+1（m）是一個m的3次多項式，設其降冪排列的系數為a3，a2，a1，a0，則多項式為

已知m=1，2，3，4時，f2+1（m）=1，5，14，30，據此可以列出方程組：

得到

2.3推導自然數n=5次冪求和公式

n=5時，自然數1到m的5次方和f5+1（m）是一個m的6次多項式，設其降冪排列的系數為ak，k=0，1，2，…，6則可列出方程組：

用分數運算形式，求解此方程組可得:

寫成多項式為

分解因式后得到

2.4推導自然數n次冪求和公式

n為一般自然數時，設待定系數an+1，an，…，a1，a0，可列出n階方程組如下：

令n為不同的自然數，求解此方程組，原則上可以得出自然數的任意n方和公式。

3　自然數n次冪的求和公式及其因式分解

3.1問題的困難

對n較小時，不難用手工方式求解，但當n較大時，從上面的運算可看到，只能借助于計算機求解。問題的困難在于以下兩點：

1.不能用浮點數近似求解，這樣得出的公式失去了數學之美，很難接受。同時當n較大時，方程組會出現嚴重病態，事實上，當n=3時，方程組的條件數為2.616 968 797 063 462×104，當n=13時，方程組的譜條件數達到2.582 411 629 286 014×1021，結果可靠性難以保證，下面給出線性方程組（16）中系數矩陣n=1-16的條件數：

表1　線性方程組（16）中的n=1-16的條件數

2.待定系數法求得的是一個降冪排列的多項式，我們希望對這個高次多項式進行因式分解，得到符合人們習慣的公式形式。

作者借助于計算機求解，使用Matlab軟件中的符號運算，得到了方程組的分數形式的精確解，同樣應用符號運算，得到了因式形式的公式，解決了上述問題。

3.2n=1～12的公式結果

下面給出自然數n=1～12時n次冪的求和公式的因式分解結果，且通過解線性方程組（16）解得a0=0與定理1的結果一致。當n=12時，條件數達到3.351366570550992×1019，可以得到因式分解的公式。但是當n≥13時，由于數字太大，超過Matlab符號運算的能力，已不能求出精確的分數形式的公式。

n=1時，公式為：

4　自然數的一般多項式函數求和公式及其因式分解

下面考慮更一般的情況。設fn（m）為自然數m的n次多項式函數，類似于定理1，容易得到如下定理：

定理2.設m和n為正整數，那么有

其中fn+1（m）是關于m的常數項為零的n+1次多項式。

那么應用待定系數法就可以推導自然數的一般多項式函數求和公式。如求：

根據定理2，f4+1（m）是一個5次多項式，設其降冪排列的系數為ak，k=0，1，2，3，4，5，分別取m=1，2，3，4，5，6，則可列出6個線性方程，它們組成線性方程組：

用Matlab的符號運算求解，得出分數形式的解：

即有公式：

應用Matlab軟件進行因式分解，得：

上述所求公式與數學手冊上公式是一致的，并求出f20+1（m）是一個21次多項式的線性方程組所對應的條件數為2.185 101 904 058 601×1035。

5　結語

通過本文的研究加深了對“數值計算方法”課程中的條件數內容的認識，以及線性方程組中的系數矩陣中有非常大的條件數，會產生嚴重的病態現象，方程組的解會出現失真解的情況，必須采取預處理等方法解決。

綜上所述，用待定系數法結合解線性方程組，原則上可以應用計算機推導出所有的自然數的一般多項式函數求和公式及其因式分解。為了得到自然數更高次冪的求和公式與因式分解，作者將應用其它方法，是下一步研究的課題。

［1］陳景潤，黎鑒愚.關于等冪和問題［J］.科學通報，1985，30（4）:316-317.

［2］陳景潤，黎鑒愚.關于冪和公式的一般性質［J］.數學研究與評論，1986，6（1）:43-50.

［3］陳景潤.自然數冪求和［J］.數學季刊，1987（1）:1-17.

［4］于延榮，陳汝棟.自然數冪求和公式的計算機實現［J］.數學的實踐與認識，2003，33（5）:106-107.

［5］朱豫根，劉玉清.關于冪和公式系數的一個遞推關系式［J］.數學的實踐與認識，2004，34（1）:170-173.

［6］胡燦，張元標.自然數冪求和公式的計算機實現［J］.成都理工大學學報（自然科學版），2003，30（5）:534-536.

［7］楊大地，王開榮.數值分析［M］.北京:科學出版社，2006.

The Sum Formula of the Natural Number Nth Power and Its Factorization by MATLAB

LIU Dong-bing，MALiang-liang
（College of Mathematics and Computer，Panzhihua University，Panzhihua，Sichuan 617000，China）

With the method of undetermined coefficients，this paper studies the sum formula of the nth power and its factorization by the computer symbolic derivation.It also gives the condition number of n=1-16 for the coefficient matrix in linear equations.In addition，this method can also be applied to the polynomial function sum formulas and factorization of all the natural numbers.

natural number；the nth power；sum；condition number；the factorization method；symbolic derivation

O156.1

A

1673-1891（2016）03-0017-04

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.03.006

2016-05-04

四川省教育廳自然科學基金資助重點項目（16ZA0411）；攀枝花市市級應用技術研究與開發自然科學基金資助項目（2014CY-G-22）；攀枝花學院教研教改項目（JJ1329；JJ1376）。

劉冬兵（1972—），男，湖南寧鄉人，碩士，副教授，研究方向:微分方程數值解。