規則，有時就是一種約定
——以除法豎式計算為例

江蘇啟東實驗小學　高敏

規則，有時就是一種約定
——以除法豎式計算為例

江蘇啟東實驗小學高敏

【教學探索】蘇教版小學數學二年級下冊《除法豎式計算》

【課前研讀】

二年級下冊的“除法豎式計算”是學生第一次接觸表內除法的豎式計算，學生完全可以通過口算算出算式的結果，但是如何把計算過程通過除法豎式的形式呈現，學生沒有經驗。較多的學生認為除法豎式的書寫和加減法豎式類似，長的樣子應該是差不多的。由此可見本節課對學生而言，除法豎式書寫意義的理解和認同是最關鍵的。

【教學過程】

一、除法豎式就該這樣寫

呈現情境圖一：媽媽買了12個蘋果，每4個放一盒，可以放幾盒？

學生列出除法算式12÷4=3（盒）

師：我們已經學過加法、減法的豎式計算，那除法算式能不能也用豎式表示呢？試試看。

師：大伙兒怎么想的？

生：我想加法、減法的豎式就是這樣寫的，那除法的豎式就該也這樣寫。

（大多數學生點頭表示同意）

思考：存在即合理，學生因為有了加法、減法豎式方法的耳濡目染，那么除法豎式是不是就應該如上面那個式子呢？顯然學生的想法是一種合情推理。而當兩個數整除時，這樣的除法“豎式”表達形式又何嘗不可，所以無須宣判方法的對錯，隨著學習的深入，這樣的書寫恰恰也為后面引導學生體會除法豎式和加減豎式的不同提供了重要契機。

二、這樣寫不清楚了

呈現情境圖二：媽媽買了12個蘋果。每5個放一盤，可以放幾盤，還剩幾個？

師：要解決這一問題，你是怎么想的？

生1：5個5個地去分，算式是12÷5=2（盒）……2（個）

生2：我想12里面有2個5，就可以放2盤，這樣的話分掉了10個，那就還剩下2個。

生3：我也認為先想12里面有幾個5，2就是商，再想分掉了10個，那余下就是2個了。

（圖片出示學生的思維過程）

師：那能不能也用豎式的形式來寫寫這道除法算式？

生1：老師，我發現這條豎式不能表示余數啊！

生2：是呀，這個2是分掉了2盤，還是余下的2個蘋果，不清楚。

……

思考：教學，要讓學生從心底自覺悅納、接受新的思想方法。此時學生發現底層的2不能精確地表示運算結果，這樣疊加式的豎式書寫格式就顯出其局限性了。于是，一種適合除法本身特點的豎式計算形式成了孩子自發的真實的探究需要。

三、規定是有道理的

師：那怎樣書寫除法豎式就能清楚地表示出運算結果，讓我們能看明白、看清楚呢？自學書本第4頁。

交流：看了以后，有什么想說的、想問的？

生1：這樣寫感覺有點復雜。

生2：干嗎要有兩個12？

生3：我想這個符號）就相當于除號吧！

生4：我知道了2個“2”分別表示的意思了。

師：看來大家都有了一些想法，讓我們一起先看左邊這道豎式。誰來說說你的理解。

生1：我來講講為什么會有兩個12，上面的12表示一共有12個蘋果，下面的12表示分掉了12個蘋果。

生2：我能講得更清楚些，第一個12是媽媽一共買了12個蘋果，然后4個一盤，正好放了3盤。下面這個12實際上就是4×3的積，表示這12個蘋果都分掉了，所以最后還剩下0個蘋果。

生3：我聽明白了她們的想法，我想講講右邊這道豎式。12表示的意思實際上是一樣的，也是指一共有12個蘋果。上面的2，表示5個一盤，能分到2盤，下面的2就表示剩下2個。

生4：我覺得這樣寫豎式，我們就能看得很明白，把分的過程都能表示出來了。

生5：我也覺得這樣寫好，因為如果像我們一開始這樣寫，最底層的數有些時候能表示最后的結果，有些時候卻不能。

生6：現在我知道為什么除法豎式不像加法、減法豎式一樣，它這樣寫是有道理的。

思考：教育是慢的藝術，學生的學習應像呼吸一樣自然，顯然經過上面的過程，除法的豎式在孩子眼里不再是機械的、生硬的，而是自然的、靈動的，從而產生對除法豎式的認同感。

【課后研思】

回顧歷史，你能感受關于計算的原理性知識（比如位值原則、運算定律、數的分解與組成、計算的本質意義等），幾千年前就已經明確，而至于計算的規則性知識（比如計算的步驟、豎式的書寫等），變來變去，毫無定論，現在的樣式不過三百多年歷史。歷史把整數的四則運算最終演變成現行的樣式，每個細節的安排都是智慧的抉擇。為了避免進位而改動先前計算結果的麻煩，歷史選擇了加法、減法、乘法從低位算起；為了盡量快地從被除數中減完除數，歷史選擇了首先設法減去除數的整百、整十倍，也就是從高位算起。除法豎式，可以像乘法那樣寫，可以寫成一層，但除了之后若有余數繼續再除的話，現在的樣子才是最合適的。四則運算的豎式最終寫成現在的樣子，全因為這樣寫更為簡潔和合適。由此，我們可以得到的數學教育啟示是：數學不僅僅是解決問題的工具，也是重要的表達交流的語言形式。運用數學知識去推理去解決問題是種智慧，用貼切的方法和形式把想法簡明而又清楚地表達出來，同樣也是一種智慧。所以，教學中一定要給予學生表達交流的機會，不然，學生學的便是“啞巴數學”，只會解題，不會表達交流。

可以想象，歷史上乘除計算的各種豎式都是那個時代較為典型和有用的辦法，不然的話，也不會記錄在史書中被傳承下來。計算過程記錄與表達的簡潔是個歷史性概念，不同的時期有不同的理解與不同的約定。19世紀，最早在奧地利使用了這樣的除法計算辦法，即每次商后把乘、減的過程壓縮成了只寫減得的差。以計算“272862÷978”為例，如商“2”和“978”的乘積被“2728”減，只寫出了所得的差“772”；商“7”和“978”的乘積被“7726”減，只寫出了所得的差“880”；商“9”和“978”的乘積被“8802”減，其差為0，不再寫出了。（如下式）

無疑，這種辦法更為簡潔，但卻沒有成為歷史的最終選擇。比起來，無疑，現在的筆算術是計算道理和書寫表達結合得比較合適的。簡，簡到什么程度，大家協商覺得合適就是了。

數學，是人類的一種創造，因此，有些知識就是各種辦法間的協商與約定。

對數學來說，越是機械的，才越是好的方法；對兒童來說，越是他們自己的方法，才越是有潛能的方法。這兩者間，很多時候是不一致的。在一般意義上，我們要優先讓兒童自己去琢磨他們個性化的方法，去引出他們的巧妙方法，接著比較概括各種巧妙方法的共同點，引導他們向著數學的通用方法去。這一路，越急越體現不出數學的高明和智慧，越急越享受不了兒童自己思考的快樂。讓兒童們個性化的方法多用一會，甚至允許個別學生用他們的辦法去進行計算，這些辦法雖然和現行規范算法相比是煩瑣的，但也許對他們看來正合適，這正是教育可貴的兒童視角的體現。

☆本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃重點資助課題“數學史視野下的小學數學教學的案例研究”（批準號：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。?