讓學生經歷概念的形成過程

洪飛

數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，進而發展智力和培養能力。一元二次方程是在一元一次方程基礎上 “次”的推廣，同時它是解決諸多實際問題的需要，為勾股定理、相似等知識提供運算工具，是二次函數的基礎。周素裹老師在執教“一元二次方程”時，精心設計每一個教學環節，讓學生深入感知、漸進抽象、實踐鞏固。創設情境，概括概念；辨析應用，理解概念。突出了數學概念的本質，借助學生已有的知識經驗，讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一元二次方程的一般形式，體驗一元二次方程概念的形成過程。

【片段一】 創設情境，概括概念

教師給出課本問題1、問題2的兩個實際問題，設未知數，建立方程。

問題1：如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm。在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

師：題目中的相等關系是什么？

生：長×寬 = 長方形的面積3600 m2。

師：很好，這位同學找出了本題中的相等關系。那么如何設未知數呢？

生：設切去的正方形的邊長為x米，則盒底的長為（100-2x）米，寬為（50-2x），不難列出方程：（100-2x）（50-2x）=3600。

師：如果整理？

生： x2-75x+350=0。

問題2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，組織者應邀請多少個隊參賽？

師：全部比賽共有多少場？

生：28場。

師：如何設未知數呢？

【賞析】現在很多教師不重視數學概念課的教學，概念教學走過場，以解題教學代替概念教學的現象比較普遍。有的教師在進行概念教學時常常采用“一個定義，幾項注意”的方式，不重視概念的背景引入，沒有給學生提供充分的概括本質特征的機會，認為在概念教學多花時間不如讓學生多做幾道題目更有效。筆者認為，在概念教學中，教師不能以解題教學代替概念教學，而是要讓學生經歷概念的形成過程，從而理解數學知識、方法和意義。

本教學片段中，周老師創設問題情境，讓學生從“接受式”的學習方式中走出來，走向對一元二次方程產生的根源的探求，在學習課本問題一和問題二的過程中，部分學生能夠獨立解決問題，自己創設情境并列出方程，部分學生可以根據同學給出的問題情境去列方程，建構數學模型，在建模的過程中不僅加強數學思維能力，而且對二次項產生的根源將更加明晰，從而加深對一元二次方程的理解。教師讓學生自己給出一元二次方程的定義就是對過去所學一元一次方程的定義的類比，概括成一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數學符號語言應用能力的提升。通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念，體現了研究數學問題的一般方法。

【片段二】 辨析應用，理解概念

師：經過上面的練習，我們進一步明確了只有同時具備只含有一個未知數、未知數的最高次數是2、整式方程這三個條件的方程才是一元二次方程。

……

【賞析】掌握好數學概念是學生進一步學習其他數學知識的基礎。由于數學概念大多比較抽象，因此，教師有必要通過對比，把概念的特征顯現出來，讓學生充分感知，建立表象，形成概念；又通過對比，讓學生辨析概念的本質屬性，從而掌握概念、鞏固概念。在本教學片段中，周老師通過舉例，辨析概念，從正反兩個方向強化對一元二次方程概念的理解，在追問的過程中，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的一元二次方程知識體系，激發學生從不同角度、不同形式去深入理解一元二次方程概念，讓不同的學生在此過程中獲得不同的收獲，實現分層教學分層指導的效果。在形式比較復雜的方程面前，通過辨析一元二次方程的元、次、項，看清一元二次方程的本質，掌握一元二次方程的概念。

本課是“一元二次方程”的起始課，周老師在教學中重點把握好了如下三個方面：一是形成一元二次方程的概念，特別是要讓學生體會一元二次方程的特征；二是讓學生體會用聯系的觀點、類比的方法和建模的思想研究一元二次方程；三是通過類比“一元一次方程”而獲得研究的內容與方法的啟發，再一次體會研究一類新的數學問題的基本思路。概念教學要使學生自然地、水到渠成地實現“概念的形成”，教學中，周老師力求使學生了解一元二次方程概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的課題，并努力讓學生經歷一元二次方程概念的形成過程。

（作者單位：廣東省深圳市羅湖區教育科學研究中心）

責任編輯 周瑜芽

Email：jxjyzyy@163.com