小學數學知識分類及教學思考

胡桃根

在教學過程中從不同的角度對數學知識進行分類，有利于加深對相關知識的理解，更有針對性地把握教學要領。依據《義務教育數學課程標準（2011）》，分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域。可發現，各領域知識的總體目標是相對獨立、明確和集中的，在教學過程中要自始至終圍繞這一目標、體現這一目標、突出這一目標。如數與代數領域知識在教學時，多與數感、計算能力、分析問題和解決問題能力等建立聯系，圖形與幾何領域知識多與空間觀念、想象、推理等掛鉤，統計與概率領域知識不能偏離統計觀念、數據收集與整理、分析與處理的意識與能力等。

從知識系統性的角度分，可以將知識分為基礎性、承接性和歸納總結性知識三大類。關于知識系統性的認識，從縱向看，所有低年級的知識都是中、高年級的基礎，中年級的知識大多起過渡作用，而高年級的知識大多是對前面的總結提升。從橫向發展的角度看，要體現知識的聯系性。如圖形與幾何領域知識中的有關形體面積和體積的計算，都要依賴于計算能力的發展。

教學基礎性知識時，要將基礎打得扎實、牢固，必須對與此相關的后續知識有深入了解，才能使針對性更加明確；教學承接性知識時，要對相應的知識有恰當的定位。如教學“認識10”時，像9之前各數的認識一樣僅僅就數的大小及表示、數的組成及相應的加減法進行教學是不夠的，要認識到10不再是一個新創立的獨立符號，而是將0到9這十個符號中的1和0按十進制原理進行組合的開始，10是個新的計數單位，具有非常重要的承接作用。歸納總結性知識在教學時，要弄清對哪些知識進行歸納總結，對必要的要加以提取以解決基礎問題，同時，歸納總結的深度，條理及過程、方法等必須統籌兼顧，更重要的是要著力通過這一過程，促進學生對相關知識的內化。如“加減法的意義及相互關系”就是典型的歸納總結性知識，之前學生進行了大量的加減法計算，要通過對這些知識的回顧，通過相互討論、交流，歸納總結出其意義及相互關系，通過這一過程，促進加減法意義的理解。

從知識類型看，數學知識可分為：數學概念與性質、公式（定理）等屬陳述性知識及計算與解決問題等程序性知識。陳述性知識教學的總體要求是“講清楚”，首先，是要使學生理解為什么要學習相關的知識，也就是必要性合理性的理解。其次，是相關知識的要點及意義所在。再次，是相關知識的運用與范圍等。程序性知識教學的總體要求是“快操作”，首先是操作的理論依據，其次是規范的操作步驟，再次是如何提高操作速度。

概念教學

概念教學時，一是不能忽視概念引入必要性的教學。可從數學知識體系內部聯系、數學與生活的聯系、數學文化等方面體會與挖掘必要性；也可從強化目標、提升興趣、深化理解、自然順暢、時機恰當等方面把握概念引入的必要性教學。二是要準確把握相關概念的內涵和外延。如教學“面積”時（見圖1）。

例1在揭示面積概念時，只就“物體表面”而沒涉及“平面圖形”本身不完善，而“物體表面”又只涉及平面就更不完善了。教學時，可以通過兩條途徑把握概念教學的相關要領：1.教學例1時擴展物體表面的外延，舉例一些曲面、球面的例子；教學例2時，要完善面積概念，補充平面圖形的相關知識，如規則圖形和不規則圖形等都有面積；還要把握引入面積單位的必要性。2.整合教材（圖2）。

將“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”改為“物體表面或平面圖形的大小就是它們的面積”，再來處理概念教學過程中涉及的各個關系。面積是個一級概念，物體表面和封閉圖形是二級概念即面積（的外延）指向了兩個方面；“物體表面”不僅指平面有面積，曲面與球面也都有面積；“平面圖形”無論是規則圖形還是不規則圖形，無論是叫得出名字還是叫不出名字的都有面積，這樣擴充有助于深化對面積概念的全面、深入理解。三是要“講清楚”。首先要“理清楚”。基于小學生年齡特點、接受能力的考慮，小學數學中的概念除已經處理的外，還有相當一部分沒有及時處理，小學數學的概念可分為已處理概念和暫未處理概念。如人教版課標教材一年級上冊概念分布表。仔細觀察表格內容且反思教學實踐，不難理解：（1）暫未處理概念大多數是要求老師處理的，因而這類概念的教學就成為教學難點。（2）暫未處理概念某冊雖未明確處理，但隨著年級的升高，有的又進行了處理，成為定義性或描述性概念，如加法、減法等。因此，概念教學具有階段性、發展性。（3）術語一般是某些程序性知識的概括。（4）暫未處理概念中的描述性與概念的描述性有區別：一個是指教材對概念的描述，一個是指概念對客觀事物或教學行為的描述。

計算教學

計算教學有著明確的改革方向，必須借助計算教學，培養學生的數感、估算意識等，體現算法多樣化，發展學生的運算能力。

回歸到計算上，就是怎樣計算？為什么能這樣計算？要適時、恰當地歸納算法、理解算理及多途徑提高計算速度。在計算教學中需要歸納算法，符合程序性知識對“程序”的把握，只不過在什么時間，理解到何種程度的時候歸納，需根據不同的內容有機把握。以“小數除以整數”為例（見圖3）。

在解決22.4÷4時，要引導學生通過單位的轉化，將小數除法轉化為學生已有的知識經驗“整數除法”求得結果。這一轉化過程為學生打開了思路，同時結果也為學生提供了參考，在此基礎上尋求通用的、直接的方法——豎式計算，闡述算理，歸納算法。在歸納算法時要注意什么問題呢？第一，要注意算法與算理的結合。22個1除以4可以商5個1，24個0.1除以4可以商6個0.1，為了表示出商中的5是1，6是0.1，在5和6之間點上小數點正好。第二，要注意歸納時所依據的“量”的問題。可以讓學生依據在例題學習時習得的方法，嘗試計算做一做的兩道題，再將例題和學生嘗試計算的兩題放在一起比較歸納。第三，要注意歸納的目的及方式和方法。引導學生觀察、比較三道題中商的小數點位置與被除數小數點的位置關系，并在反思計算過程及相互討論的基礎上進行歸納，習得了知識，又提升了能力。第四，要注意歸納的程度。學生剛接觸此類計算，只能就涉及的進行歸納：按整數除法除，商的小數點要和被除數的小數點對齊。其他的要待以后逐步完善。

計算，必須提出速度要求。要從增強學生分析數據特征、自覺運用運算的性質定律及進行適度量的訓練等多途徑提高計算速度。

解決問題教學

解決問題的教學目標是多元的，主要有：培養發現問題、提出問題、分析問題和解決問題等能力，掌握常見問題的解題模式，尋求及優化解題策略，滲透數學思想，促進相關知識的內化，積累活動經驗，培養積極的情感等。

人教版教材在編排解決問題時有明顯的特色：

一是以明確、特有的形式編排，揭示了教學解決問題的基本過程（見下表）；

二是以“數學廣角”的形式編排了系列解決問題（見圖4），集中介紹解題策略，滲透數學思想，學習經典名題等；

三是解決問題的內容除涉及典型問題、介紹策略及解決實際問題外，還有一些活動類題目，目的是通過這些活動的開展，積累活動經驗，促進相關知識的內化。

回到程序性知識教學要領的把握上，解決問題的教學要在分析題意，使學生理解解題依據的前提下，適時進行“模式化”以提高解題速度。模式化是學習數學的重要方法之一，只不過要用多種方式，通過多種途徑，在促進學生理解的前提下自主探究并建立模式，而不是強塞、灌輸并讓學生死記硬背。

從課程內容、知識系統、知識類型三個維度對小學數學知識進行分類并思考，希望能給老師們以啟發。在日常教學活動中，自覺不自覺地依據分類方法對具體課例進行琢磨，能促進教師對相關知識的理解，有利于教師全面熟悉教材并靈活駕馭教材。

（作者單位：江西省南昌市教研室）

責任編輯 宋顯慶

E-mail：379607934@qq.com