基于“四基”：如何改造和開發數學習題

吳恢鑾

《義務教育數學課程標準2011年版》把“雙基”擴充到“四基”，更加完善了數學課程目標，豐富了數學素養的內涵。習題作為日常教學不可或缺的課程資源，該如何改造、挖掘教材上的常規習題，設計一些符合“四基”理念、更能促進學生數學核心素養提高的新習題呢？

一、與時俱進：合理改造和挖掘常規習題

教材常規習題中有一些好習題，如果我們以發展的眼光、創新的意識，深入開發習題中所蘊含的方法與思想，就可以使常規習題發揮最大的價值功能。

1.在“一題多解”處，放一放

例如，某教材六年級下冊總復習有這樣一道應用問題：登山纜車連接山麓的A站及山腰的B站。兩站同一時間發車，6分鐘后兩車交會。上行纜車在發車的15分鐘后達到B站，下行纜車在發車后幾分鐘到達A站？

這道題只有兩個時間的量，但有著極其豐富的內涵，教師該怎樣啟發學生找到多種解決問題的辦法呢？能否把這道常規性問題當作思維訓練載體，把小學中學過的知識與方法在這道題中融會貫通呢？筆者運用“圖示助思”教學策略，通過學生兩次分類的思維活動，讓學生感悟到解決問題可以有算術、代數兩大方法，可以從已學過的整數、分數應用題及工程問題切入，也可以從正、反比例及一般方程等數量關系入手，從而達到對解題方法的融會貫通、舉一反三。筆者執教的班上學生共想出21種方法，經過思維訓練后，能用4種及以上方法解決該題的學生數占到70%。

2.在“知識求聯”處，找一找

在“簡便運算整理與復習”一課中，教師先呈現了一個48×36的豎式（見圖1），引導學生發現豎式計算的過程其實就是運用了乘法分配律，將48×36轉化成8×36+40×36進行計算。教師再呈現了一個578×4的豎式（見圖2），引導學生討論后發現這樣的算法是可行的，也是運用了乘法分配律將578×4轉化成508×4+70×4，這樣計算還可以避免連續進位。最后教師再出示一個圓環圖，讓學生回憶起在計算圓環面積的過程中也用到了乘法分配律。就這樣，三道常規的習題，在“找一找”思維活動中，使不同領域的知識因為乘法分配律而串聯在一起，實現“知識求聯”。

3.在“思想方法”處，悟一悟

如在三角形面積練習課中，書上有這樣一道習題：點E、F、G、H分別在長方形ABCD的四條邊上（如圖3所示），求四邊形EFGH的面積。（單位：cm）

出示題目后，教師先讓學生獨立思考，學生想到了三種不同的解題方法：

方法一：總面積減去空白面積；

方法二：連接EG，用三角形EFG的面積加上三角形EHG的面積；

方法三：拉動F平移到A，拉動平移H到D，通過等積變形成一個大三角形（如圖4所示）。

而方法三只有極少數學生想到，這時老師再放慢教學節奏，讓每個學生自主“悟出”為什么可以這樣變形？學生發現通過“等底等高”的變形思想，大三角形的面積與兩個小三角形的面積相等。“悟一悟”，表面上看花費了時間，但實際上卻得益甚多，學生體會到了數學思想方法的奇妙，實現了深層次的理解。

二、聚焦核心：設計與開發新習題

所謂“新習題”，不管在形式還是內容上都是比較新的習題，其命題能緊扣“四基”要求，聚焦數學學科的核心知識、方法與思想，突出對數學本質的訓練與考核。

1.設計“雙基性”新習題

我們在設計“雙基性”新習題時，要淡化對數學知識的準確記憶或形式化的表述，重視對核心概念及其關鍵特征的理解，要重視在問題解決活動中培養學生“用技能”的水平。

例1：有一些圖形（見下圖）：

（1）根據表中要求，請把代表圖形的編號寫在括號里。

（2）請在方格紙中畫出一個符合表中全部4個要求的四邊形。

（每個小方格邊長表示1cm）

（3）你畫的四邊形4個內角的和是多少？請用不同的方法說明理由，寫一寫。

分析：這是一道綜合性比較強的習題，涵蓋了四年級“幾何與圖形”領域關鍵性的基礎知識與基本技能，如對角的度量、平行、垂直、平行四邊形、長方形、四邊形等核心概念的理解與掌握，其中第二題“作圖題”更是突出對空間觀念的考量，而第三題則突出對“過程性”的考核。

2.設計“過程性”新習題

《標準（2011）》在“教學建議”里提到：幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。”顯然，考查學生基本活動經驗的積累狀況最理想的方式是組織學生現場參與活動測試，但組織不易。筆者嘗試設計了一些“過程性”新習題，以期有所幫助。

例2：我們知道，梯形面積的計算公式為：（上底+下底）×高÷2。那么為什么要“÷2”呢？請用寫一寫或畫一畫的方式，把你的想法表達出來。

分析：這道習題，就是針對梯形面積公式推導過程設計的，考核的不是“算”得怎么樣，而是對梯形面積公式推導過程的理解。

例3：你能用哪些方法來比較7/8和8/9的大小？

（1）請寫明白你想到的比較方法，至少寫出一種。

（2）你能根據上面兩個分數的特點，舉出幾組比較分數大小的例子嗎？

（3）通過上面這幾組分數的大小比較，你有什么新發現嗎？請寫出你的發現。

分析：例3這道題包含了若干數學活動的“有過程”的題目，可以展現學生解題思維的個性。這道習題的特色，一是設計了包含多個層次的問題，有助于在問題解答的過程中暴露學生的思維活動過程；二是每個層次中預設的問題開放度比較高，便于學生開展自主性強的思維活動。

3.設計“方法性”新習題

在設計該類習題時，要充分展現數學思想方法的過程特征和解題價值。

例4：下圖中，大圓的面積120平方厘米， 求兩部分陰影的面積。

分析：在上“圖形旋轉”一課時，一位老師出示了這道習題，此題應用“旋轉變換”思想就能輕易解決問題。

例5：有一個長方形ABCD（如圖），AB邊是它的長，AD邊是它的寬。這個長方形繞A點逆時針旋轉。每次旋轉90°后，長增加1cm，寬不變。

（1）這個長方形ABCD旋轉兩次后，它的長和寬分別是多少厘米？

（2）這個長方形ABCD旋轉四次后，它的面積是多少平方厘米？

（3）小明說：“總有一次旋轉后，得到長方形的面積是125 cm2。”你覺得小明的說法對嗎？為什么？

分析：例4主要訓練學生能用“運動的觀點”解決問題，考查學生轉化思想；例5是一道綜合性比較強的習題，知識從單一結構、多重結構再到關系抽象結構，層層遞進，考查學生對運動中的變與不變、逆向思考、類比遷移等解決問題能力。

（作者單位：浙江省杭州市天長小學）

責任編輯 曾維平

E-mail：25365420@qq.com