基于壓電陶瓷的柔性機器人主動抑振控制策略研究*

王　海，薛　彬，楊春來，付邦晨，邱皖群

（1.安徽工程大學機械與汽車工程學院，安徽蕪湖241000；2.先進數控與伺服驅動安徽省重點實驗室，安徽蕪湖241000）

基于壓電陶瓷的柔性機器人主動抑振控制策略研究*

王海1，2*，薛彬1，2，楊春來1，2，付邦晨1，2，邱皖群1，2

（1.安徽工程大學機械與汽車工程學院，安徽蕪湖241000；2.先進數控與伺服驅動安徽省重點實驗室，安徽蕪湖241000）

柔性機器人因其輕質、高效、低能耗等優點已被廣泛應用于航空航天，工業制造等諸多領域。然而，柔性機構易產生彎曲變形，引起系統振動而大大降低機器人的工作精度。為提高柔性機器人的工作性能，多種抑振策略得以研究與應用。提出了基于壓電陶瓷（PZT）的柔性機器人振動主動抑制策略。其中，PZT傳感器和PZT制動器分別被用來檢測和抑制柔性臂的振動。本文構建了基于PZT材料的單自由度柔性機械臂的理論模型，并獲得了傳感電壓與制動電壓的傳遞函數。設計了一個可變控制方案的抑振器以抑制系統在不同頻率下的振動。在COMSOL中進行仿真，獲得了系統的抑振率。根據仿真結果顯示，柔性臂在前三階振動下，臂的末端位移分別得到了57.04%，57.76%與58.96%的抑制；系統的動能得到了57.95%，71.19%與87.81%的抑制。

柔性機器人；壓電片；主動振動抑制；傳遞函數

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.012

工業機器人分為剛性機器人與柔性機器人［1］。剛性機器人由于其高質量，高硬度，在運動過程中常被假設無彈性變形。然而，在高速運動和較高載荷質量比的場合，這種假設失效。柔性機器人相對于剛性機器人具有輕質，高效，低能耗的優點，被廣泛應用于航空航天，工業制造等領域［2］。然而，柔性機構的低阻尼和高柔性，易使系統的工作精度和穩定性易受到破壞。

抑振方式可分為主動抑振和被動抑振。基于開環控制的被動抑振技術具有較高的穩定性并且較易搭建抑振平臺。然而，被動控制系統的魯棒性較低，對不同系統的適應力較弱，此外，被動抑振系統的應用由于增加了結構的質量使其運輸和工作能力大大降低。Francisco Palacios-Q［3］設計了一個被動阻尼系統用于柔性結構的振動抑制，該系統對于高頻振動具有較明顯的抑制效果，但并不適用于低頻抑振。主動抑振技術的發展彌補了被動控制的不足。主動抑振技術的工作原理是通過抑振器相對于柔性構建的反向運動來減少或抑制系統的振動。主動抑振技術更適用于系統參數實時變化的場合。它可以通過控制算法的應用及調整以適應不同工況的需求。

柔性機器人的主動抑振可以通過關節抑振來實現。然而，柔性關節控制的有效性對于關節轉動角度與轉動速度有一定的局限性。John［4］基于PID控制方法構建了柔性機器人關節抑振系統，在柔性關節轉動的一定角度范圍內有著顯著的抑振效果，但有效的控制角度較小。目前以智能材料作為傳感器和制動器的抑振技術已經得到了廣泛的研究與應用。這些傳感器與制動器具有結構簡單，體積小，輕質，壓電轉換效率高等優點［5］。近年來的研究大多致力于使用一對或多對PZT傳感器與驅動器構建閉環控制系統實現抑振。基于壓電材料的控制器大多以固定數量及位置的PZT片構建［6-9］。然而，對于不同頻率振動下的柔性機構，可變位置與結構的壓電材料抑振器的抑振效果更佳［10-12］。

在本文中，控制器由4對PZT片構成，當不同對的PZT片工作時，控制系統可提供三種方案來抑制柔性機構前三階諧振頻率下的振動。通過在COMSOL中的數值仿真，獲得抑振前后柔性臂的末端位移與系統動能的變化以判斷抑振率。柔性臂末端的位移直接影響著機器人的工作精度，抑振過程中系統的動能轉換為內能并降低。

1　基于壓電材料的柔性機器人建模

以單自由度柔性機器人為例，根據 Euler-Bernoulli理論，可將懸臂梁視為單自由度的柔性機構。對該懸臂梁進行建模，研究基于壓電材料的柔性機構主動抑振。如圖1所示，截面為矩形的懸臂梁在x=0處為固定端，在x=L處為自由端。PZT制動器與傳感器相互對應分別粘貼在梁的上下表面。定義PZT制動器的位置為xai，PZT傳感器的位置為xsi，懸臂梁的長度為L，壓電片的長度為l。

圖1　基于PZT傳感器與制動器的懸臂梁模型

柔性懸臂梁的動力學方程表示為：

其中，R（x）為廣義位置函數，ρb為質量密度，Ab為梁的橫截面積，Eb為楊氏模量，Ib為梁的轉動慣量，hb為梁的厚度，ha為梁的寬度。以無窮級數的形式表示懸臂梁的橫向位移ω（x，t）：

其中，ηi（t）為第i階廣義位移的時間函數，фi（t）為懸臂梁的第i階模態振型：

其中，前 3個常數值為：λ1=1.875 1，λ2=4.694 0，λ3=7.854 7。制動器產生的力矩為Ma（t）=CaVa（t）其中，Ca為制動常數，Va（t）為PZT制動器的制動電壓：

增加了阻尼ζi后，式（1）可表示為：

其中，Ka為驅動器常數，ωni為第n個懸臂梁的第i階諧振頻率，阻尼被假設為ζ1=0.01，ζ2，3=0.005。傳感電壓Vs（t）與傳感器表面產生的電荷量Q（t）之間的關系可表示為：

其中，Cs為壓電材料單位面積的電容，bs（xs2-xs1）為PZT傳感器的表面積。

根據式（7）與式（8），通過MATLAB的理論仿真獲得了傳遞函數的伯德圖，柔性臂與壓電片的參數如表1所示。

表1　柔性臂與壓電材料的參數

圖2為懸臂梁末端位移的頻域響應，第一個波峰產生于一階諧振頻率處，其幅值高于二階峰值15 dB，且高于三階峰值22 dB。

圖2　懸臂梁末端位移的頻域響應

圖3顯示了相似的結果，傳感電壓一階頻率處的響應峰值高于二階響應峰值15 dB，高于三階峰值68 dB。由于頻域響應的峰值量級隨頻率階數的升高呈現降低趨勢，本文對懸臂梁的前三階模態進行研究以代替其無窮級數的模態。

圖3　傳感電壓的頻域響應

2　基于COMSOL的數值仿真

在COMSOL中進行數值仿真，獲得懸臂梁的前三階諧振頻率，并將其與理論分析的諧振頻率結果相比較，如表2所示。

表2　2種方法下獲得的柔性臂前三階諧振頻率對比　單位：Hz

如表2所示，理論分析與數值仿真所獲結果接近，驗證了理論模型構建的準確性。

PZT傳感器與制動器的數量與粘貼于懸臂梁的位置對抑振效果有著重要的影響，如圖5所示，4個PZT片分別粘貼在距柔性臂夾緊端0 mm，80 mm，160 mm與230 mm處。壓電材料作為制動器通過逆壓電效應產生反向的彎矩抑制臂的彎曲。以柔性臂末端的位移以及系統動能的大小為振動強弱的判斷依據，因此省略PZT傳感器。通過調整振動頻率使柔性臂在不同模態下振動。根據如圖4所示的懸臂梁前三階模態圖，3種不同方案的壓電片組合構成的可變抑振器如圖5所示。0 mm處的PZT制動器用以抑制一階模態的振動；160 mm處的PZT制動器用以控制二階模態的振動；80 mm與230 mm處的PZT制動器用以抑制三階模態的振動。

圖4　基于COMSOL仿真的懸臂梁前三階振型

圖5　3種抑振方案的抑振器設計圖

基于PZT制動器的柔性臂系統在COMSOL中進行仿真，并判斷其抑振率。一個幅值為1 mm的正弦位移信號施加于柔性臂的夾緊端。同時，幅值為10 V的制動電壓作用于PZT制動器以模擬位移反饋的閉環控制。振動信號與制動信號的頻率設定為15 Hz，100 Hz與250 Hz。根據柔性臂末端位移與系統動能的變化來判斷抑振器的工作效率。

定義抑振效率為：

其中，N為峰值數，pij為第j個壓電片的第i個峰值，pio為開環響應的第i個峰值。

3　仿真結果

如式（9）所示可得抑振器的抑振率。圖6（a）顯示了一階振動下的懸臂梁受3種方案抑振時的末端位移相比于開環響應分別獲得了57.04%，49.95%和23.57%的抑制。圖6（b）顯示了在3種方案下系統動能的抑制率分別為57.95%，49.39%與23.61。

圖6　柔性臂在一階振動下抑振效果的比較

如圖7所示，當柔性臂以二階頻率振動時，方案1、方案2、方案3對臂的末端位移分別產生了44.39%、57.76%和29.35%的抑制。對系統的動能抑制分別為64.14%、71.19%和39.86%。

圖7　柔性臂在二階振動下抑振效果的比較

如圖8所示，柔性臂在三階頻率下振動時，3個方案對臂末端位移產生了18.37%、51.08%和58.96%的抑制，對系統的動能產生了34.13%、78.32%和87.81%的抑制。

圖8　柔性臂在三階振動下抑振效果的比較

抑振器的抑振率可分為對柔性臂末端位移的抑制與對系統動能的抑制。根據COMSOL的仿真結果，3種抑振方案分別對在前三階頻率振動下的柔性臂產生的抑振率如表3所示。

對于一階振動，表中顯示方案1抑振效果最佳，梁末端位移得到57.04%的抑制，系統動能得到57.95%的抑制。方案3抑振率最低，分別為23.57%與23.61%。柔性臂末端位移與系統動能反應了相同的抑振趨勢。對于二階振動，方案2的抑振效果最佳，梁末端位移得到57.76%的抑制，系統動能得到71.19的抑制。方案3抑振率最低，為29.35%與39.86%。對于三階振動，方案3抑振效果最佳，梁位移與動能分別減少58.96%與87.81%，方案1抑振率最低，為18.37%與34.13%。

4　總結

本文構建了基于PZT材料的柔性機械臂振動主動抑制的理論模型。設計了由3種可變抑振方案構成的閉環控制抑振器。基于COMSOL的仿真結果可得如下結論：柔性臂一階振動時，臂的夾緊端處（x=0 mm）為最佳抑振位置；柔性臂二階振動時，臂的長度中間位置（x=160 mm）抑振效果最佳：柔性臂三階振動時，臂上兩處位置（x=80 mm，230 mm）共同制動效果最佳。后期的工作將致力于搭建抑振系統的實驗平臺以驗證可變抑振器工作的有效性。

［1］ Khairudin M，Mohamed Z，Zain Z.M.Modeling of a Two-Link Flexible Manipulator［J］.Instrumentation and Mechatronic Engineering，2009，35（17）：191-199.

［2］ Fan Jixiang，Yin Yanzong.Composite Control Method for Active Vibration Suppression of Tethered Spacecraft［J］.WIT Transactions on Information and Communication Technologies，2014，36（10）：1113-1121.

［3］ Francisco Palacios-Qui，Hamid R Karimi，Josep Rubio-Massegu. Passive-Damping Design for Vibration Control of Large Structures［J］.10th IEEE International Conference on Control and Automation，2013，60：33-38.

［4］ Djojodihardjo Harijono，Jafari Mohammad，Wiriadidjaja Surjatin. Active Vibration Suppression of an Elastic Piezoelectric Sensor and Actuator Fitted Cantilevered Beam Configurations as a Generic Smart Composite Structure［J］.Composite Structures，2015，158（2/3）：848-863.

［5］ Chacon J，Beschiy M，Sanchez J，et al.Experimental Analysis of a Remote Event-Based PID Controller in a Flexible Link System［J］.IEEE Emerging Technology and Factory Automation，2014，4（8）：1-6.

［6］ John TAgee，Zafer Bingul，Selcuk Kizir.Tip Trajectory Control of a Flexible-Link Manipulator Using an Intelligent Proportional Integral（iPI）Controller，Transactions of the Institute of Measurement and Control，2004，36（10）：2942-2947.

［7］ Crawley E F，DeLuis J.Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures［J］.AIAA Journal，1987，89（2/3）：1373-1385.

［8］ 朱燈林，呂蕊，俞潔.壓電智能懸臂梁的壓電片位置尺寸及控制融合優化設計［J］.機械工程，2009，45（2）：262-267.

［9］ 曹玉巖，王志臣，付世欣，等.智能桁架結構最優振動控制與作動器優化配置［J］.振動與沖擊，2015，23（5）：26-32.

［10］譚國金，劉寒冰，程永春，等.基于車-橋耦合振動的簡支梁橋沖擊效應［J］.吉林大學學報，2011，34（1）：62-67.

［11］張端，林晨寬，何熊熊.低頻振動能量收集裝置的設計和數值模擬［J］.傳感技術學報，2012，25（9）：1268-1273.

［12］孫華，劉波，周海濱，等.一種基于等強度梁的光纖光柵高頻振動傳感器［J］.傳感技術學報，2009，22（9）：1270-1275.

王海（1976-），男，安徽省蕪湖市人，安徽工程大學機械與汽車工程學院，博士，教授，主要研究方向為機器人控制技術，wanghai.20000@163.com；

薛彬（1990-），男，江蘇省南京市人，安徽工程大學機械與汽車工程學院，碩士研究生，主要研究方向為機器人控制技術，1132436179@qq.com。

Active Vibration Control of a Flexible Manipulator Using Piezoelectric Patches*

WANG Hai1，2*，XUE Bin1，2，YANG Chunlai1，2，FU Bangchen1，2，QIU Wanqun1，2
（1.College of Mechanical and Automotive Engineering，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China；2.An Hui Key Laboratory of Advanced Numerical Control&Servo Technology，Wuhu Anhui 241000，China）

Flexible manipulators have been widely used because of its light weight，low power consumption and high efficient.However，lightweight structures result in unwanted vibration，which pose system into a low working accuracy.Suppression methods are used to improve performance of the flexible manipulators.An active control method based on PZT patches for flexible manipulator was proposed.A PZT sensor was used to detect the vibration.Meanwhile，a PZT actuator was used to suppress the vibration.A theoretical model of single freedom flexible manipulator with PZT patches was set up.The transfer function of the sensor voltage and actuator voltage was obtained.A changeable controller was designed to suppress the vibration at different frequencies.The vibration suppression efficiency of the above system was numerical simulated in COMSOL.Some conclusions can be obtained based on simulation results，such as 57.04%，57.76%and 58.96%reduction of the tip displacement of the beam，57.95%，71.19%and 87.81%suppression of total kinetic energy of the system can be realized at the three different frequencies respectively.

flexible manipulator；piezoelectric patches；active vibration control；transfer function

TP242.2

A

1004-1699（2016）07-1016-05

項目來源：國家自然科學基金項目（51275001，51375469）

2016-02-24修改日期：2016-03-20