長短波相互作用方程組的無窮序列新解?

阿如娜　套格圖桑

(內蒙古師范大學數學科學學院, 呼和浩特　010022)

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長短波相互作用方程組的無窮序列新解?

阿如娜?套格圖桑

(內蒙古師范大學數學科學學院, 呼和浩特010022)

本文對長短波相互作用方程組作行波變換后轉化成第一種橢圓方程,利用第一種橢圓方程的解和B?cklund變換,構造了長短波相互作用方程組的無窮序列新解.這里包括了橢圓函數解、雙曲函數解、指數函數解和有理函數解.

第一種橢圓方程,無窮序列新解,B?cklund變換

引言

(1)

這里ψ(x,t)便是長波的振幅,v(x,t)表示短波包絡.

一直以來,有許多關于長短波相互作用方程組的研究.如,文獻[2]中利用F-展開法獲得了方程(1)的由Jacobi橢圓函數表示的周期波解;文獻[3]中推廣了Jacobi橢圓函數展開法[4]得到了長短波相互作用方程的準確包絡周期解;文獻[5]中利用多項式完全判別系統方法[6-12]得到了方程(1)的所有單行波解的分類,這些解包括三角函數、雙曲函數和橢圓函數解.

文獻[5]獲得了長短波交互系統的由三角函數、雙曲函數和橢圓函數組成的有限多個解.本文通過行波變換,將方程(1)轉換成了第一種橢圓方程,進而利用第一種橢圓方程的解和B?cklund變換構造了方程(1)的無窮序列新解.

1　第一種橢圓方程的解和B?cklund變換

1.1第一種橢圓方程(2)的解

(2)

文獻[13]給出第一種橢圓方程(2)的下列解.

情況1.當A=1,B=-1-k2,C=k2時,(3)～(4)式是第一種橢圓方程(2)的解：

(3)

(4)

情況2.當A=1-k2,B=2k2-1,C=-k2時,得到第一種橢圓方程(2)的如下解：

(5)

情況3.當A=-1+k2,B=2-k2,C=-1時,獲得了第一種橢圓方程(2)的下列解：

(6)

情況4.當A=0時,獲得了第一種橢……