解絕對值問題“四策略”

□王克峰

解絕對值問題“四策略”

□王克峰

絕對值不僅是有理數這一章的重點內容，也是學習其他知識的基礎.下面介紹幾種解絕對值問題的策略，愿對同學們有所幫助.

一、分類討論策略

解析：本題中a，b，c地位對等，需要分4種情況討論：

（1）a，b，c都大于0時，

原式=1+1+1=3；

（2）a，b，c兩正一負時，

原式=1+1-1=1；

（3）a，b，c兩負一正時，

原式=1-1-1=-1；

（4）a，b，c都小于0時，

原式=-1-1-1=-3.

二、數形結合策略

|a|的幾何意義是：數軸上表示數a的點到原點的距離.當問題涉及距離或大小比較時，使用數形結合的策略可使問題更直觀.

例2已知兩個有理數a，b，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，試比較a，-a，b，-b的大小.

解析：因為|a|＞|b|，根據絕對值的幾何意義可知，表示數a的點比表示數b的點到原點的距離遠.又a＞0，b＜0，a，-a到原點的距離相等，b，-b到原點的距離相等，可在數軸上標出這4個點的大致位置，如下圖所示，故-a＜b＜-b＜a.

三、列方程策略

在涉及有關含絕對值的字母求值問題時，可從絕對值的非負性著手，運用方程的思想求解.

例3已知|2x+y|與|1-y|互為相反數，則x=______，y=______.

解析：因為|2x+y|與|1-y|互為相反數，所以|2x+y|+|1-y|=0.又因為|2x+y|≥0，|1-y|≥0，所以|2x+y|=0，|1-y|=0，得x=-0.5，y=1.

四、特殊值0驗證策略

在遇到有關絕對值的判斷題和選擇題時，為了使解題過程更簡捷，可使用“0的絕對值是0”“0既不是正數也不是負數”的特殊性，檢驗問題的正確性.

例4下列說法中正確的是（）.

A.有理數的絕對值一定是正數.

B.一個數的絕對值等于它本身，則這個數一定是正數.

C.沒有最新的有理數，也沒有絕對值最小的有理數.

解析：A、B、C是錯誤的.理由如下：因為0也是有理數，而0的絕對值是0，0不是正數，所以A是錯誤的；因為0的絕對值等于它本身，而0既不是正數也不是負數，所以B是錯誤的；因為正數的絕對值是正數，負數的絕對值也是正數，0的絕對值是0，0小于一切正數，所以絕對值最小的數是0，所以C是錯誤的；而因為a為分母，而分母不能為0，所以a≠0.又一個數的絕對值和它本身的比是1，所以這個數只能是正數，故D是正確的.