關(guān)于導數(shù)學習中的幾個誤區(qū)

孔慶海

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關(guān)于導數(shù)學習中的幾個誤區(qū)

孔慶海

（東北大學 理學院，遼寧 沈陽 110004）

大一學生學習理解導數(shù)會有一些誤區(qū)，經(jīng)常會犯一些想當然的錯誤，通過實例或定理對這些錯誤進行剖析，從而達到使學生深刻理解導數(shù)的目的．

連續(xù)；可導；可積；積分上限函數(shù)

導數(shù)是高等數(shù)學中的最重要概念之一，現(xiàn)在的大學生其實在高中階段就已經(jīng)會求一些簡單復合函數(shù)的導數(shù)，并利用導數(shù)解決一些實際應用題．如利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；利用導數(shù)幾何意義和物理意義解決一些幾何問題和物理問題．但是仍有很多學生對導數(shù)的學習有些誤區(qū)，會犯一些看似想當然的錯誤．本文嘗試通過對學生學習導數(shù)易犯的幾個誤區(qū)的分析，來強化對導數(shù)的深刻理解，以期幫助學生更深刻地理解導數(shù)概念．

誤區(qū)1給學生出個最簡單的題目：隨意寫出一個函數(shù)來．出于習慣，絕大多數(shù)的學生會寫出諸如等類型的函數(shù)，這些函數(shù)不僅連續(xù)，而且可導，甚至導函數(shù)還連續(xù)或可導．學生之所以寫這些函數(shù)，主要是在中學經(jīng)過長期接觸或訓練，在感觀上會使人非常親切，正因為這種常見與親切，也會使人狹隘地認為：凡是有定義的函數(shù)都是連續(xù)的，甚至導函數(shù)也是連續(xù)的．

若認為只要有定義的函數(shù)都是連續(xù)的話，就沒有必要還學習間斷點了．有的函數(shù)處處有定義，卻處處不連續(xù)，當然更不能可導，如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)[1-2]．

特別要指出的是：

（2）對于在某些點不可導的函數(shù)，其導函數(shù)可以有跳躍間斷點．

誤區(qū)2 有學生想當然的認為一個連續(xù)函數(shù)除個別的點以外都是可導的．而歷史上Weierstrass第一個給出了處處連續(xù)但是處處不可導的函數(shù)[3-4]，其中：是一個正奇數(shù)，，且．

誤區(qū)3一些學生學習了函數(shù)極限的局部保號性定理后，就想當然地認為導數(shù)也應該局部保號，并進一步導致錯上再錯．如有學生認為：若，則必存在，使得當時，，進一步再錯，得到函數(shù)在時單調(diào)上升的錯誤結(jié)論．

誤區(qū)4 由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有介值定理（或零點定理），而導函數(shù)不一定連續(xù)，于是就錯誤地認為導函數(shù)的介值定理（或零點定理）不成立．其實，導函數(shù)的介值定理——達布（Darboux）定理[4-5]與導函數(shù)是否連續(xù)無關(guān)．

（2）見文獻[1]或文獻[3]．

[1] 同濟大學應用數(shù)學系．高等數(shù)學（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002

[2] 劉玉璉．數(shù)學分析講義（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2008

[3] 車向凱，謝崇遠．高等數(shù)學（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2005

[4] George B托馬斯微積分[M]．10版．葉其孝，王耀東，唐兢，譯．北京：高等教育出版社，2003

[5] 陳紀修，於崇華，金路．數(shù)學分析（上）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2010

Some misunderstandings in the study of derivative

KONG Qing-hai

（School of Science，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

Freshman will have some misunderstanding and often make a mistake when they learn to understand derivative．Some errors was analyzed by examples or theorems，so as to achieve the aim of college students a deep understanding of derivative.

continuous；derivable；integrable；upper limit function of integral

1007-9831（2016）07-0076-04

O172.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.020

2016-04-10

孔慶海（1964-），男，遼寧莊河人，教授，碩士，從事高等數(shù)學教學研究．E-mail：shenyanglaok@sina.com