常微分方程線性系統的一般理論與方程求解

馬軍，李長江

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常微分方程線性系統的一般理論與方程求解

馬軍，李長江

（河北民族師范學院 數學與計算機科學學院，河北 承德 067000）

在常微分方程的全部內容中，線性系統部分占有特別重要的地位，這不僅因為其自身的理論已被研究得十分清楚外，同時線性系統又是討論非線性系統的基礎．利用線性空間理論進一步對常微分方程線性內容及方程求解做一些分析和探究．

常微分方程；線性系統理論；常系數線性方程；求解

常微分方程是數學與應用數學專業的一門主要基礎課程，線性方程理論是該門課程的主要內容．如果能把線性方程理論放到高等代數線性空間框架下去理解，那么線性微分方程理論實質上是線性空間理論的一個具體應用，這樣可以幫助學生更好地掌握線性方程與方程組通解結構的內涵，加深對不同分支數學理論統一性的認識.

1高階線性微分方程與方程組的通解結構

設高階線性微分方程

綜合所述，得到以下結論：

利用這一結論判斷方程（2）解函數的線性相關性非常方便，這種局部概括整體的思想在分析學中非常重要，必須熟練掌握．

關于線性微分方程組的通解結構問題，完全可以仿照上述思路，也就是引入函數矩陣和函數列向量后，若把函數向量當做通常的函數看待，則線性方程組的結論與線性方程的結論完全類似．即齊次線性微分方程組的全部解構成一個維向量空間，其通解是基本解組的線性組合；非齊次線性微分方程組的通解等于對應齊次方程組的通解和它的一個特解的和，這個特解可以由對應齊次方程組的通解用常數變易法求得.具體過程中同樣引入了函數列向量的線性相關、線性無關、Wtonsky行列式等概念并作出相應類似的討論.

需要說明的是：（1）無論是線性微分方程還是線性微分方程組，都可以不考慮通解．通解這個古典概念對于線性系統的理論并沒有具體實際意義，既然已經求得了線性微分方程或方程組的全部解，就沒必要糾纏通解問題，也省略了驗證繁雜的雅柯比行列式[2]．（2）常微分方程線性系統理論是數學理論中較為完整的理論，搞清線性方程及方程組解的結構是對線性空間理論的一個很好復習與應用．另外，教科書中的一些證明顯得過于繁瑣，利用高等代數相關知識[3]完全可以適當簡化，從而可以進一步弄清事物的本質．

2常系數線性微分方程及方程組的求解

常系數線性微分方程的求解問題從理論上說已經得到根本解決，尤其是求齊次線性微分方程可以不需要積分，具體的方法為Euler待定指函數法．常系數線性方程的一般形式為

3線性微分方程與方程組的聯系

[1] 王高雄，周之銘．常微分方程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006：120-210

[2] 李長江．線性微分方程學法淺議[J]．高等函授學報：自然科學版，2006（5）：42-51

[3] 張禾瑞，郝鈵新．高等代數[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007：211-256

[4] 石瑞青，嚴曉紅，齊霄霏，等．微分方程全程導學及習題全解[M]．北京：中國時代經濟出版社，2007：181-185

[5] 趙慈庚，朱鼎勛．大學數學自學指南[M]．北京：中國青年出版社，1984：71-79

[6] 丁崇文．常微分方程[M]．2版．廈門：廈門大學出版社，2006

The general theory of ordinary differential equation and solving equatio

MA Jun，LI Chang-jiang

（School of Mathematics and Computer Science，Hebei Normal University for Nationalities，Chengde 067000，China）

In all content of the ordinary differential equation，the part of linear system occupies an important position. It is not only because the theory itself has been researched clearly，but also linear system is the basis of nolinear system．Takes advantage of the linear space theory to analysis and research the ordinary differential equation and solving equation further.

ordinary differential equation；linear system theory；constant coefficient linear differential equation；solution

1007-9831（2016）07-0058-03

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.015

2016-04-06

馬軍（1964-），男，河北平泉人，副教授，碩士，從事常微分方程研究．E-mail：cdsz_lcj2006@sina.com